Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Показать, что пересечение двух различных конституэнт множества Е не может содержать более одного элемента и что для трех попарно рззличных конституэнт А, В, С по меньшей мере одно из множеств АПВ, ВПС, СПА пусто. б) Обратно, пусть (Х!)!»с — покрытие некоторого множества Е, образованное непустыми частями множества Е и обладающее следую- шими свойствами: 1' если Х и Р— два различных индекса, то Х!ПХ„ содержит самое большее один элемент; 2' если 1, Р, т — три различных индекса, то хотя бы одно нз трех множеств Х!ПХю ХРПХ„, Х»ПХ! пусто. Пусть й ! х, у [ есть соотношение .существует такое Х Р 1., что хбХ! и убХ!', показать, что й рефлексивное в Е, симметрическое и интранзитивное порядка 1 соотношение и что множества Х! суть конституанты множества Е относительно Й. в) ' Мы гонории, что соотношение Й[х, у], симметрическое и рефлексивное в Е, является илтранзитиаиым соотношением порядка л — 3, если для всякого семейства (хг) <!<» различных элементов из Е соотношения й [хи х [ для всякой пары (1, ЛФ(л — 1, и) влекут й ]х„ь х„].
Обобщить свойства а) и б) на интранзитивные соотношения йронзвольного порядка. Показать, что интранзитивное соотношение порядка р является также интранзитнвным соотношением порядка р для всякого а > р., ГЛАВА 1И УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА В 1.
Соотношения порядка. Упорядоченные множества 1. Определение соотношения порядки Пусть К]х, у] — соотношение, а х и у — различные буквы. Мы говорим, что К есть соотношение порядка ио буклам х и у (или относительно х и у или между х и у), если верны соотношения (К ] х, у ] и К ! у, х [) =]ь К [ х, х [, (К 1 х, у [ н К ] у, х ]) =р (х = у), К]х, у[~(К]х, х[ и К]у, у[). Из них первое означает, что соотношение К траязитизяо ио буквам х и у (гл. П, $6, п' 1).
Примеры. 1) Соотношение равенства х= у есть соотношение порядка, 2! Соотношение Х~Т есть соотношение порядка между Х и Т (гл. П, й 1, предложения 1 и 2 и аксиома А1); оно называется часто соотношением включения или соотношением с=, 3) Пусть К]х, у] — соотношение порядка между х и у. Соотношение К[у, х[ есть соотношение порядка между х и у; оно называется соотношением порядка. противоположным к К[х, у[. Соотношением порядка а множестве Е иззывзется соотношение порндка К[х, у[ по двум различным буквам х, у, такое, что соотношение К]х, х] эквивалентно х~Е [иначе говоря, такое, что К]х, у1 рефлексивно в Е (гл.
!1, $6, п'1)], Тогда соотношение К]х, у] влечет „х~Е и у~Е', а соотношение (К]х, у1 и К]у, х1) эквивалентно „х~Е и у~Е и х=у". Примеры. 1) Соотношение равенства и соотношение включения не являются соотношениями порядка в каком-нибудь множестве, так как соотношения х = х и Х 1= Х не являются коллективизирующими (гл. 11, Э 1, п'7). 2) Пусть й[х, у] — соотношение порядка между х и у и пусть Š— такое множество, что ха Е влечет й ! х, х[ (нетрудно видеть, что пустое множество удовлетворяет этому условию). Соотношение,й ] х, у ] и х б Е и у б Е' есть тогда соотношение порядка в Е, как это сразу же видно; мы говорим, что это соотношение индуцироэано в Е соотношением й[х, у] (ср.
п'4). Допуская вольность речи, мы будем часто говорить;,соотношение 3 ]х, у] есть соотношение порядка между элементами множества Е', вместо того чтобы сказаттс „соотношение (Зх, у и х ЕЕ и у РЕ) есть соотношение порядка в Е*. Например, г $ !. сООтнОшения пОРядкА. упОРядОченные множества 139 ГЛ. П1. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 138 если дано множество А, то соотношение .Х сУ н Х с А н Ус А' есть соотношение порядка в множестве частей множества А, з „Хст"— соотношение порядка между частями А. 3) Пусть Е н Р— множества.
Соотношение „и продолжает У" есть соотношение порядка между злеменгамн 7 н е множества отображений частей множества Е в множество Р. 4) Множество йб(Чг(Е) ) множеств частей множества Е содержит в качестве элемента Ф множество разбиений множества Е (гл. П, б 4, п' 7). Напомним, что разбиение о! нззывается более крупным, чем раз биение о', если, каково бы нн было Уэа', существует такое Хбоо, что Ус Х (гл.
П, й 4, п'6). Для всякого разбиения о!а Р пусть оо есть график эквивалентности, определенной через в в Е (гл. П, й 6, п'2), т. е, объединение попарно не пересекающихся множеств А )< А, где А пробегает оь Соотношение „о! крупнее, чем оо'" эквивалентно включению н ~ о', что срззу же видно; следовательно, зто соотношение порядка между злементамн о! н е' множества Ф. Порядком на множестве Е называется такое соответствие Г=(0, Е, Е) с областью отправления Е и областью прибытия Е, что (х, у)!.-С есть соотношение порядка в Е. Допуская вольность речи, мы иногда будем говорить, что график С соответствия Г есть порядок на Е. Если К~х, у~ — соотношение порядка в Е, то оно обладает графиком, являющимся порядком на Е.
Пгедложение 1. Для того чтобы соответствие Г между Е и Е было порядком ка Е, необходимо и достаточно, чтобы его график С удовлетворял следующим условиям: а) Со 0=0; -1 б) множество С П С есть диагональ а з Е )( Е. В самом деле, соотношение((х, у)ЕС и (у г)цС)~((х г)ЕС) записывается также в виде С о СсС, а соотношение ((х, у)~С и (у, х) ~С)(ф(х=у и х~Е и у~Е) — 1 -1 записывается в виде С П С =Ь.
Из С ПС = Ь тогда вытекает ЬсС, а отсюда С=-ЬоСсС С. Так как С оСсС, это влечет СРС=С. 2. Соотношения предиорядка Пусть К1х, у1 — соотношение, х и у — различные буквы. Если К транзитивно и К)х, у~=)ь(К!х, х1 и К)у, у1), то К не является с необходимостью соотношением порядка, так как соотношение (К)х, у( и К)у, х1/ не влечет с необходимостью х=у.
Мы говорим, что К)х, у1 есть соотношение предпорядка между хну. Например, пусть я — множество частей множества ф(Е), являющихся покрытиями для Е (гл. П, б 4, и'6). Соотношение .Я крупнее, чем Я'*, между злементамн Я, Я' множества я (гл. П, б 4, п'6) транзнтнзно и рефлексивно, но два различных покрытия могут оказа- ться такими, что каждое нз ннх будет крупнее, чем другое. Например, именно так обстоит дело, когда Я' есть (в ч1(е)) объединение множества Я н части множества Е, содержащейся в каком-либо множестве нз Я, но не принадлежащей к Я.
Однако соотношение (К(х, у~ и К (у, х1), во всяком случае, является соотношением эквивалентности Б)х, у~ по х и у. Пусть х' и у' — буквы, отличные от х, у и не встречающиеся в К; тогда К~х, у~ совместимо (по х и у) с соотношениями эквивалентности Б)х, х'~ н Б1у, у'~, иначе говори (гл. П, 9 6, п'8), соотношение (К)х, у~ и Б1х, х'~ и Б)у, у'1) влечет К(х', у'1.
Соотношением предпорядка з множестве Е называется такое соотношение предпорядка К~х, у~, что соотношение К)х, х1 эквивалентно х~Е, соотношение К ~х, у1 влечет тогда „х~Е и у~Е". Если К~х, у1 — соотношение предпорядка в множестве Е, то определенное выше соотношение Б)х, у~ есть соотношение эквивалентности в Е. Пусть тогда К'1Х, У~ есть соотношение Х~ Е/Б и У ~Е/Б и (Зх)Яу)((х ~Х н у ~У) и К(х, у(), т. е. соотношение, выведенное из К переходом к фзкторсоотноше- нию (по х и у); мы уже видели в гл.
П, 9 6, п'3, что оно экви- валентно соотношению Х~Е/Б и У ~ Е/Б и (о!/х)(о!/у)((х~Х и у ~У)=ФК)х, у1). Понажем, что К'1Х, У~ есть соотношение порядка между эле- ментами фактормножества Е/Б. В самом деле, соотношение (К'1Х, У1 и К'1У, Х1 эквивалентно Х~Е/Б и У~Е/Б и Е~Е/Б и ()т'х)Фу)(т/г)((~ЕХ убУ н гб~)Ф(К1~ у1 К1у г1)) (гл. 1, 9 4, критерии 040 и 041); так как К ~ х, у ~ транзитивно и У ~ Е/Б влечет У Ф 8 (гл. П, 9 6, п' 2), то отсюда нетрудно вывести, что К~)Х, У1 транзитивно, Кроме того, соотношение (К'1Х, У~ и К'1У, Х1) эквивалентно соотношению Х~Е/Б и У ~Е/Б и (1/х)(!зу)((хЕХ и уЕУ)=р(К1х, у1 и К(у, х1)), т. е. соотношению Х Е Е/Б и У ~ Е/Б и (!!/х) (!!/у) ( (х Е Х и у Е У) =)ь Б ( х, у $ ), а потому это соотношение влечет Х ~Е/Б и У~Е/Б и Х=У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
