Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ВхС вс св 3. Определение произведения семейства множеств Пусть (Х,),ч! — семейство множеств, Р— такой функциональный график с областью определения 1, что для всякого г~! имеет место Р (!) ~ Х„' отсюда вытекает, что для всякого ! ~ 1 имеет место Р (!) ~ А = =ЦХ,'и, следовательно. Р есть элемент из ьцг(! Х А). Функциональве! ные графики, обладающие этим свойством.
образуют, таким образом, часть от ф (1 Х А). Определение 1. Пусть (Х,) — семейство множеств. Мне' те! жество функциональных графиков Р с областью определения 1, таких, что Р(!)~Х, для всякого !~1, называется произведением семейства множеств (Х,),, и обозначается символом Д Х,.
Г~ ! а 5 ПРОИЗВЕДЕНИЕ СЕМЕЙСТВД МНОЖЕСТВ !1о Для всякого 5~! множество Х, называется множителем (или сомножителем) индекса ! произведения Д Х; отоб Д,; ото ражение Р -«Р (!) ) Р ~ Ц Х„Р (!) ~ Х ! называется координатной фут4! ункцией индекса ! (или проектированием по индексу !) и обозначается через рг,. Мы говорим, что Р(!) есть координата индекса ! (или проекция индекса !) графика Р; образ рг,(А) части А произведения аа ° Х относительно координатной функции индекса ! называется п е я проекцией индекса ! множества А; нетрудно вилеть, что А г Д рг,(А), 'е! 3зпнсь (х,),6! часто используется для обозначения элементов из Д Х, (ф 3, и' 6). Если 1= И, то множество Д Х, обладает лишь одним элементом, а именно пустым множеством (3 3, п'4, пример 1). Когда все сомножители Х, произведения Д Х, Д , равны одному и тому же множеству Е, то Д Х, = Е, как это вытекает сразу же '6! из определений Если (Х,),Е! — произвольное семейство множеств, а Š— такое множество, что Ц Х, ~ Е, то определение 1 показывает, что 1 ° Х,~Е', 'е! следовательно, имеется взаимно однозначное с оответствие между произведением Д Х, и некоторым множеством о б ото ражений множества 1 в множество Е (составлающим часть от ьУ (1, Е)).
Если 1=) и) — множество с единственным элементом, то Д Х =Х( ); отображение Р— «Р (а) является тогда биективным отображением произведения Х на Х „(называемым, как и обратное отображение. ~е каноническим). Пусть А и  — мн ж у — о ества и пусть а, )! — два различных объекта (таковые существуют, например И и )И) ).
Рассмотрим г ф г(, ), (виь )), который, очевидно, является функциональным и есть не что иное, как семейство (Х,), ~ ). такое, что Х =А, Х вЂ” В. ' 'е ! ° в)' а для всякой пары (х, у) ~ А Х В пусть у„р есть функциональный график )(и, х). (р, у)) Сразу же видно, что функция (х, у) — «г'„ есть биективное отображение множества А Х В кото ого рого обратным отображением служит й-«(е(а), й(~)); эти два ч(а В) 8а 4 з пРОизВедение семеистах множестВ 116 ГЛ. Н. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ отображения называются каноническими. Мы в дальнейшем исполь- зуем это взаимно однозначное соответствие, чтобы доказать свойства пр оизведения двух множеств, исходя из свойств произведения семей- ства множеств. Пусть (Х,) — семейство множеств, каждое из которых состоит "ч! из единственного элемента: скажем, Х, = (и,'1; тогда произведение П Х сть множество, состоящее из единственного элемента (а,) е Пусть Š— множество; графики, постоянных отображений 1 — ьх ! множества ! в Е образуют часть Ь произведения Е, называемую диагональю; если х обозначает график отображения!-+х (для х~ Е), то ото раж отображение х — ьх есть биекция множества Е на диагональ Ь, называемая диагональным отображением.
Пгедложение 4. Пусть (Х,),4! — семейство множеств, и— биекция множества К на множество 1, Б — ее график. Сто- б жение Р -ь Р а 0 множества Д Х, в множество Д Х 1„! ражение 'е! «ЕК биекаивно, цХ О Х, (а 4, предложение 1). Отображение ~Е! аек Р-ьра()(Р~А') является биективным отображением множества А' на (предложени А ( дложение 2). Очевидно, что условие,для всякого 1Е 1, Р(!)~ Х," эквивалентно условию „для всякого х~К, (Р аБ)(х)~Ха <„>, а это доказывает предложение. 4. Частичные произведения П (Х),е! — семейство множеств и Л вЂ” часть множества !' Иы П!усть ( д,с! говорим, ДХ есть частичное произведение произведения 'Ею ДХР Если у' — функция с графиком Р~ДХ„то Рай! (где Ь1— диагональ в Л )(Л) есть график сужения функции у на Л.
Очевидно, 'е! что а Р Ь ~~де ° Х; отображение Р-+РаЬ! множества ДХ„в мно- ~~1 ~е! жество ДХ, называется проектированием по индексу Л и обозна- 41 чается через рг . Пгедложение 5. Пусть (Х,),,— семейство множеств и Л— часть множества 1. Если для всякого ! Е1 имеет место Х, ~ И. ДХ то проек ир т рование рг есть отображение множества Д ! 'Е' на множество Д Х,. ~Е1 Согласно сделанным выше замечаниям. Достаточно доказать сле- дующее предложение, ПРедложение 6. Пусть (Х,),6! — такое семейство мнвжеств, что Х, Ф И для всякого 1Е1.
Если дано отображение д мно- жества Л 1= 1 в А=ЦХ„такое. что д(1) ЕХ, для каждого !~1, с! то сущгствуеа такое продолжение у" функции е на 1, чао у(1)~Х, для каждого 1Е!. В самом деле, для каждого 1Е ! — 3 условимся обозначать через Т, терм т (у~Х,). Так как Х, -,ь И по предположению, то Т,~Х, для каждого 1~! — Л (гл. 1, э 4, п'1).
Если С вЂ” график функции е, то. график С()( Ц ((1, Т,))) есть график некоторой функции у, даю- ( ВТ-1 щей ответ на вопрос, как это сразу же видно. Следствие 1. Пусть (Х,),~! — такое семейство множеств, что для каждого 1~1 справедливо Х, ~ И, Тогда для каждого и~! проектирование рг„есть отображение произведения Д Х 'Е1 на Х.. Достаточно применить предложение 5 к части 1= !В) множества 1 и заметить, что рг„есть композиция канонического отображения множества Х на Х, и отображения рг( ). (а) Следствие 2.
Пусть (Х,),,— семейство множеств. Для того чтобы ДХ,=И, необходимо и достаточно, чтобы существо'е! вала такое !С!, что Х,=И. В самом деле. если для каждого 1~! имеет место Х, чь И, то и Д Х, чь И, как это вытекает из следствия 1; обратно, если ~4! ДХ,~ И, то соотношение рг„(ДХ,)~Х„показывает, что Х,чьИ ~е! !'е! / для всякого з Е !.
Мы видим, таким образом, что если нам дано семейство (Х,),~! непустых множеств, то иы можем ввести (на правах вспомогательной константы) функцию /, у которой областью определения служит 1 и которая обладает тем свойством, что у(!) Е Х, для всякого !4 1. На практике говорят: .Возьмем в каждом множестве Х, чо элементу х,". С интуитивной точки зрения тем самым „выбирается" элемент х, в каждом из Хй введение логического знака т и критериев, управляющих его употреблением. позволило наи обойтись здесь без формулировки „аксиомы выбора" для оправдзния втой операции (см. сводку результатов В 4. п' 10). Следствие 3.
Пусть (Х), и (У,) ~! — два семейства множеств с одним и тем же множеством индексов !. Если для каждого 119 З Э. ПРОИЗВЕДЕНИЕ СЕМЕИСТВА МНОЖЕСТВ ГЛ. И. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ПВ < Ь-1 справедливо Х, с Ун то и Д Х, с Ц !',. Обратно, если ЦХ,сЦ'!', и для всякого <Ь-! справедливо Х,~И, то Х,с !", ~Е! для всякого < ~1. Первое утверждение очевидно, а второе вытекает из следствия 1 предложения 5, ибо в этом случае для каждого а~ ! Х„=рг,(ДХ) с рг,(Д !',) = !',. б. Ассоциативность произведений множеств Пгздложение 7.
Пусть (Х,),, — семейство множеств с яепустым множеством индексое 1. Г/усть (дл) „— разбиение мяожгства 1; отображение / — «(рг! /) произведения Ц Х, в мно"х глЕЛ 'Е! жестао-произведение Д /Д Х,) биективяо („ ассоциативность" хеь ( игл произведений множеств). Согласно истолкованию множества рг у как графика сужения функции с графиком / (п'4), утверждение о биективности отображения у' — <.(рг„у) означает. что для всякого семейства (ох) !хе!.
где ох — отображение из дл в ЦХ„существует единственное отобра'ч! жение и множества ! в Ц Х„такое, что для всякого Л ~ 1. отобрач! жение о, есть сужение отображения и на зл; ио ведь это вытекает из того, что (Лх) есть разбиение множества 1(9 4, предложение 8). Л ЛРУ Отображение, определенное в предложении 7, и отображение, обратное к нему, называются каноническими. Замечания. 1) Пусть к, Р— два разных объекта н ()х) ч „ разбиение множества ! Иа два множества 5„, )З. Мы получим взаимно однозначное отображение (также называемое каноническим) произведения Д Х, на /Ц Х,] Х/Д Х,), взяв композицию кзнонического отображения множества Ц /Ц Х,] на /Д Х,] Х (Д Х,) н каноннхч(«а]('йгх / ('Ег„ / ('ИЗ ч<ского отображения множеств Ц Х, иа Ц /Д Х,).
Если для всяТб хй(ъ З] ('чгл кого <й )З множество Х, состоит нз единственного элемента, то ргз есть взаимно однозначное отображение множества Д Х, на Ц Х,. б! Ег„ 2) Пусть и й, Т вЂ” попарно различные объекты (таковые существуют, например И, (И] и ((И]]) и пусть А, В, С вЂ” множества. Рассмотрим функциональный график ((к, А), (Р. В), (Т, С)), т. е. семейство множеств (Х,), „Ь ], такое, что Х„= А, Хэ —— В, Х„= С. Разбиению множества (к, Р, Т), образуемому двумя множествами (а, Р] и (Т], соответствует каноническая бнекцня множества Д Х, на пронзвей("Р,!) денне / Д Х,] Х(!) н, следовательно, бнекция (также называемая 1'<(' а] / канонической) множества Ц Х, на А Х В Х С (ф 2, п' 2), става'й(".
й Т] щая в соответствие всякому графику уй Д Х, элемент (У(к), <<па т> у(э) У(Т)) из АХ В Х С. Принимая во внимание предложение 4, можно тем самым поставить во взаимно однозначное соответствие любые два нз множеств А Х В Х С, ВХС Х А, СХА Х В, В Х А Х С, АХСХВ С Х В Х А. 6. формулы дистрибутивности Пгедложение 8.
Пусть ((Хл,), ! 1 — семейство семейств <эх/лбе. множеств (имеющее 1. в качестве множества индексов). Предполагается, ипо Ь+ И и 3 ВЕИ для каждого Л~Ь. Пусть 1= Д дх+ И. Тогда леь Ц ( Д Хл, ~) = Д (Ц Хх, 1<л>) П (Ц Хл,~) = Ц (ПХл,1<л>) (,дистрибутивность" объединения относительно пересечения и пересе- чения относительно объединения). Пусть х — элемент из Ц ( П Х ,). Пусть у — любой элемент ХРЬ (,Е! из !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
