Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 26
Текст из файла (страница 26)
что для каждого !~1 область определения функции г, есть Х,. Тогда существует единственная функция 7, у которой облистью определения служит ЦХ„а областью прибытия — множество Р и кото- еЕ! рая продолксает все функции 7',(!~ !). Это — немедленное следствие предложения 7, поскольку 7, и 7„, очевидно, совпадают на Х, ПХ„= И при ! чь к. Опгеделение 7.
Разбиением множества Е называется семейство непустых и попарно непересекающихся частей множества Е, являющееся покрытием мноз!сества Е. Пример. Для всякого непусгого множества А семейство (Гх)) й А частей множества А, состоящих из единственного элемента, есть разбиение этого множества А. Если (Х,), — разбиение множества Е, то отображение ! -ь Х, множества ! На множество )у элементов Х, этого разбиения есть взаимно однозначное отображение.
Следовательно, задание множества )у определяет разбиение с точностью до взаимно однозначного соответствия между множествами индексов. Когда говорят о разбиении, то чаще всего речь идет именно о множестве элементов разбиения. а. Сумма семейства множеств Пгедложение 9. Пусть (Х,), — семейство множеств. Существует множество Х, обладающее следующим свойством: Х есть объединение такого семейства (Х') попарно непере' 'е! секающихся множеств, что для каждого !ЕГ существует взаимно однозначное отображение множества Х, на Х', Пусть А=ЦХ,. Если г~Г, то отображение х-+(х, !)(х~Х,) 'е! есть взаимно однозначное отображение множества Х, на часть Х' множества А Х 1.
Кроме того, образ множества Х' относительно второй координатной функции на А Х 1 содержится в множестве и; отсюда вытекает, что Х,' ПХ„'=И при ! ~ к. Тогда достаточно пзло- Х=ЦХ,'. 'е! Опгеделение 8. Пусть (Х.) — семейство множеств. Суммой й! этого семейства множеств называется объединение семейства множеств Х, Х (!) (! ~ 1). Пгедложение 10. Пусть (Х,),~! — семейство попарно непересекающихся множеств. Пусть А — его объединение и 8 — его сумма. Существует взаимно однозначное отображение множества А на множество 8. Для каждого г~! пусть г", есть биекция множества Х, на множество Х, Х 1!]. Ввиду предложения 8 существует отображение 7 множества А в множество Я, продолжающее все отображения 7",. Нетрудно видеть, что 7 — взаимно однозначное отображение множества А на множество Я.
Допуская вольность речи, иы говорим, что множество Е есть сумма семейства множеств (Х,),Е!, если сущзствуег биекция множества Е на сумму этого семейства, определяемую согласно определению 8. Заметим, что если (Х ) — произвольное семейство множеств, ' 'е! то вывод предложения 10 показывает, что существует отображение суммы 8 этого семейства на его объединение А. упражнения 1) пусть Π— график. показатьк что три следующих предложезия эквивалентны: а) О есть функциональный график; -! б) каковы. бы ии были множества Х, у, всегда 0(ХП'!)= =о(х)По(у); в) сооггюшение ХП!'= И влечет за собой О (Х) ПО (!) = И. 2) Пусть Π— график. Показать, что для всякого множества Х справедливо О (Х) = огг(0П(Х Х ргго)) и 0 (Х) = 0(ХПрго). 3) Пусть Х, !', '!' „2 — четыре множества.
Показать, что (!' Х 2) п(Х У( !) = И, если У П 'г'. И 1!2 гл. и. теозия множеств (бх) сопт(у с х). 8 И. ВхРбь»и и (1'х х)о(хХ У) = хХ е, если УП 1' ~ ьх. 4) Пусть (О,),» — семейство графиков. Показать, что для всякого множества Х справедливо 1'и 0,1(Х) = Ц 0,(Х) и что для всякого 1~е! ! ~е! объекта х справедливо )П 0,1((х)) = П О, ((х)). Привести пример !'е! ! Р! двух графинов О, Н и множества Х, таких, что (ОПН) (Х) Ф 0(Х)ПН(Х). 5) Пусть (0,),Е ! — семейство графиков, Н вЂ” график.
Показать, что ( О'1'"= О " "'Я') =и "" ~е! У ~е! 1'е! ° 'е! 6) Для того чтобы график О был функциональным, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары графиков Н, Н' (НПН') О=(Н О)П(Н' О). 7) Пусть О, Н, К вЂ” три графика. Доказать соотношение (Н ч 0) П К с (Н П (К «О)) «(О П (Н «К) ). 8) Пусть Я = (Х,),Е! и йх = (У„)„ек — два покрытия множества Б.
а) Показать, что если Я и Я! — разбиения множеств Е н Я мельче, чем йх, то для каждого»Е К существует такое ~81, что Х,с У„, б) Привести пример двух таких покрытий Я, ®, что Я мельче З, но свойство, описанное в а), при этом отсутствует. в) Привести пример двух таких разбиений Я, Я множества Е, что для каждого» й К существует ! 8 1, для которого Х, ь: '!'„, но при этом Я не мельче, чем ®.
ф Б. Произведение семейства множеств 1. Аксиома множества частей Эта аксиома означает, что для каждого множества Х существует множество, элементами которого служат все части от Х, а именно множество от(!' с Х) (8 1, п'4); его обозначают через ь4г(Х) и называют множеством (всех) частей или множеством (всех) подмножеств множества Х.
Ясно, что если Х с Х', то 1з(Х) с (4з(Х'). Пусть А и  — два множества, !' — соответствие между А и В. Функция Х-«Г(Х) (Х ~ ьца(А), Г(Х) ~ ь4а(В)) называется каноническим распространением (или просто распространением) соответствия Г ка множества частей и обозначается символом Г; это есть отображение множества ф(А) в ф(В). Если Г'— соответствие между В и некоторым множеством С, то формула е 5 К ПРОИЗВЕДЕНИЕ СЕМЕИСТВА МНОЖЕСТВ из (Г' х Г) (Х) = Г'(Г(Х)) показывает, что распространение соответствия Г'оГ на множества частей есть отображение Г' «Г, Пгедложение 1. 1' Если у' — сюрьекция множества Е на мпожество Р, то каноническое распространение у' есть сюрьекция из )Э)(Е) яа ьвз(Р). 2' Если у" — иньекция множества Е в множество Р, то каноническое распространение у" есть иньекция из х4З(Е) з ф(Р).
1' Если з — иссечение, ассоциированное с у, то у «з есть тождественное отображение множества Р; следовательно, г" «з есть тождественное отображение множества ф(Р), а это доказывает, что Г" есть сюръекция и з — ассоциированное с ней иссечение (8 3, п'8). 2' Предложение непосредственно очевидно при Е = И, потому что тогда ь4л(Е) = )И).
Если Е чь И и г есть ретракция, ассоциированная с у, то го у есть тождественное отображение множества Е; следовательно, г ч Г" есть тождественное отображение множества 4г(Е), а это доказывает. что у' есть инъекция и г — ассоциированная с ней ретракция (8 3, п' 8). 2. Множество отображений одного множества в другое Пусть Е и Р— множества. График отображения множества Е в Р есть часть множества Е Х Р.
Множество элементов из 4г(Е Х Р), обладающих свойством „быть графиком отображения множества Е в Р", является поэтому частью от ь4л(Е Х Р), которую мы обозначаем через Ре. Множество троек У=(С, Е, Р), где С ~ Ре, есть, таким образом, множество отображений множества Е в множество Р; оио обозначается символом,г (Е, Р). Ясно, что С вЂ” «(С, Е, Р) есть биекция (называемая канонической) множества Ре на,г (Е, Р). Существование этой биекции позволяет сразу же перевести всякое предложение о множестве Ре в предложение о множестве еу (Е, Р), и обратно, Пусть Е, Е', Р, Р— множества. Пусть и — отображение множества Е' В Е и о — отображение из Р в Р'.
Функция У-«ооУ'аи О'~о~(Е, Р)) есть отображение из,У (Е, Р) в ег (Е', Р'). Пгелложение 2. 1' Если и — сюрьекция множества Е' на Е и о — ияьекция множества Р з Р', то отображение Г"-«оо Г" «и инзективно. 2' Если и — икьекция множества Е' в Е и о — сюрьекция множества Р на Рх, то отображение у -«о«У«и сюръективно. Ограничимся случаем, когда множества Е, Е', Р, Р' непусты, так как в других случаях предложение проверяется тривиально.
114 ГЛ. И. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1' Пусть 5 — иссечение, ассоциированное с и, г — ретракция, ассоциированная с о (й 3, определение 11). Тогда г а (о а У а и) ь г = =!р ау а !В=у, а это доказывает, что Г" — «оау'аи инъективно. 2' Пусть г' — ретракция, ассоциированная с и, г' — иссечение, ассоциированное с о. Лля всякого отображения Г': Е' — «Р' справедливо па(в'а у'аг')аз=~', а это доказывает, что г — «оау аи сюръективно. Следствие. Если и — биекция множества Е' на множество Е и о — биекция многкества Р на множество Р', то г — ь Сараи биективно. Пусть А, В, С вЂ” три множества и у — отображение множества В Х С в множество А.
Лля всякого у ~ С пусть у ( °, у) есть частно! отображение х«у (х, у) множества В в множество А (й 3, п' 9); функция у«у( °, у) есть отображение множества С в чг (В, А). Обратно, для всякого отображения й множества С в ьг (В, А) существует и единственно отображение у множества В Х С в А, такое, что д(у)=У(, у) для каждого у~С, а именно отображение (х, у)-«(д(у) )(х).
Следовательно, имеет место следующсе предложение. Предложение 3. Если для всякого отобрагкения у" множества В Х С в множество А обозначить символом Ут отображение у — ь г"( °, у) множества С в чг (В, А), то функция у — «у есть биекцая (называемая канонической) множества а~ (В Х С, А) на множество Ф (С, ьчг (В, А) ). Аналогично определяется биекция (называемая канонической) множества а7 (В Х С, А) на ьг (В, ьУ (С, А)). В силу взаимно однозначного соответствия между отображениями и функциональными графиками предыдущие биекции дают биекции (называемые каноническими) множества А на множество (А ) (соответственно (А ) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
