Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Любая часть Б множества Е, такая, что для всякого 1~1 множество 3П Х, состоит из единственного элемента, называется системой представителей классов эквивалентности по К. Этим названием обозначают также всякую инъекцию произвольного множества К в Е, обладающую тем свойством, что образ множества К по этой инъекции есть система представителей классов эквивалентности по К; таким является, в частности, всякое иссечение множества Е для соотношения К. 3. Соотношения, совместимые с соотношением эквивалентности Пусть К»х, х'» — соотношение эквивалентности и Р» х» — произвольное соотношение. Мы говорим, что Р»х» совместимо с сооткошепигм эквивалентности К»х, х'» (по х), если (Р!х» и К»х, у»)==;>Р»у», где у обозначает букву, не встречающуюся ни в Р, ни в К. Например, нз С43 (гл.
1, б 5, и' 1) вытекает, что любое соотношение Р»х» совместимо с соотношением эквивалентности х= х'. С56. Пусть К»х, х'» — соотношение эквивалептпости э множестве Е, а Р)х» — соотношение, пе содержащее буквы х' и совместимое (по х) с соотношением эквивалентности К»х, х'»; тогда, если ! не встречается в Р»х», соотношении „!~Е/К и (Эх)(ха! и Р»х»)" эквивалентно соотношению „!~Е/К и (Ч х) ( (х ~ !) ~ Р» х» )'. В самом деле, пусть ! ~ Е/К.
Если существует такое а ~ С что Р!а», то для всякого х~! имеет место К!а, х» и, следовательно, Р» х». Следовательно, (3х) (х ~! и Р» х!) влечет (!ах)((х~!)=)РР»х»). Обратное очевидно, так как из !~Е/К следует, что ! Ф И. Про соотношение (!~Е/К и ()х)(х~! и Р»х!)) говорят, что оно выведено из Р»х» переходом к фактормпожестэу (по х) для соотношения К. Если обозначить указанное соотношение через Р' » !» и если / есть каноническое отображение множества Е на фактор-, множество Е/К, то соотношение (у ~ Е и Р'»/(у)») (где у не встре- г Ъ б.
СООТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 129 чается в Р»х») эквивалентно (у~Е и Р»у»), как нетрудно показать. 4. Насыщенные части Пусть К»х, у» — соотношение эквивалентности в множестве Е и пусть А — часть множества Е. Мы говорим, что часть А насы- щена для соотношения К, если соотношение к~ А совместимо (по х) с К»х, у»; или — что то же самое — если для эсякого к~А класс эквивалентности элемепта х содержится э А. Иначе говоря, для того чтобы множество было насыщенным для К, необходимо и достаточно, чтобы оно было объединением какого-либо множества классов эквивалентности по К.
Пусть У вЂ” каноническое отображение множества Е на фактор- множество Е/К; если А насыщено для К, то класс эквивалентности всякого элемента х ~ А, представляющий собой не что иное, как -! 1 /((/(х))), содержится в А; следовательно, /(/(А))~А. Но так — 1 -1 как, с другой стороны, А~/(/(А)), то А=у(/(А)). Обратно, -1 если А =у (/(А) ), то для всякого х ~ А класс эквивалентно- сти К=у(х) элемента х для К есть элемент из /(А) и так -! -1 как К= /((К)), Кс=/(/(А)) =А. Таким образом, мы видим, что части от Е, насыщенные для К, суть такие части А множества Е, -! что А = /(у'(А)). Можно также сказать, чго это части множества Е -1 — 1 вида /(В), где'В~Е/К; в самом деле, соотношение А = /(В) вле- -1 чет В= /(А), откуда А =/(/'(А)). Если (Х,), — семейство насыщенных частей множества Е, то ' 'б! множества ЦХ, и ПХ, насыщены (9 4, предложения 3 и 4).
Если Е! б1 А — насыщенная часть множества Е, то и ( РА — насыщенная часть ($4, предложение 6). Пусть теперь А — произвольная часть множества Е. Множество -1 у (/(А)) содержит А и насыщено. Обратно, если насыщенная часть А' -1 множества Е содержит А, то у(А')т/(А), откуда А'=/(/(А'))~ -1 -1 =ау'(/(А)). Поэтому можно сказать, что у Ц(А)) есть, наименьшая" насыщенная часть множества Е, содержащая А (ср. гл, 1!1); это мно- жество называется иасыщеиием части А для соотношения К.
Непо- средственно очевидно, что оно есть объединение всех классов экви- валентности элементов множества А. Если (Х,),, — семейство частей множества Е, а А,— насыщение множества Х, для К, то насыщение множества ОХ, есть ЦА, (9 4, предложение 3), Е1 ~Е1 130 ГЛ.
!!. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ т Ь 6. СООТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ )3! б. Отображения, совмеспгимые с соотношениями эквивалентности П усть К вЂ” соотношение эквивалентности в множестве Е и пусть / — функция с областью определения Е. Мы говорим, что у' солчестима с соотношением К, если соотношение у=/(х) совместимо (по х) с соотношением Кгх, х'). Вместо этого, как легко видеть, можно сказать, что сужение функции у' на произвольный класс эквивалентности есть постоянное отображение; можно сказать также в этом случае. что ~' постоянна на всяком классе эквивалентности по К. Если я — каноническое отображение множества Е на фактормножество Е/К, то это означает также, что соотношение б(х)=я(х') влечет /(х)=/(х'); следовательно (9 3, предложение 9), мы получили следующий критерий; С57, Пусть К вЂ” соотношение эквиаалентности в множестве Е и и — каноническое отображение множества Е на фактормножестло Е/К.
Для того чтобы отображение у множества Е В множество Р было совместимым с К, необходимо и достаточно, чтобы / можно было представить в виде /г эд, где /г — отображение фактормножестэа Е/К в множество Р. Отображение /г однозначно определяется через /"; если з — ис- СЕЧЕНиЕ, аССОЦииРОеаННОЕ С и, та /г =У ьэ. Мы говорим, что /г есть отображение, выведенное из у переходом к фактормножеству по К. Пусть у' — отображение множества Е в множество Р и пусть А=у(Е)г=Р. Пусть К вЂ” соотношение эквивалентности, ассоциированное с у (п'2); ясно, что / совместимо с К. Кроме того, отображение /г. выведенное из у переходом к фактормножеству, есть иньективное отображение фактормножества Е/К в множество Р; в самом деле, если ! и г' — классы эквивалентности по К, такие, что /г(г)=А(Р).
то /(х)=/(х) при х~/ и х'~Р, а зто влечет / = р по определению соотношения К. Пусть к — отображение фактор- множества Е/К на множество А, имеющее тот же самый график, что н /г; тогда к биективно. Если / — каноническая инъекция множества А в множество Р и я — каноническое отображение множества Е на факториножество Е/К, то можно написать / =/ьйьи; это соотношение называется каноническим разложением отображения /.
Пусть у — отображение множества Е в множество Р, К вЂ” соотношение эквивалентности в Е, 8 — соотношение Š— ь Р Е/К вЂ” „-э Р/8 Рис. 3 эквивалентности в Р. Пусть и — каноническое отображение множествз Е на фактормножество Е/К, о — каноническое отображение множества Р на фактормножество Р/8. Мы говорим, что у совместимо с соотношениями эквивалентности К и 8, если оо/ совместимо с К; это означает, что соотношение х= — х'(шоб К) влечегп /(х) = /(х')(шод 8).
Отображение /г фактормножества Е/К на множество Р/8. выведенное из о /' переходом к фактормножеству по К, называется тогда отображением, выведенным из / переходом к фактормножествам по К и 8; оно характеризуется соотношением оь /=/! о и (рис. 3). б. Полный прообраз соотношения эквивалентности; индуцированное соотношение эквивалентности Пусть р — отображение множества Е в множество Р, а 8 — соотношение эквивалентности в Р. Если и — каноническое отображение множества Р на фактормножество Р/8.
то соотношение эквивалентности, ассоциированное с отображением и э р множества Е в фактор- множество Р/8, называется полным прообразом соотношения 8 относительно (при, по) у; если К вЂ” такое соотношение, то К)х, у) эквивалентно 8) у(х), Ч!(у)); классы эквивалентности по К суть полные прообразы по р от тех классов эквивалентности по 8, которые пересекаются с ~(Е). В частности, рассмотрим соотношение эквивалентности К в множестве Е, и пусть А есть часть множества Е; полный прообраз соотношения К по инъекции / множества А в множествз Е называется соотношением эквивалентности, индуцированным в А соотношением К н обозначается символом КА.
Классы эквивалентности по КА суть следы на А от классов эквивалентности по К, пересекающихся с А, Инъекция /, очевидно, совместима с соотношениями КА и К. Отображение /г фактормножества А/КА в фактормножество Е/К, выведенное из /' переходом к фактормножествам по КА и К есть иньективное отображение фактормножества А/КА в Е/К; в самом деле, если /' — каноническое отображение множества Е на Е/К, а б — каноническое отображение множества А на А/КА, то соотношение /г (б (х) ) = д(д(х')) при х ~ А и х' ~ А эквивалентно /(х)=у(х), а следовательно, д(х)=д(х). Образ /г (А/КА) равен у (А); если й — биективное отображение фактормножества А/КА на /(А), имеющее тот же самый график, что и /г, то само /г и обратное к нему отображение называются каноническими.
7. !ракторсоотношения соотношений эквивалентности Пусть К и 8 — два соотношения эквивалентности по буквам х и у. Мы скажем про 8, что оно более мелкое (тонкое), чем К, или мельче (тоньше) К, а про К, что оно более крупное (грубое), чем 8. или крупнее (грубее) 8, если справедливо соотношение 8 4! К. Если К и 8 — соотношения эквивалентности в одном и том же мно- ГЛ. П. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 132 э % в. Соотношение эквивалентности 1ЗЗ жестве Е, то сказать, что 3 мельче, чем К, значит сказать, что график соотношения 3 содержится в графике соотношения К, или, что всякий класс эквивалентности по 3 содержится в некотором классе эквива- лентности по К, или, иными словами, что всякий класс эквивалент- ности по К насыщен для 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
