Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Примеры. 1) Соотношение „хЕЕ и уб3 н х=у' мельче, чем любое соотношение эквивалентности в Е; соотношение .хб Е и уб 3' крупнее, чем любое соотношение эквивалентности в Е. 2)' Соотношение эквивалентности .х б Е и у б Х и х — у делится на 4 *мельче, чем соотношение эквивалентности .хб Е и у б Е н х — у делится на 2'., Пусть К и 3 — соотношения эквивалентности в одном и том же множестве Е, причем 3 мельче, чем й, Пусть у' и и — канонические отображения множества Е на Е/К и множества Е на Е/3. Функция г' совместима с 3; пусть й — функция, выведенная из / переходом к фактормножеству по 3; Ь есть отображение фактормножества Е/8 на Е/К. Соотношение эквивалентности, ассоциированное с Ь в Е/3, называется факторсоотношением соотношения К по 3 и обозна- чается символом К/3; соотношение х=у(шоб.
Я) эквивалентно соот- ношению и(х)=и(у)(шоб, К/3); классы эквивалентности по К/3 суть образы классов эквивалентности по К. Пусть Ь =у'ойгой, есть ка- ноническое разложение (и' 5) отображения Ь; тогда й, есть канони- ческое отображение фактормножества Е/3 на (Е/3)/(К/3), / есть то- ждественное отображение фактормножества Е/К и йг — взаимно одно- значное отображение множества (Е/3)/(К/3) на Е/К. Отображение Ьг н обратное к нему отображение называются каноническими. Рассмотрим, наоборот, произвольное отношение эквивалентности Т в множестве Е/3, и пусть К вЂ” соотношение эквивалентности в Е, являющееся полным прообразом соотношения Т по и (и'6); так как соотношение хеш у(шос(К) эквивалентно с и(х)=и(у)(шос(Т), то нетрудно видеть. что Т эквивалентно с К/3.
8. Произведение двух соотногиениб вквивалентноснги Пусть К)х, у~ и К'1х', у'~ — два соотношения эквивалентности. Обозначим через 3)и, о~ соотношение (1х)(Эу)(Лх')(Зу')(и=(х, х') и о=(у, у') и К)х, у~ и К'1х', у'1); легко видеть, что 3'1и, о~ — соотношение эквивалентности; его называют произведением соотношений К и К' и обозначают через К ХК'. Предположим, что К вЂ” соотношение эквивалентности в множестве Е и что К' — соотношение эквивалентности в множестве Е'. Тогда соотношение 31и, и) эквивалентно (Эх)(-(х')(и =(х, х') и К(х, х1 и К')х', х'1), т.
е. (Зх)(:-(х')(и =(х, х') и х Е Е и х' ЕЕ'), а следовательно, и и ~ В ХЕ'! отсюда вытекает, что К ХК' есть соотношение эквивалентности в Е Х Е'. Если и =(х, х') есть элемент из Е ХЕ', то соотношение 31и, о1 эквивалентно Яу)(Ду')(о =(у, у') и К(х. у1 и К')х', у'1); если О и О' — графики для К и К', то это соотношение эквивалентно также о ~ О (х) Х О'(х ). Всякий класс эквивалентности по К Х К' яэлпетсп, таким образом, произведением некоторого класса эквивалентности по К и некоторого класса эквивалентности по К', и обратно. Пусть у и /' — канонические отображения множества Е на Е/К и множества Е' на Е'/К', и пусть /Х /' — каноническое распространение отображений у и /" на произведения-множества ($3; и' 9); тогда (у Ху')(х, х')=(/(х), ~'(х')) для (х, х')~ Е ХЕ'. Прообраз по / Х /' элемента (и, и') из (Е/К) Х (Е'/К') есть не что иное, как проиаведеиие и Х и' класса эквивалентности и по К и класса эквивалентности и' по К'1 отсюда вытекает, что соотношение эквивалентности, ассоциированное с / Х /', эквивалентно К Х К'.
Поэтому отображение / Х у' можно представить е виде й си, где е — каноническое отображение из Е ХЕ' на (Е ХЕ')/(КХК'), а й — взаимно однозначное отображение множества (Е ХЕ')/(КХ К ) на (Е/Ю Х(Е'/К )! это отображение и обратное к нему называются каноническими. Замечание. Пусть Р(х, х'1 — соотношение, е котором не встречаются буквы у н у', мы говорим, что Р совместимо с соотношениями эквивалентности К)х, у) и й'(х', у'1 (по х и х'), если соотношение (Р(х, х') и К)х, у1 и й'(х', у'1) влечет Р)у, у 1. Пусть Я(и1 есть соотношение (Зх)(Лх')(и =(х, х ) н Р(х, х 1); это значит, что Я(и1 совместимо (по и) с соотношением эквивалентйости 3(и, о) — произведением соотношений К н й'.
У. Классы вквиваленнгных объектов Пусть К(х, у) — произвольное соотношение эквивалентности, быть может даже не имеющее графика. Очевидно, что если х, х' и у суть три различные буквы, то соотношение К)х, х'1 влечет К)х, у(ффК)х', у1, а следовательно, и (!!/у)(К(х, у!сФфй~х', у(). Положим 01х(=т (К)х, у1). Ввиду схемы 37 (гл.
1, 3 5, и' 1) соотношение К)х, х'1 влечет 91х1=9(х'1, Заметим, с другой стороны, что по определению К)х, 91х(1 есть не что иное, как соотношение Ду) К ~ х, у ~; таким образом (и' 1), соотношение К ~х, 91х11 эквивалентно соотношению К(х, х). Поэтому можно заключить, что соотношение (К)х, х~ и К)х', х'~ и 9)х1=0(х'1) эквивалентно соотношению К)х, х'1; в самом деле, первое из этих соотношений влечет, в силу 36 (гл. 1, 3 5, п' 1), соотношение (К(х, х~ и К~х', х'~ и К)х', б~х~~~К)х'.
0~х'1~), 4 а, соотнОшение экВиВАлентнОсти 134 ГЛ. Н. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Упр Упр. а значит, и соотношение (К)х, 0(х(1 и К)х', 0(х)1) и, наконец, в силу транзитивности и симметричности, К ~ х, х'~; так как, с другой стороны, известно, что К(х, х'~ влечет (К(х, х( и К!х', х')), наше утверждение доказано. Терм 0( х) называют классом объектов, эквивалентных х (согласно соотношению К). Предположим теперь, что Т вЂ” такой терм. для которого соотношение (!бу)(К)у, у)=Р((х)(хЕТ и К(х, у()) (1) истинно. Тогда соотношение ((х) (К(х, х) н е = 01 х !) является коллектизизируюи(им ио е'). В самом деле, можно предполагать, что х~ Т влечет К)х, х'., "достаточно заменить Т множеством х~ Т, таких, что К)х, х) (заметим, что К(х, у$ влечет К) х, х)).
Пусть тогда с! будет множеством объектов вида 0)х$ для хТ(0 1, п' 6). Предположим, что К)у, у)истинно; тогда существует такой х~Т, что К$х, у(; следовательно, 0) у $ = 0 ! х)!- с!. Говорят, что множество 6 есть множество классов эквивалентных объектов для К, и для всякого х, такого, что К( х, х(, 0(х( есть единственный элемент г ~ 9, такой, что К) х, е). При тех же предположениях пусть А(х) — такой терм, что й(х, у ! влечет А)х) А)уф Тогда соотношение (Вх)(й !х, х! и з= Л!х!) также является коллективизнрующнм по з, ибо й (х, х1, будучи эквивалентным й !х, 0 ! к!1, влечет А (х) = А ! 0(хП и, следовательно, если Е есть множество объектов вида А)г( для !се, й)х, х! влечет А!к!е Е.
Если у есть функция г-»А11!(!0 6, А!Т10Е), то соотношение й(х, х! влечет А(х(=у(0(х)). В частности, если й — соотношение эквивалентности в множестве Р, за А !х! можно взять класс эквивалентности элемента х по й (и' 2); ункцня у является тогда биекцией множества О на фактормножество /й, что оправдывает введенную терминологию. ' Пример. Пусть й ! х, у) есть соотношение эквивалентности .х и у суть векторные пространства над С одной н той же конечной размерности"; это соотношение не обладает графиком. Условие (1) выполняется, если за Т взять либо множество векторных надпространств пространства С!"1, либо подмножество Т' множества Т, образованное пространствами С" (аЕ В)), где под С' понимается точка О пространства С а для и > О пространство С" есть сумма первых а компонент прямой суммы С!н!.
Между прочим, при втором выборе 6 = Т'., Упражнения 1) )(ля того чтобы график О был графиком какой-либо эквивалентности на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы рг,О=Е, — ! Оп0»0 О и йег-0 (где Ье — диагональ множества Е). ') Этот факт, по-видимому, обосновывается ссылкой на дедуктивные критерии 0 1, п' б. Но тогда, как кажется, надо дополнительно потребовать.
чтобы буква х не встречалась в терме Т. — Прим. рад. -! — ! 2) Если Π— такой график, что 0»0»0 = О, показать, что ОпΠ— 1 и 0 и О суть графики эквивалентностей на рг,0 н рг,0 соответственно. 3) Пусть Š†множест, А †подмножест множества Е, й †соотношение эквивалентности, ассоцяировзнное с отображением Х -» Х П А мио жества гэ)(Е) в множество !гэ(Е). Показать, что существует биекцня множества !Гэ (А) на фактормножество Чэ (Е)Д.
4) Пусть Π— график некоторой эквивалентности на множестве Е. Показать, что если А — такой график, что А ~ О и рг,А= Е (соответственно рг,А=Е), то ОпА=О (соответственно А 0=0); кроме того, если  — произвольный график, то (ОПВ)»А= ОП(В Л) (соответственно Ап(ОПВ) = ОП(АпВ)).
5) Показать, что всякое пересечение графиков эквивалентностей в множестве Е есть график эквивалентности на Е. Привести пример двух эквивалентностей иа Е, таких, чтобы объединение их графиков не было графиком эквивалентности в Е. б) Пусть О н Н вЂ” графики двух эквивалентностей на Е.
Для того чтобы 0 и Н было графиком эквивалентности на Е, необходимо и достзточно, чтобы ОпН = Н»0; тогда график 0»Н есть пересечение всех графиков зквивалентностей на Е, содержащих 0 н Н. 7) Пусть 0„0» Нп, Н, — графики четырех эквивалентностей на множестве Е, такие, что О!ПНп — — ОпДН, и О, Нп = Оп»Н» Лля всякого х0 Е пусть й, (соответственно 3,) есть соотношение, индуцированное на О, (х) (соответственно Н, (х) ) соотношением эквивалентности (х, у) 0 О, (соответственно (х, у) 0 Н,).
Показать, что существует биекция фактормножества О, (х)(йп на фактормножество Н, (х)гбп (показать, что эти два фактормножества находятся во взаимно однозначном соответствии с фактормножест вон множества А = О, (х) П Н, (х) по соотношению эквивалентности, индуцированному на А соотношением й,, причем это соотношение эквивалентно соотношению эквивалентности, индуцированному на А соотношением Бп).
8) Пусть Е н Р— два множества, й — соотношение эквивалентности в Р, у' — отображение множества Е в Р. Если 5 — соотношение эквивалентности, составляющее прообраз соотношения й по у, и А=у(Е), определить каноническую биекцию множества ЕгЯ на А!КА. 9) Пусть Р, 0 — два множества, й — соотношение эквивалентности в Р, р — каноническое отображение множества Р на Р/й, / — сюръекция множества 0 на Р!й.
Показать, что существует множество Е, сюръекция и множества Е на множество Р и сюръекцня Д множества Е на множество О, такие, что р и =У»В. 1О) а) Если й(х, у) — произвольное соотношение, то „й!х, у( и й)у, х!* есть симметрическое соотношение. При каком условии оно рефлексивно в множестве Еу ' б) Пусть й1х, у( — соотношение, симметрическое и рефлексивиое в множестве Е. Пусть 5 (х, у) есть соотношение „существует такое целое число и > О и такая последовательность (х,)е<!<и элементов из Е, что х, = х, х„ = у и для всякого индекса 1, такого, что О ( ! С а, имеет место й (хь х!»!(".
Показать, что Я (х, У) есть соатношение эквивалентности в Е й что его график является наименьшим из графиков эквивзлентностей в Е, содержащих график соотношения й. Классы эквивалентностей по 3 называются свнэными компонентами множества Е относительно соотношения й. в) Пусть Я вЂ” множество частей А множествз Е, обладающих тем свойством, что для всякой пары элементов (у, з), где у с А, з0Š— А, справедлива .не й!у, э)". Для всякогохйЕ показать, что пересечение ГЛ. Н.
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ кар,, множеств А е $, таких, что хб А, есть связная компонента элемента х относительно соотношения Й., 11) а) Пусть й ]х, у! — симметричесное и рефлексивное соотношение в множестве Е. Мы говорим, что й есть интраизитивяое соотношение порядка 1, если для четырех различных элементов х, у, т ! из е сОотношения Й]х, у], Й!х, з], Й[х, 1], Й[у, з] и Й ]у, 11 влекут Й]л, г]. мы говорим.
что часть А множества е устойчива против соотношения й, если, каковы бы нм были х и у з А, всегда й ]х, у]. Если а и Ь вЂ” два различных элемента из Е, таких, что К[а, Ь], показать, что множество С(а, Ь) таких хб Е, что й]а, х[ и Й[Ь, х[, устойчиво и что для всякой пары различных элементов х, у из С(а, Ь) справедливо С(х, у) = С(а, Ь). Нонституэнтами множества Е относительно соотношения й назовем эти множества С(а, Ь) [для всякой пары (а, ь) тзкой, что й [а, ь)] и связные компоненты (упражнение 10) по й, сводящиеся к единственному элементу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
