Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Существует такой индекс Л, что х ~ П Х „ следовательно, 'йгх «сХЛ,1<л> откУда «с ЦХЛ 1<х>, Так как это справедливо для всялеь ко /61 «ЕД(ЦХЛ,1<л>). Пусть теперь х есть предмет, УР! Лхчл не принадлежащий к множеству Ц ( П Х,,). Отсюда вытекает, что ХРЬ( йг, для всякого ЛЬ-Ь имеет место х~ ПХЛ,. а это означает, что длн 'чгх г всякого ЛЬ-Ь множество дл таких <Ь-'йл, что х(Хл,„не пусто. Со- гласно следствию 2 предложения 5, существует такой функциональ- ГЛ.
И. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ в $5, пРОизВедение семепстВА множеств 121 ный график г' с областью определения Ь, что для всякого Л~Ь Т(Л)~ЛЛ. Следовательно, У~1 и дла всЯкого Л~Ь х(ХЛ г<,>. Отсюда вытекает, что х ( Ц Хл у <л> и, следовательно, лес "1П(0'ь») Уч< Л< Ь Тем самым первая формула доказана.
Вторая выводится отсюда. если применить первую формулу к семейству ((САХЛ,) '>, гд А ' ' 'Езл/ЛЕь обозначает объединение Ц ( Ц Хл,). лес И~л следствие. пусть (х,) е< и (У„)„ек — два семейства множеств с ненустыми множествами индексов. Тогда (ПХ,) ()(П У„) = П (Х,() т») (0,).(0,)= 0, Пусть а и <т' — два различных предмета; достаточно применить формулы предложения 8 к случаю, когда Ь = [а, р1, д,=1, д =К, и к семейству ((Т, ) >, такому, что Е,,=Х, для всякого <Ь-1 л>лй!. Х „='1' для всякого я~ К; приняв во внимание существование канонической бнекциии множества Д Лл на 1)<', К (п' 3) и предложе ЛЕ 1.
ние 1 из Э 4, получим указанные формулы. Пввдложенне 9, Пусть г(ХЛ,), 1 ! — семейство семейств Л»лй!. множеств (имеюи4ее Ь в качестве множества индексое). Пусть 1= Д Л . Тогда Д ( Ц Хл, ) =Ц (Д Хл,у<!>) 'ч"л и (если Ь ФИ и ЛЛФ И длн вснкого Л~Ь) Д ( П Хл, ) = П Я Хл,у<л>) лй" 1»< ь ( истрибутивность" произведения относительно объединения и пере(»д сечения). Первая формула очевидна, если Ь=И или ЗЛ=И для некоторого индекса Л~ Ь. В противном случае пусть лг — элемент из Д ( 0 Хм,); следовательно, для каждого Л ~Ь существует такое ЛЕь ! 81 <~дл, что й(Л)~ХЛ д иными словами, множество Н,, таких <~дл, что д(Л) ~ Хл „не пусто.
Согласно следствию 2 предложения 5, существует такой функциональный график у' с областью определения 1.. что для всякогоЛ~1. у'(Л) ~НИ аэто означает, что й(Л) ~Хл Г<!>. Следовательно, й ~ Д Хл, г <л> и потому й Е Ц / Д Х, г <л>) . Обратно, ЛЕ1 /61<~Ел если дЬ-Ц (Д Хл т<,>), то сУществУет такой фУнкциональный гРаге<<ле3 фик у ~1. что лля каждого Л~Ь справедливо б(Л)~ХЛ у<,> и тем более л»(Л) ~ Ц Хл д тем самым доказательство первой формулы йзл закончено.
Вторая доказывается аналогично, но еще проще, как в этом может убедиться читатель своими силами. Следствие 1. Предноложим. что Ь ФИ и дл + <> длн каждого Л~Ь. Если длн каждого индекса Л~Ь семейство (Х,,), есть л разбиение множества Хл= Ц Хь и то семейство (Д Хл»<л>1 'Езл л еь Пе> есть разбиение множества Д Хл. ЛЕ1.
Если положить Рл — — Д Хл г<л>, то ввиду первой из формул предложения 9 достаточно доказать, что для всякого У~!справедливо Рг+ И и что если Т и й — различные элементы из 1. то РгП Р =И Первое вытекает из следствия 2 предложения 5. С другой стороны, если у'Фб, то существует такое Л~Ь, что у(Л) ~ й(Л), откуда в силу предположения Хьу<л>ПХЛ е<л> —— И.
Отсюда вытекает, что не существует ни одного графика, принадлежащего к Р П Р; в самом деле, такой график С должен удовлетворять условию С (Л) ~ Хл, Г <л> П Хь <л> — — И, что абсурлно. Следствие 2. Пусть (Х,), и (у ) два йс жесте. Тогда (ЦХ,) Х(Цу„)= Ц (Х,Ху„) и (если 1 и К не пусты) (ДХ,) Х(ПУ„)= П (Х,Ху„). Достаточно рассуждать, как при доказательстве следствия предложения 8. Ь 5, ПРОИЗВЕДЕНИЕ СЕМЕПСТВА МНОЖЕСТВ 122 ГЛ. П. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ множество индексов которого есть произведение двух мно- жеств ! и К.
Если К чь И, то П (Д х„„) = Ц ( Д х„„) Обе стороны доказываемого равенства представл ю я т собой мно- жества функциональных графиков. 1!ля того чтобы график у при- надлежал к лево ст р н, й оро е, необходимо и достаточно, чтобы для всякого х ~ К было справедливо / ~ Д Д Х, т. е. чтобы для ~Е1 каждого (и х) ~1)г, К Г" (г) принадлежало к Х, „. Для того чтобы у принадлежало к прав азой стороне, необходимо и достаточно, чтобы для всякого ~~1 было справедливо )'(~)ЕПХ, „, т. е., иными сло"бк вами, чтобы для всякого (и х)ц1И',К у'(~) принадлежало к Х, „. Тем самым предложение доказано.
Следствие. Пусть (Х,),, и («,) ! — два семейства множеств, обладающие о ним д д им и тем же мнозкеством индексов 1 Ф И, Тогда (Ц х ) П (Ц «,) = Ц (х, и «,) (Пх,) Х Я«,) =Д(х,Х«). о рименить предложение 10 к случаю, когда К (соотдостаточно примен ветственно 1) есть множе 1) о ество, состоящее из двух различных элементов. 7. Распространение отображений на произведения Опгеделвнив 2. Пусть (Х,) и(«,) б, — деа семейства множеств и (и,),х, — такое семе семейство функций, имеющее то же са о множество ин ексов, чт д ксов, что для каждого ~~1 функция й, есть д отображение множества ножества Х, в множество «,. Лля каж ого у~ ЦХ пусть и есть график функции ~-ьй,(г(~))(~ц !), являюе щийсн элементом произведении Ц дв ° «.
Отоб ажение.à — ьи мной е Д Х в множество Д «, называется каноническим расжестеа Д, в множеств лространением (или просто и м (или просто распространением) семейства отой ( ) на произведения; иногда его называют также бражений (й,),б, на произве произведением семейства отображений (К),би Таким образом, если использовать индексные обозначения. то произведение семейства отображений (д,) , есть функция (х),— ь(й,(х)) „' иногда ее также обозначают через (а) если ! = (м Р), где е н 'Р различны, то распространение иа произведения семейства отображений (й,),Е1 есть ие что иное, как фо(й„>( йг)ь т, где т обозначает каноническое отображение множества Д Х, иа множество Х„ К ХВ (п 3), ф — каноническое отображе~е! иие множества У„ К УЗ на множество Д У,. 'б~ пгедложение 11.
пусть (х),би («,) би (х) б, — три семейства множеств и пусть (б,) и (й') — два семейства функций, ' г! ' 6! имеющие то же самое множество индексов и обладающие тем свойством, что для каждого г~! Аг, есть отображение из Х, в «, а и' — отображение из «, в Хс Пусть и и б' — распространения семейств (д) и (д") на произведения; тогда б1 ' б! распространение семейства (й'му),; на произведения равно 8' '8'.
Предложение сразу же вытекает из определения 2. Следствие. Пусть (Х,),, («,), — деа семейства множеств, (и,),б, — семейство функций. Если для каждого ~~1 д, есть инвекция (соответственно сюрьекция) множества Х, в множество «„то распространение и семейства (и,), ! на произведения есть инзекция (соответственно сюрьекция) множества Дх, в Ц«г 1' Ограничимся случаем, когда Х,Ф И для всякого ~~1, нбо в остальных случаях результат выводится тривиально.
Предположим, что для всякого с~! д', есть инъекция и что г, есть ретракция. ассоциированная с д, ($3, п' 8, определение 11); таким образом, г, о и, есть тождественное отображение множества Х,. Пусть г — раг- ПРОСтРаиЕНИЕ На ПРОИЗВЕДЕНИЯ СЕМЕНСтВа (Г,) И таК КаК Г ь а ЕСТЬ распространение на произведения семейства тождественных отображений !х, то г о и есть тождественное отображение множества Д Х, и, 'Е1 следовательно, и есть инъекция (й 3, предложение 8). 2' Предположим, что для всякого г~! й, есть сюръекция множества Х, на множество У, и что з, есть иссечение, ассоциированное с и, ($3, п' 8, определение 11); таким образом, й;ьз, есть тождественное отображение множества «,. Если з есть распростра- НЕНИЕ На ПРОИЗВЕДЕНИЯ СЕМЕЙСтВа (З,) хп тО Аго в ЕСТЬ РаСПРОСтРанение на произведения семейства тождественных отображений 1т и.
4 123 1 4 з. соотношения эквивалентности 124 ГЛ. И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ и+1 ирн» ~~ !гн ~ Й !'н Н 6» Нбя» 9 6. Соотношения эквивалентности е мы перестанем отныне пользоваться полужирными В принципе мы пе е курсивными укв буквами для обозначения неопределенных знакосочетаний; контекст позволит читателю различать без труда высказывания, относящиеся к буквам и к неопределенным соотношениям. следа едовательно, е к э есть тождественное отображение множества П У„ ~61 а это доказывает, что э есть сюръекция (э 3, предложение 8).
Пусть (Х) — семейство множеств и пусть Š— множество. Для "б! всякого отображения )' множества Е в произведение ПХ, компози- ция рг, э)' есть отображение множества Е в множество Хд если — аспространение этого семейства отображений на произведения и д †диагональн отображение (п' 3) множества Е в множество Е', то нетрудно видеть, что у =7 !У. Обратно, пусть (у,) б! — такое семейство функций, что для всякого ! ~ ! г", есть отображение мно- жества Е в множество Х,. и пусть ут — распространение этого семей- ства на произведения; тогда для каждого ! ~ ! имеет место рг, ()'э ~)= у',. Допуская вольность речи, мы обозначаем отображе- ние Уог( также символом (у',),б!.
Таким образом, мы определили взаимно но однозначное отображение (называемое, как и обратное п ~ПХ ' к нему, ка каноническим) множества П Х, на множество (Д Х,) ~Р! ЬЕ1 Уираэкиекии 1) П (Х,), — семейство множеств. Показать, что если (У,), ) усть ( такое семейство множеств, что У,~ Х, для всякого ~б 1, то Д у, ~61 = П Рг, (У,). Р! 2) Пусть А н  — дза множества. Для каждой части 0 множе- А '» В усть 0 есть отображение х -ь 0 ((х)) множества А з А В вгр(В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
