Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 24
Текст из файла (страница 24)
3) Пусть 0 и Н вЂ” два графика. Показать, что соотношение рг,Н !- в 1 г-рг,О эквивалентно соотношению Н с НоОо0; вывести отсюда, что — 1 О г= О о О о 0. 4) Если 0 — график, показать, что ИоО=ОоИ=И. Для того -! чтобы О о О = И, необходимо и достаточно, чтобы 0 = И. 5) Пусть А и  — два множества, 0 — график. Показать, что — ! (А Х В) о О = 0 (А) Х В и 0 о(А Х В) = А Х 0 (В).
б) Для всякого графика 0 пусть О' есть график ((рг,О) Х Х (рго0)) — О, Показать, что (О)'= 0' и -! ', — 1 О. (О)'с д, (О) О = д„, если А ар!!О и В~рггО. Для того чтобы 0=(рг,О)Х(рг,О), не— ! обхопимо и достаточно, чтобы ОоО'о0 = И. 7) для того чтобы график 0 был функциональным, необходимо и — ! достаточно, чтобы 0 (О (Х)) с Х для всякого множества Х. 8) Пусть А и  — два множества, à — соответствие между А и В, Г' — соответствие между В и А. Показать, что если Г'(Г(х) ) = (х) для всякого х6А и Г(Г'(у))= (у1 для всякого убВ, то Г есть биекция множества А на множество В, а Г' — обратное отображение.
9) Пусть А, В, С, П вЂ” множества, У вЂ” отображение множества А в В, л — отображение множества В в С, И вЂ” отображм!ие множества С в П. Показать, что если»оу и Иое — биекции, то у, й, И вЂ” тоже биекции. 10) Пусть А, В, С вЂ” множества, 7 †отображен множества А в В, л †отображен множества В в С, И вЂ отображен множества С В А.
ПОКаЗатЬ, Чта ЕСЛИ СрЕдИ ОтОбражЕНИЙ Иойо/, йо/од, уо лоб лва являются сюръекциями, а третье — инъекцией или два являются инъекциями, а третье — сюръекцией, то У, й, И суть биекции. ' Н) Найти ошибку в следующем рассуждении: пусть Н вЂ” мно- жество натуральнык чисел, А — множество целых чисел л ) 2, для ко- торых существуют три таких строго положительных целых числа х, у, », что х"'+у"=»". Множество А непусто (иначе говоря, .великая теорема Ферма неверна). В самом деле, пусть В= (А) и С= ()Ч].' так как В и С вЂ” множества, состоящие из единственного элемента, то существует биекция у множества В на множество С. Таким образом, у(А) = ]Ч; если А было бы пусто, то мы получили бы ]Ч= у(И) = И, что абсурдно., 9 4.
Объединение и пересечение семейства множеств У. Определение объеданения и пересечения семейства множеств. Пусть Х вЂ” семейство (9 3, п'4), 1 — его множество индексов; для облегчения интуитивного истолкования дальнейшего мы будем говорить, что Х вЂ” се,кейство множеств. Если (Х, 1, Ю) — семейство частей некоторого множества Е (т, е. семейство элементов, у которого область прибытия 6) такова, что соотношение !' ~(]э влечет !' с Е), то мы будем обозначать его символом (Х,) !(Х,!с(!4) или просто символом (Х,), (9 3, п'6); допуская вольность в обозначениях, мы будем обозначать символом (Х,), ! также произвольное семейство множеств с множеством индексов 1.
Так как верно соотношение (!гх)((оЕ! и х~Х)=р(х~Х)), то из 55 (гл. 1, 9 4, п'2) вытекает, что верно соотношение (!г(,) (ЛЕ) (!бх) ((! Е 1 и х Е Х,) Ф (х ~ Х) ). Следовательно, в силу схемы 88 (Я 1, п'6) соотношение Я!)(! ~! и х~Х,) является коллективизирующим по х. Определение 1. Пусть (Х,),е! — семейство мнозкеста (соответственно семейство частей множества Е).
Множество Ж«((=])(!~1 и х~Х)), т, е. множество тех х, которые принадлежат холов бы одному лгножестеу из семейства (Х,),'), на»нелеп!си объединением этого семей»игла и обозначается символом ОХ,. с! Если (Х,) — семейство частей множества Е, то его объединение ' 'о! есть часть множества Е; нетрудно видеть, что оно не зависит ни от Е, ни от области прибытия (]4 отображения о-ьХ,. Сразу же видно, что если 1=И, то Ц Х,=И, ибо тогда (]!)(о~! и х~Х,) неверно. ')С,О1В,„„,,„,, ЮО .
О О,,„,О. ства множеств, не предполагая априори, что эти множества суть части одного и того же множества (гипотеза, введенная при определении объединения в сводке результатов, 4 4, и' 2). ГЛ. П. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Предположим теперь, что [+И. Если и — элемент множества [, то соотношение (!ггг)((1~!)=Р(хЕХ)) влечет хЕХ„; следовательно. ввиду С62 (ф 1, п'6) это соотношение является коллективизируюи[им по х. Опгеделенив 2.
Пусть (Х,), — семейство множеств, у которого множество индексоэ ! непусто. Мноэкестзо Ог ((чу ) ((' Е !) Ф (х 6 Х,) ) ), т. е. множество тех х, которые принадлежат всем множествам из семейства (Х,) Е1, называется пересечением этого семейства и обозначается через ПХ,. 'е! Если 1= И, то соотношение (У)((сЕ!)ф(х6 Х)) не является иоллехтививирующим по х. 3 самом деле, это соотношение истинно и не существует такого множества У, что х 6'!' есть истинное соотношение, ибо тогда 1' было бы множеством всех объектов (ср. ф 1, и' 1, .Замечание*). Если (Х,), — семейство частей множества Е и если 1~ И, то соотношение,хЕЕ и (!б!)((!Е!)=!ь(хЕХ))' эквивалентно соотношению (У!) ((! Е 1) =!ь(х ~ Х ) ); таким образом, оно является коллективизирующим по х, и множество тех х, которые удовлетворяют этому соотношению, равно ПУР 'ч1 Когда 1= И, соотношение „к~Е и (У)((1~ 1)=;=>(х~Х))" эквивалентно соотношению х ~ Е; кроме того, оно является коллективизирующим по х, и множество х.
удовлетворяющих этому соотношению, есть Е. Ввиду этого мы предлагаем следующее определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. ПуетЬ (Х,),г! — СЕМЕйетва Чаетгй МНОЛСЕ- ства Е. Множество $„(х Е Е и (1е,)((! ~ 1) =р(х б Х ) )) т е. множество тех х, которые принадлежат Е и всем множествам из семейства (Х,),, называется пересечением этого семейства и обозначается через ПХ,.
'е! Таким образом, для семейства (Х„) И частей множества Е получаем П Х,= Е. Но для семейства (Х,), частей Е, где множество индск- 'ЕИ сов 1 непусто, пересечение ПХ, не зависит ни от Е, ни от области 'Е! прибытия отображения 1-+Х„что и оправдывает употребление одинаковых обозначений в определениях 2 и 3. ! ь с Онъедииеиие и пеРесечение семепстиа мнОжестВ 193 Пгедложенив '1, Пусть (Х,), — семейство множеств пусть 1 — отображение множества К на 1. Тогда Ц Х„М=ЦХ„ "ек 'е! а если [+И, то П Х11„[=ПХ, мЕК 'Е1 Пусть х — элемент из !1ХР Существует такой индекс !!С[, что хЕХО Так как 1(К)=1, то существует такой индекс х~К, что !=у(х), откуда х~Х и, следовательно, х~ ЦХ о.
Обратно. "ек если х ~ Ц Х, то существует такой х Е К, что х Е Х, откуда "ЕК г (х) ~1 ввиду х~~ 3Х,. Следовательно, Ц Х [„! — — ЦХ,. "хи 'Е! П едположим теперь, что [ФИ, и пусть х — элемент из ПХ,. ре е! ДлЯ всЯкого элемента х из К спРаведливо 1(х)~!, откУда х~хго! х~ ~П Х . Пусть, обратно, х — элемент из Й Хг . Если ° ° 1~1 "ЕК ЕК произвольный элемент из 1, то существует такой элемент х из К, что ! =1 (х), откуда х ~Х, и. следовательно, х Е1 1Х,. Следова- 61 тельно. П Х [„— — ПХ,. *ек Для семейств частей данного множества ясно, что вторая часть предложения 1 остается справедливой и без ограничения ! ~ И. Следствие. Пусть (Х,), — семейство множеств, такое, что Х =Х„для каждой пары индексов (1, х). Тогда для всякого а~[ справедливо ЦХ, =Х, и (при [+И) ПХ, =Х,.
'е! с! Достаточно применить предложение 1 к постоянному отображе- «ию 1-+а множества 1 на множество [и). Опгеделение 4. Пусть $ — множество множеств и пусть Ф вЂ” семейство множеств, образованное тождественным ото- бражением множества ф. Обьединение множеств иэ Ф и (ес,ги ф непусто) пересечение множеств из Ф называются соответ- ственно обьединением и пересечением множеств из ф и обоз- начаются символами 1! Х и П Х. хчй хай Из предложения 1 сразу же вытекает, что если (Х,),, — семей- ство множеств, то объединение и (при 1+И) пересечение этого гл. и. тзовня множеств з х Ь е овъвДинвнив н пвввсичвник свмвпствл множвств 1бб семейства равны соответственно объединению и пересечению множеств из множества элементов этого семейства.
2. Свойства объединения и пересечения Если (Х,) «, и (г',) «, — семейства множеств, имеющие одно н то же множество индексов 1, и если г', с Х, для каждого гЬ.1, то легко видеть, что Ц'г', с ЦХ, и (при !+И) П'г', с ПХ,. ~«! ~б1 Пусть (Х,),, — семейство множеств. Если 3 с!, то Ц Х, с ЦХ, 9г и (при Я+И) ПХ, ~ ПХ,. «г 9! Пгвдложвнив 2. Пусть (Х,) ! — семейство множеств, у ко- торого множество индексов ! есть обьединение семейства (й,),~, множеств. Тогда Цх,= Ц(Ц х,) и (если Ь Ф Й и У„Ф И длл каждого ) ~Ь) ПА' П (Пх) („ ассоциативность" объединения и пересечения). Пусть х — элемент из ЦХ,. Существует такой индекс ~~1, что 'с! х Ь- Хг Так как 1 — объединение семейства (й„),~ь то существует такой индекс ),~Ь, что ~~йы откуда х~ Ц Х, и.
следовательно, ~ать х ~ Ц ! Ц~Х,1. Обратно, пусть х — элемент множества ~ ~ / Ь1 Х ). гас ~~«гь / Существует такой индекс ),Ь.Ь, что хЕ Ц Х„откуда вытекает '«г1 существование такого индекса сЬ-Л„(следовательно, гЬ. 1), что х ~Х,; отсюда можно заключить, что хЬ-ЦХ,. '«! Предположим теперь, что Ь+ И и 3, Ф И для каждого ).Ь-1о тогда 1чь И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
