Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 19
Текст из файла (страница 19)
С50. Пусть )с, 8 — два соотношения, а х — буква. Если )с и 8 являются коллектиалэирующими ио х, то соотношение (1ЕХ)(Я~8) эквивалентно с $„(1С)~$„(8), а соотношение (!!гх)(Я(Ф8) эквивалентно с 6 ()с) =$„(8). Это сразу же вытекает из предыдущего замечания, из определения 1 и аксиомы А1. б. Аксиома двухэлелгентного множества А2. (Ух)(тбу) Сой,(г = х или г = у), Эта аксиома означает, что если к н у суть какие-то объекты, то существует множество, единственными элементамн которого являются к и у.
Опгеделение 2. Множество Й,(г = х или г = у), единствен- ными элементами которого являются х и у, обозначается символом )х, у). Таким образом, соотношение г~)х, у) эквивалентно с „г=х или я=у"; из С50 вытекает, что )у, х) = )х, у). Пусть )71г) — соотношение, х и у — буквы, отличные от ж Из критериев С32, СЗЗ (гл. 1, $4, и'3) н С43 (гл. 1, 4 5, и' !) легко выводится, что соотношение .(й) ((гб (х, у) ) и )7)г))' эквивалентно с .8)х) нлн 11)ур; отсюда вытекает, что соотношение (!Гг) ((гб (х, у) ) Ф)71г! эквивалентно с .)7)х) и !Т)у1'. Множество )х, х), обозначаемое просто символом )х), назы- вается множеством, единственный элемент которого есть х (или множеством, состоящим из единственного элемента х, или множеством, сводящимся к единственному элементу х), соотношение г ~ )х) эквивалентно г =х; соотношение х ~ Х экви- валентно )х)<=Х.
б. Схема отбора и обэедикеяия Схемой отбо ра и обвединен ия называется следующая схема: 88. Пусть )ч — соотношение, х и у — различные буквы, Х и У вЂ” буквы, отличные от х и у и не встречающиеся в )с. Соотношение (1) (Чу) (ЗХ) (Ух) (Р =Р (х Е Х) ) =)ь (тб У) СоП ( (:-)у) ( (у ~ У) и Р) ) есть аксиома. Покажем сначала, что это правило действительно является схемой. В самом деле, обозначим через 8 соотношение (1) и подставим в 8 терм Т вместо какой-нибудь буквы г; согласно С88 (гл. 1, 9 4, и'1), можно предположить, что х, у, Х, У отличны от г и не встречаются в Т. Тогда (Т)г)8 тождественно с (~бу) (3Х) (Ух) (Я' =)ь (х ~ Х) ) =?ь (У У) СОН ( (:-) у) ( (у ~ У) и )У) ).
где )Т есть (Т)г)1с. С интуитивной точки зрения соотношение (уу) (йХ) (Ух) (к=.'ь(х 6 Х)) означает, что для всякого объекта у существует такое множество Х (которое может зависеть от у), что объекты х, находящиеся в соотношении к с данным объектом у, суть элементы множества Х (не составляа обязательно все множество Х). Схема отбора и объединения утверждает, что если дело обстоит тзк н если У есть любое множество, то существует множество, элементами которо~о являются в точности все обьекты х, находящиеся в соотношении к, хотя бы с одним объектом у иэ множества У. С51. Пусть Р— соотношение, А — множество и х — буква, яе вст речающаяся а А. Соотношеяие „Р и х Е А" является коллективиэирующим ао х. Обозначим через 1с соотношение „Р и х=у", где у — буква, отличная от х и не встречающаяся ни в Р, ни в А.
Соотношение (!бх)()2=?ь(х~ )у) )) верно, согласно С27 (гл. 1, 3 4, и' 1). Пусть Х вЂ” буква, отличная от х и у и не встречающаяся в Р. Предыдущее соотношение тождественно с ( )у) ) Х) ((1Ех) (гс=р(х ~ ХЦ) (именно потому, что х отлично от у); следовательно, соотношение (!гу)(ЗХ)Х )( (Ух)()с:=',ь(х~Х)) верно в силу 85 и С27 (гл. 1, й 4, пп' 1 и 2), Из 88 и СЗО (гл. 1, 3 4, п' 3) вытекает, что соотношение (А) У) СОП„(()у)(у~ У и )с)) (где У вЂ” буква; ие встречающаяся в )с) верно, но это соотношение тождественно с СОП„((шу)(у~А и )с)) именно потому, что ни х, ни у не встречаются в А). Наконец, соотношение,у~А и )с" эквивалентно „х=у и хЕА и Р".
согласно С43 (гл. 1, 3 5, п' 1); так как у не встречается ни в Р, ни в А, то соотношение ()у)(х= =у и х~А и Р) эквивалентно соотношению „(Ду)(х=у)) и хЕА и Р", согласно СЗЗ (гл. 1, й 4, п' 3), а следовательно, и соотношению „Р и х~А", ибо (Бу)(х=у) верно. 80 ГЛ. Н. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 81 Упр, 6 Н. бурбаки Множество Ь„(Р и х ~А) называется множеством (есех) таках х ~А, что Р '(например, в этом смысле говорят о множестве действительных чисел, таких.
что Р),. С52. Пусть )с — соотношение, А — мкозкество, х — буква, не встречающаяся з А. Если соотношение гс=р(х~А) есть теорема, то )с есть соотношение, коллективизирующее по х. В самом деле, Д тогда эквивалентно „Д и х~ А". Замечание, Пусть Д вЂ” соотношение, коллективизирующее по х, а 3 — такое соотношение, что (Чх)(О =р)8) есть теорема. Тогда 8 является коллективизирующим по х, ибо )С эквивалентно х~б (Д); следовательно, З=аа(х~б (А)) есть теорема, и достаточно применить С52. Заметим, кроме того, что в этом случае $„(8)с=В ()8), согласно С50.
С53. Пусть Т вЂ” терм, А — множество, х и у — различные буква. Предполагается, что х не встречается з А и что у ке встречается ни з Т, ии з А. Соотношение (3х)(у= Т и х ~А) является коллектизизирующим по у. Пусть д — соотношение у = Т. Соотношение (Уу) ()С Ф(у б (Т) ) ) верно; следовательно, верно и (Ух) (БХ) ()гу) ()ТФ(у б А) ) где Х вЂ” буква, отличная от у и не встречающаяся в )С. В силу 58 соотношение (Зх)(я~А и Д) является коллективизирующим по у, что и доказывает С53. Соотношение (3х)(у= Т и х~ А) часто читается так: „у может быть представлено в виде Т для некоторого х, принадлежащего к А".
Множество Фу((Зх)(у= Т и я~А)) обычно называется множеством (всех) обаектое вида Т для х~СА. Знакосочетание, так обозначаемое, не содержит ни х, ни у и не зависит от выбора буквы у, удовлетворяющей условиям из С53. 7. Дополнение множества. Пустое множество Соотношение (х$А и хЕХ) является коллективизирующим по х в силу С51. Оп~еделение 3. Пусть А — часть множества Х. Дополнением мнозкестза А относительно Х называется мнозкество злементоз из Х, не принадлежащих к А, т.
е. множество гр,(х(А и х~Х), оно обозначается через йхА или Х-А (или иА. когда не приходится бояться путаницы). Пусть А — часть множества Х; соотношения „х~Х и х~А" и х~6хА являются, таким образом, эквивалентными. Следовательно, соотношение „х~Х и х1СвхА' эквивалентно „х~Х н (х(Х или х ~ А)", а следовательно, н х ~ А. Иначе говоря, А = вх(ихА) 4 Ь КОЛЛЕКТИВИЗИРУЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ есть верное соотношение.
Нетрудно видеть также, что если В— часть от Х, то соотношения АсВ и мхВ~СхА эквивалентны. Теоремл 1. Соотношение ()Ух)(х(Х) является функциональным по Х. В самом деле, соотношение (азгх)(х~Х) влечет (аз'т)(Х~Т); стало быть, в силу аксиомы экстенсиональности соотношение (арх)(х(Х) является однозначным по Х. С другой стороны, соотношение ()г'х)(х(мтг') верно. а это доказывает, что соотношенке (=1Х) (абх) (х ( Х) верно. Терм тх ( (1г х) (х ( Х) ), соответствующий этому функциональному соотношению, изображается функциональным символом И, который называется пустым множествам '); соотношение (чх)(х(Х) эквивалентное Х=И, читается так: „множество Х пусто".
Справедливы теоремы: х~И, Ис=Х, СхХ=И, СхИ=Х; соотношение Х<=И эквивалентно Х=И. Если )с)х( — соотношение, то соотношениее (зз х) ( (х ~- И) =ар ас)х 1) верно. Замечание, Не существует множества, элементами которого являются все объекты; иначе говоря, .не (ВХ) (аагх) (хй Х)' есть теорема В самом деле, если бы существовало такое множество, то всякое соотношение было бы коллективизирующим в силу С52. Но мы видели (и'4); что соотношение х~х не является коллективизирующнм. Упражнения 1) Показать, что соотношение (х = у) фф ( аа Х) ( (х 6 Х) ='Р (у С Х) ) есть теорема. 2) Показатгь чтв И Ф (х) есть теорема; вывести отсюда, что (Вх)(Ву)(х ~ у) также есть теорема 3) Пусть А и  — две части множества Х.
Показать, что соотношение Вс:СА эквивалентно соотношению А~СВ и что соотношение СВ с: А эквивалентно соотношению СА ~ В. 4) Доказать, что соотношение Х <: (х) эквивалентно соотношению .Х = (х) нли Х = И'. 5) Доказать, что И =ах(т (х 6 Х) 1С Х). 6) Пусть Т вЂ” згалитарная теория, в которой встречается знак н которая содержит следующую аксиому: А1'.
(аау) (у = тл ( (чаз) (з 6 х чф з 6 у) ) ) ') Таким образом, терм, обозначаемый символом И, есть % 2. ПАРЫ 82 1 ГЛ. 1Е ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (иначе говоря:,всякий терм равен множеству своих элементов"). Показать, что аксиома экстеисиональиости А1 есть теорема Е,T (использовать схему 87).
ф 2. Пары 1. Аксиома пари Как мы сказали в й 1, п'1, знак ) является в теории множеств субстантивным знаком веса 2. Если Т, 0 — термы, то, стало быть, внакосочетание лТЮ есть терм; этот терм обозначаетсч обычно через (Т0). При таких обозначениях аксиомой пары называется следующая аксиома: АЗ (1ух)(Чх')(1бу)(1бу')(((х, у)=(х', у))=р(к=х' и у=-у')), Так как соотношение „х=х' и у=у'" влечет (х, у) =(х', у'), согласно С44 (гл. 1, $ 5, и' 2), то мы видим, что соотношение (х, у)=(х', у') эквивалентно „х=х' и у=у'". Соотношение Дх)(=!у)(г=(х, у)) обозначают словами „г есть пара".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
