Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Используя СБ! Я 1, п' 2), можно свести все дело к случаю, когда х отлично от у и не встречается в У. Обозначим через Т', (7'. Я' формулы (У)у) Т, (У(у)К (У)у)В. Согласно С62 и С35 (8 1, п'2), (У)у)А тождественно с (Т' = гу') => ((Т' ~ х) ег' ч=т(су' ~ х) ж'). что доказывает наше утверждение. Аналогично доказывается, что 37 есть схема. Интуитивно схема Яб означает, что если два предмета равны, то они обладают одинаковыми свойствами. Схема 37 больше отдаляется от обычной интуиции; она означает, что если два свойства В и Ю некоторого предмета х эквивалентны, то привилегированные предметы т (В) и т (Я) (выбираемые соответственно среди удовлетворяющих соотношению Я и среди удовлетворяющих соотношению Ю, если только существуют такие предметы) равны. Читатель заметит, что присутствие в 67 квантора ч|х является существенным (ср.
упр, 7). Отрицание соотношения = Т(7 обозначается через Т чь 17 или через (Т)чь(17) (где знак чь читается: „не равно', „отлично от"). Из 36 выводится следующий критерий: ГЛ. Е ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ С43. Пусть х — буква, Т и (7 — термы теории 5Т и )с)Х1— соотношение з д'. Соотношения (Т=17 и Я)Т)) и (Т=() и Я1(71) эквивалентны. В самом деле, если присоединить гипотезы Т= 17 и тс~ Т), то )с~47~ будет верно. согласно 36; следовательно, (Т = (7 и Я 1471) тоже верно. Допуская вольность речи, часто, когда доказано соотношение вида Т= сг в теории д', говорят, что термы Т и сГ суть „те же самые", или „тождественные . Подобно этому, когда Т+47 справедливо в Т, говорят, что Т и 0 „различны", вместо того чтобы сказать, что Т не равно Г 2. Свойства равенства Отныне мы будем рассматривать только эгалитарные теории.
Пусть г7' — такая теория. Пусть сТр — теория, у которой те же знаки. что и у Т, и у которой аксиомы даются лишь схемами 81 — 87. Теория 1Тр менее сильна, чем Т (Э 2, п'4), и не имеет констант. Три следующие теоремы являются теоремами теории,T. Теогемл 1. х = х. Обозначим через 3 соотношение х =х теории,Tр. Согласно С27 (э 4, п' 1), при всяком соотношении ю из Д'р соотношение (ах)(Яффа) есть теорема в Д'р; следовательно, согласно 87, соотношение т (Я)=т„(Л), т, е. (Т„(Я)(х)3, есть теорема в,75. Принимая за хс соотношение „не 8" и учитывая С26 (3 4, п' 1), получим, что Ях)Я есть теорема в,Tр.
Согласно СЗО (э 4, п'3), Я поэтому есть теорема теории Д,. Соотношение (51х)(х = х) также является теоремой в,T5; и если Т вЂ” терм теории Тр, то Т = Т есть теорема в Тр (ср. 6 4, п' 3). Аналогично можно преобразовать последующие теоремы в теоремы, в ко-. торых не встречается ни одной буквы, или в метаматематические кри-. терии.Мы больше ие будем дела~ь таких преобразований, но часто будем пользоваться ими неявно. ТеоРемА 2. (х=у)тф(у =х), Предположим, что соотношение х=у верно.
Согласно 36, соотношение (х = у) =)ь ((х ~у) (у = х) 4ф(у ( у) (у = х) ), т. е. (х = у) =55 =15((х = х)4=)(у = х))„ верно. Следовательно, (х = х)бф(у = х) верно. В силу теоремы 1 тогда верно у = х, что доказывает теорему. Теогема 3. ((х =- у) и (у = г)) Р(х= г). Присоединим гипотезы х= у, у = г к аксиомам теории Тр. Согласно 36, соотношение (х = у)=Ь((х = г)(ф(у = г)) верно. Следовательно, (х = г)®(у = г) и тем самым х = г верны, что доказывает теорему.
С44. Пусть х — буква, Т, 77, У)х~ — термы теории Д,. Соотношению (Т=(7)=5Р(У)Т1= У1(71) есть теорема теории75. 3 $5. ЭГАЛИТАРНЫЕ ТЕОРИИ 63 В самом деле, пусть у и г — две буквы, отличные друг от друга и отличные от х и от букв, встречающихся в Т, 77, У. Присоединим гипотезу у=в. Тогда, согласно 36, ((у!гНУ11у(= У)г())фф(У1у)=У$г)) т. е. (У $у5 = У)у$)4=д(У)у)= У)г 1), верно. Но У)у(= У)у( верно, согласно теореме 1. Следовательно, верно У)у1= У)г(. Из всего этого вытекает, что (у=в)='1ь(У)у1= — У)г)) есть теорема теории Тр, обозначим эту теорему через А. Но (Т)у)((7(г)А есть не что иное, как (Т=47)~(У)Т~= У1(71). Мы говорим, что соотношение вида Т=47, где Т и 17 — термы теории,7, есть уравнение; отсюда решением (в,Т) соотношения Т = (7, рассматриваемого как уравнение относительно некоторой буквы х, служит всякий такой терм У теории <T, что Т)У)=17 1У) есть теорема в гТ (9 2, п' 2).
Пусть Т и 47 — два терма теории Т., х,, хю ..., х„— буквы, встречающиеся в Т, но не в 47. Если ДХ1)... (шх„) (Т= (7) есть теорема в 7'. говорят, что 47 представляется з виде Т (в д'). Пусть тх — соотношение в,T, у — буква. Пусть У вЂ” решение (в с7") для Я, рассматриваемого как соотношение по у. Если всякое решение (в,T) для )х, рассматриваемого как соотношение по у, может быть представлено в виде У, говорят, что У есть полное решение (или общее решение) для )с (в Т). 3. функциональные соотношения Пусть «г — знакосочетание, х — буква. Пусть у, г — буквы, отличные друг от друга и от х и не встречающиеся в з(.
Пусть у', г'— две другие буквы, обладающие теми же свойствами. В силу С36, С69 (3 4, п'1), СБ2, СБб (9 1, п'2), С36 (3 3, п' 4) формулы (5бу)(5бг)(((у(х))с и (г(х))с)=у(у=г)) и (5бу)(57г')(((у'~х))ч и (г'~х)Я)~(у'=г')) тождественны. Если 5ч — соотношение теории 57', то знакосочетание, так определенное, есть соотношение в <T, обозначаемое через „существует самое большее одно х, такое, что Я"; буква х в нем не встречается. Если это соотношение — теорема в Т, то говорят, что 5ч однозначно по х в 7'. Для проверки однозначности )с в Т достаточно проверить у =- г в теории, получаемой из,T присоединением аксиом (у(х)5(1 и (г(х)Я, где у и г †бук, отличные друг от друга и от х и не встречающиеся ни в Р(, ни в явных аксиомах теории,T.
С46. Пусть й — сооткошеяие теории Т, а х — буква, не являющаяся константой теории сТ. Если Ю однозначно по х а,Т, то Я=)5(х=т„(Я)) есть теорема теории Д'. Обратно, если ГЛ. Е ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОИ МАТЕМАТИКИ Упр, Э Ь. ЭГАЛИТАРНЫЕ ТЕОРИИ для некоторого терма Т теории Т, не содержащего х, гс=)ь(х= т) есть теорема в 7", то гч однозначно по х в,7'. Предположим, что )г однозначно по х в,T, и докажем, что й~(х=т„(Я)) есть теорема в,7. Присоединим гипотезу Я. Тогда (т (77))х)гс верно, согласно 35; следовательно, „гс и (т (Я)(х)гг' тоже верно.
Но так как гч однозначно по х, (й7 и (тл(геях)й) ф(х = т (гс)) — теорема в,7, согласно СЗО (3 4, и' 3), Значит, х=т (гг) верно. Обратно, предположим, что гс =~(х = Т) есть теорема в,у. Пусть у, я — буквы, отличные друг от друга и от х и не встречающиеся ни в гс. ни в явных аксиомах теории,T, Так как х не есть константа в г7 и не встречается в Т, то соотношения (у)х)гч=р(у=Т) и (г(х)гт=»ь(Е=Т) суть теоремы в 7'. Присоединим гипотезы (у)х)гг и (я)х)гс.
Тогда у= Т и я= Т верны и, следовательно, верно у = г. Пусть гс' — соотношение в,Т. Соотношение „(Зх)Я и существует самое большее одно х, такое, что гс" обозначается словами, существует единственное (или „существует и единственно") х, такое, что гс". Если это соотношение является теоремой в п7, то мы говорим, что гч есть соотношение, функциональное по х в,7'. С46. Пусть гч — соотношение теории 17', а х — буква, не являющаяся константой этой теории. Если гт есть соотношение, функциональное по х в,7, то Яфф(х= .„(Л)) есть теорема в,T. Обратно, если для некоторого терла Т из п7', не содержащего х. 77фф(х= Т) есть теорема в 7', то )Е есть соотношение, функциональное по х в 7'. Предположим, что Я вЂ” соотношение, функциональное по х в,7', Тогда гг=пь(х=тл(Ю)) есть теорема в 7', соглас1ю С45.
С другой стороны, (Лх)Я есть теорема теории,1. Согласно 36, соотношение (х = т„(тс) ) Ф (ге фф Дх) гс) есть теорема в п7'. Если присоединить гипотезу х = т (гс), то гг становится верным. Следовательно, (х=т (гс))=р)Е есть теорема в,T. Обратно, если гсфф(х = Т) есть теорема в,T, то гс однозначно по х в 7', согласно С45. Кроме того, (Т)х) Яеф(Т= Т) есть теорема в,T; следовательно, (Т)х)Я, а тем самым и (щх)гт суть теоремы в,T.
Если гс — соотношение, функциональное по х в 7', то, стало быть,7ч эквивалентно соотношению х = т„(гс), которое часто бывает более удобным для действий с ним. Поэтому обычно вводят какой-нибудь сокращающий символ Е для изображения терна т (гч). Такой символ называется символом, функциональным в теории,T. Интуитивно, Е изображает единственный объект, который обладает свойством, определяемым через й.
'Например, в теории, где верна теорема „у есть действительное число, большее или равное нулю*, соотношейие'.х есть действительное число, большее или равное нулю, н у=к" есть соотношение, функциональное по х. В качестве соответствующего функционального символа берут Р'у или уиг., С47. Пусть х — буква, не являющаяся константой теории 7; а гт»х» и 8»х» — два соотношения в,T. Если 7Е»х» есть соотношение, функциональное по х в,T, 1по соотношение 8»т„(Я)» эквивалентно соотношению (-»х)(г(»х1 и 8»х»).
В самом деле, из С46 и С43 вытекает, что (гг»х» н 8»х») эквивалентно с (гг»х1 и 8)т,(Я)»); так как 8»т,„(Я)» не содержит х. то (»х)(гг»х» и 8»т (Я)») эквивалентно с $»Т.М)» и (Зх)а согласно СЗЗ (Я 4, п'3); в заключение заметим„что (»х)гс верно, потому что Я вЂ” соотношение, функциональное по х. упражнения Во всех этик упражнениях Т обозначает эгалнтарную теорию.
1) х= у есть соотношение, функциональное по х в,T. 2) Пусть й — соотношение з Т, х и у — различные буквы. Тогда соотношения (Зх) (х =у и й), (у ~ х) й эквивалентны в т . 3) Пусть й и 8 — соотношения в,7", Т вЂ” терм в Т, х и у — различные буквы. Предполагается, что у ие является константой теории Т и х не встречается в Т.
Пусть,у" — теория, получаемая присоединением 8 к аксиомам теории Т. Если )с — соотношение, функциональное по х в 7', и (Т)у) 8 — теорема в,7", то (Т)у) й есть соотношение, функциональное по х в,T. 4) Пусть А' и 8 — соотношения теории 7, х — буква, не являющаяся константой этой теории. Если )с в соотношение, функциональное по х в пз, и й Е=Р 8 — теорема в 7', то 8 есть соотношение, функциональное по х в 7". 5) Пусть й, 8, Т вЂ” соотношения в,Т,х — буква. Если й — соотношение, функциональное по х в,7', показать, что следующие соотношения являются теоремами в Т1 (не (Зх) (й и 8) ) фф (Зх) (й и (не 8) ), (Зх) (й и (8 и Т) фф ((Зх) (й и 8) и (Зх) (И и Т) ), (Зх) (й н (8 или Т)) фф ((Зх) (й и 8) или (Зх) (й и Т) ).
6) Показать, что если в,Т схема (Зх) й~ й дает неявные аксиомы, то х= у есть теорема теории T (ср. упр. 1). 7) Показать, что если в,у' схема (йфф 8) =Р(п ()ч) = 1 (8)) дает неявные аксиомы, то к= у есть теорема теории Т (принять за й соотношение х =Ач за 8 — соотношение к = у, а затем в полученную аксиому подставить х вместо у) '). ') А(ы увидим позже, что з теории множеств (Зх) (Зу) (х~у) является теоремой (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
