Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 13
Текст из файла (страница 13)
п.), фигурируют в двух формах: в форме склокяелого существительного соответствующего рода и в форме несклоняемого существительного среднего рода; в математической терминологии наблюдается тенденция к преимущественному употреблению второи формы. — Прим. ред. ГЛ. Е ОПИСАНИЯ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Ь К КВАНТОРНЫЕ ТЕОРИИ Если мы располагаем в логической теории,7 теоремой вида (=~х)Я, где буква х не. является константой теории,7", то эта теорема может служить теоремой узаконения в методе вспомогательной константы (9 3, п'3), потому что она тождественна с (с»)(гс)1х))с.
Пусть тогда г7" — теория, получаемая присоединением гс к аксиомам теории,T. Если в,7" можно доказать соотношение 3. в котором х не встречается, то Я есть теорема теории 7'. С26. Пусть г7' — логическая теория, 1с — соотношение, х— буква. Соотношения (1гх)гс и (т» (не 1Т)(х)Ю эквивалентны е,T. В самом деле, (Чх))с тождественно с „не (т» (не гс) (х)(не 1с)", а следовательно, и с „не не (т (не гС)~х)гч'. С27. Если Я вЂ” теорема логической теории,Т и буква х не является константой этой теории, то (1гх) 1с есть теорема е,T.
В самом деле, (т» (не гс))х)гс есть теорема в,7. согласно СЗ (9 2, п' 3). Напротив, если х — константа теории,7, то истинность соотношения й в Т не влечет истинности (тх) 11. Интуитивно из того обстоятельства, что й есть истинное свойство для х, язлюощегося в,7' определенным объектом, еще ие следует, конечно, что й есть истинное свойство всякого объекта. С28. Пусть Х вЂ” 'логическая теория, гч — ее соотношение и х — буква. соотношения „не (1ггх) )с' и (Эх) (не гг) эквива.лентны е г7'.
В самом деле, „не Щх)Ю' тождественно с „не не (3х) (не 1с)". 2. Аксиомы кванторных теорий Мы называем кеанторной теорией всякую теорию г7, в которой схемы 51 — 84 (Э 3, п'1) и нижеследующая схема 55 дают неявные аксиомы. 55. Если Ю вЂ” соотношение теории,T. Т вЂ” ее терм и х— буква, то соотношение (Т)х)гс=зьДх))с есть аксиома. Это правило, конечно, есть схема. В самом деле, пусть А есть .аксиома теории г7', полученная применением правила 85. Это значит, что существуют такое соотношение Ю теории,T, такой терм Т теории г7' и такая буква х, что А есть (Т1х)1с=гьЯх))с, Пусть У— терм теории г7', у — буква; покажем, что ((У(у)А также получается применением 55. Используя С81 (9 1, п'2) и С58 (п' 1), можно свести все к случаю, когда х отлично от у и не встречается в У. Пусть тогда )с — соотношение (У1у)Р и Т' — терм (У~у) Т. Критерии С82 (9 1, и'2) и С59 (п'1) показывают, что (У~у) А тождественно с (Т'(х)12'=)ь(Эх)12'.
Схема 85 выражает тот факт, что если существует предмет Т, для которого верно соотношение й, рассматриваемое как выражение иеко- торого свойства предмета х, то й верно и для предмета» (м); это вполне отвечает интуитивному значению, которое ны приписали знаку т (к) (ф 1, п'3. замечание). 3. Свойства кванторов Отныне мы будем рассматривать только кванторные теории Во всей остальной части настоящего параграфа символом,T будет. обозначаться именно такая теория, а символом 7' — теория без явных аксиом, обладающая теми же знаками, что и 7', но лишь схемами 51 — 55; 7' сильнее, чем суе.
С29. Пусть )с — соотношение теории Д', а х — буква. Соотношения „не Ях)1с' и (Ух)(не 1с) эквивалентны в,7. В самом деле, достаточно установить данный критерий в теории Д>.. В этой теории х не является константой. Теорема гсфф (не не гс)- дает ввиду СЗ (э 2, п'3) теоремы Дх)17=)ь(т (1Т)1х)(не не )с) и Дх) (не не Ю) =)ь (т (не не Ю) ~ х) )с. Применяя 85, мы выводим отсюда в Те теоремы Дх) гс =р Ях) (не не я) и (Зх)(не не )с)ьЯх))7 и тем самым теорему (шх))рффи(Дх)(не не 1с).
Но (=1х)(не не д) эквивалентно в,Tе с „не не Ях)(не не 1с)", т. е. с „не (11'х)(не )с)'. Тем самым критерий доказан. Критерии С28 и С29 позволяют выводить свойства одного кван- тора из свойств другого. СЗО. Пусть 12 — соотношение теории Д', Т вЂ” ее терм и х — буква, Соотношение (1гх))с=а(Т~х))с есть теорема в г7'. Согласно 85, (Т~х)(не 1с)=;-~(т»(не 17)(х)(не 1Т) есть аксиома.. Это соотношение тождественно с (не (Т / х) )с) =)ь (не (т» (не Ю) ) х) гН). Следовательно, (т»(не )с) ~х))с=)ь(Т(х)гс есть теорема теории,1. В заключение мы применяем С26 (п' 1).
Пусть й — соотношение теории 7". Согласно С26, С27 и СЗО, трн следующих действии (при условии, что буква х не является константой теории Т) сводятся к одному и тому же: сформулировать в Т теорему й, или сформулировать в Т теорему (Ух) й, или, изконеп, сформулировать метаматематическое правило: „Если Т вЂ произвольн терм. теории Т, то (Т 1х) й есть теорема в Д'".
ГЛ. !. ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 4 э 4. КВАНТОРНЫЕ ТЕОРИИ 5Т С31, Пусть 14 и 8 — соотношения теории 7', а х — буква. не являющаяся константой теории тУ". Если те=)48 (соответственно 44 ч=г8) есть теорема е !7', то (ч х) 14 =4т(4бх) 8 и (Лх) А! =)ь Ях) 8 (соответственно (4бх) 49(4(!бх) 8 и (Дх) 49(фДХ) 8) тоже суть теоремы е Д". В самом деле, предположим, что )с=',48 — теорема теории !'. Присоединим гипотезу (4ех)тч (где х не встречается) к аксиомам. Тогда тс, а следовательно, и 8, а следовательно, и (!ех)8 верны.
Это значит, что (!бх))9=?>(!бх)8 есть теорема в д, Отсюда вытекает, что если Я~8 есть теорема в,T, то и (~гх))9~ (чх)8 есть теорема в !у. Правила, относящиеся к 1, выводятся из полученных применением критерия С29. СЗ2. Пусть тс и 8 — соотношения теории у', а х — буква. Соотношения (14гх)(тс и 8)<Ф((!бх)тс и (!ах)8), (шх)()х или 8)(=у((=1Х))9 или Ях)8) суть теоремы теории Д. В самом деле, достаточно установить эти критерии в теории 7'э; в ней х не является константой. Если фх) ()9 и 8) верно, то „тт и 8" тоже верно; следовательно, каждое из соотношений тс, 8 верно; следовательно, каждое из соотношений (!ех) А!, (!бх) 8 верно; следовательно, .(4бх) тс и (!бх) 8" верно. Нетрудно видеть также, что если .(ех))ч и (!ех)8" верно, то (1тх)(м и 8) тоже верно. Отсюда вытекает первая теорема.
Вторая выводится из нее с помощью критерия С29. Надо отметить, что если (тгх)(й или Я) есть теорема теории,у', то кз втой теоремы нельзя заключить, что ((тх) й илк (чх) з) есть теорема теории,T. Интуитивно сказать, что соотношение (!!гх) (й нли 8) верно, значит сказать, что для всякого предмета к верно хотя бы одно из соотношений )с, Ю; но, вообще говоря, из них будет истинно лишь одно, и в зависимости от выбора х тзковым может оказаться то илн другое из соотношений й, Я.
Мы видим также: если ((Вх) й и (Вх) Я) есть теорема теории Д, то из этой теоремы нельзя заключить, что (Вх)(й и 8) есть теорема теории 7. Однако мы располагаем следующим критерием: СЗЗ, Пусть тс и 8 — соотношения теории д, а х — буква, не встречающаяся е Ю. Соотношения фх)()9 или 8)(=ф(Ю или (4бх) 8). (Зх) Я и 8)4$(Ю и (=1х) 8) ,суть теоремы теории Т'. В самом деле, достаточно установить настоящий критерий в Д,, где х не является константой. Пусть,7' — теория, получаемая присоединением (!бх)(14 илн 8) к аксиомам теории <уэ.
Тогда в д ' соотношения „тс или 8", а следовательно, и (не Ю)=Р8 суть теоремы, Если „не Я" верно (гипотеза, в которой х не встречается), то 8, а следовательно, и (!бх)8 также верны. Вследствие этого (не Д)=?> =)ь (4бх) 8 есть теорема теории Д", а потому (Чх) (Р или 8) =аь ~(тс или (ух)8) есть теорема теории,7'э. Аналогичным образом, если,тс или (Ух)8' верно, то „тс или 8', а следовательно, и (!бх) (Я или 8) также верны. Ввиду этого (Я или (ух) 8) =~(!бх) (тс или 8) есть теорема теории,~'э. Правило, относящееся к 3, выводится из полученного применением критерия С29. С34.
Пусть А! — соотношение, х и у — буквы. Соотношения (!згх) (!ау) тс 4=~(!бу) (!бх) )с, (Зх) (ЗУ) !се(ЗУ) (Зх) тс, Дх) (4бу) тс =!ь (тягу) (=1х) тс суть теоремы теории 7'. В самом деле, достаточно установить наш критерий в „7 „, где х и у не являются константами. Если (!згх)(!ау)тс верно, то (!ау))т, а следовательно, и тс, а следовательно, и (!бх) Я, а следовательно, и (4бу)(!бх)тт также. верны. Аналогично. если (!ту)(чх)тс верно, то (!згх)(7у))с также верно. Отсюда вытекает первая теорема.
Вторая выводится из нее с помощью критерия С29. Наконец, коль скоро (!агу))т=)ьтт есть теорема теории,Tэ, то ввиду С31 то же можно сказать и о Ях)(!бу)те=)ьЯХ)Ю; если Дх)(!Ру)тс верно, то, стало быть. Дх)тт верно. а следовательно, верно и (44!у)(Зх)44. Отсюда вытекает третья теорема. Напротив, если (!Ту)(ЭХ) й — теорема теории у', то из этой теоремы нельзя заключить, что (Вх) (Чу) 8 есть теорема в т. Интуитивно высказывание о том, что соотношение (Уу) (Зх) м истинно, означает, что если задан произвольный объект у, то существует такой объект х, что й есть истинное соотношение между объектами х и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
