Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Книга 1. Теория множеств

Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 13

Файл №947355 Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики) 13 страницаБурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355) страница 132013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

п.), фигурируют в двух формах: в форме склокяелого существительного соответствующего рода и в форме несклоняемого существительного среднего рода; в математической терминологии наблюдается тенденция к преимущественному употреблению второи формы. — Прим. ред. ГЛ. Е ОПИСАНИЯ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Ь К КВАНТОРНЫЕ ТЕОРИИ Если мы располагаем в логической теории,7 теоремой вида (=~х)Я, где буква х не. является константой теории,7", то эта теорема может служить теоремой узаконения в методе вспомогательной константы (9 3, п'3), потому что она тождественна с (с»)(гс)1х))с.

Пусть тогда г7" — теория, получаемая присоединением гс к аксиомам теории,T. Если в,7" можно доказать соотношение 3. в котором х не встречается, то Я есть теорема теории 7'. С26. Пусть г7' — логическая теория, 1с — соотношение, х— буква. Соотношения (1гх)гс и (т» (не 1Т)(х)Ю эквивалентны е,T. В самом деле, (Чх))с тождественно с „не (т» (не гс) (х)(не 1с)", а следовательно, и с „не не (т (не гС)~х)гч'. С27. Если Я вЂ” теорема логической теории,Т и буква х не является константой этой теории, то (1гх) 1с есть теорема е,T.

В самом деле, (т» (не гс))х)гс есть теорема в,7. согласно СЗ (9 2, п' 3). Напротив, если х — константа теории,7, то истинность соотношения й в Т не влечет истинности (тх) 11. Интуитивно из того обстоятельства, что й есть истинное свойство для х, язлюощегося в,7' определенным объектом, еще ие следует, конечно, что й есть истинное свойство всякого объекта. С28. Пусть Х вЂ” 'логическая теория, гч — ее соотношение и х — буква. соотношения „не (1ггх) )с' и (Эх) (не гг) эквива.лентны е г7'.

В самом деле, „не Щх)Ю' тождественно с „не не (3х) (не 1с)". 2. Аксиомы кванторных теорий Мы называем кеанторной теорией всякую теорию г7, в которой схемы 51 — 84 (Э 3, п'1) и нижеследующая схема 55 дают неявные аксиомы. 55. Если Ю вЂ” соотношение теории,T. Т вЂ” ее терм и х— буква, то соотношение (Т)х)гс=зьДх))с есть аксиома. Это правило, конечно, есть схема. В самом деле, пусть А есть .аксиома теории г7', полученная применением правила 85. Это значит, что существуют такое соотношение Ю теории,T, такой терм Т теории г7' и такая буква х, что А есть (Т1х)1с=гьЯх))с, Пусть У— терм теории г7', у — буква; покажем, что ((У(у)А также получается применением 55. Используя С81 (9 1, п'2) и С58 (п' 1), можно свести все к случаю, когда х отлично от у и не встречается в У. Пусть тогда )с — соотношение (У1у)Р и Т' — терм (У~у) Т. Критерии С82 (9 1, и'2) и С59 (п'1) показывают, что (У~у) А тождественно с (Т'(х)12'=)ь(Эх)12'.

Схема 85 выражает тот факт, что если существует предмет Т, для которого верно соотношение й, рассматриваемое как выражение иеко- торого свойства предмета х, то й верно и для предмета» (м); это вполне отвечает интуитивному значению, которое ны приписали знаку т (к) (ф 1, п'3. замечание). 3. Свойства кванторов Отныне мы будем рассматривать только кванторные теории Во всей остальной части настоящего параграфа символом,T будет. обозначаться именно такая теория, а символом 7' — теория без явных аксиом, обладающая теми же знаками, что и 7', но лишь схемами 51 — 55; 7' сильнее, чем суе.

С29. Пусть )с — соотношение теории Д', а х — буква. Соотношения „не Ях)1с' и (Ух)(не 1с) эквивалентны в,7. В самом деле, достаточно установить данный критерий в теории Д>.. В этой теории х не является константой. Теорема гсфф (не не гс)- дает ввиду СЗ (э 2, п'3) теоремы Дх)17=)ь(т (1Т)1х)(не не )с) и Дх) (не не Ю) =)ь (т (не не Ю) ~ х) )с. Применяя 85, мы выводим отсюда в Те теоремы Дх) гс =р Ях) (не не я) и (Зх)(не не )с)ьЯх))7 и тем самым теорему (шх))рффи(Дх)(не не 1с).

Но (=1х)(не не д) эквивалентно в,Tе с „не не Ях)(не не 1с)", т. е. с „не (11'х)(не )с)'. Тем самым критерий доказан. Критерии С28 и С29 позволяют выводить свойства одного кван- тора из свойств другого. СЗО. Пусть 12 — соотношение теории Д', Т вЂ” ее терм и х — буква, Соотношение (1гх))с=а(Т~х))с есть теорема в г7'. Согласно 85, (Т~х)(не 1с)=;-~(т»(не 17)(х)(не 1Т) есть аксиома.. Это соотношение тождественно с (не (Т / х) )с) =)ь (не (т» (не Ю) ) х) гН). Следовательно, (т»(не )с) ~х))с=)ь(Т(х)гс есть теорема теории,1. В заключение мы применяем С26 (п' 1).

Пусть й — соотношение теории 7". Согласно С26, С27 и СЗО, трн следующих действии (при условии, что буква х не является константой теории Т) сводятся к одному и тому же: сформулировать в Т теорему й, или сформулировать в Т теорему (Ух) й, или, изконеп, сформулировать метаматематическое правило: „Если Т вЂ произвольн терм. теории Т, то (Т 1х) й есть теорема в Д'".

ГЛ. !. ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 4 э 4. КВАНТОРНЫЕ ТЕОРИИ 5Т С31, Пусть 14 и 8 — соотношения теории 7', а х — буква. не являющаяся константой теории тУ". Если те=)48 (соответственно 44 ч=г8) есть теорема е !7', то (ч х) 14 =4т(4бх) 8 и (Лх) А! =)ь Ях) 8 (соответственно (4бх) 49(4(!бх) 8 и (Дх) 49(фДХ) 8) тоже суть теоремы е Д". В самом деле, предположим, что )с=',48 — теорема теории !'. Присоединим гипотезу (4ех)тч (где х не встречается) к аксиомам. Тогда тс, а следовательно, и 8, а следовательно, и (!ех)8 верны.

Это значит, что (!бх))9=?>(!бх)8 есть теорема в д, Отсюда вытекает, что если Я~8 есть теорема в,T, то и (~гх))9~ (чх)8 есть теорема в !у. Правила, относящиеся к 1, выводятся из полученных применением критерия С29. СЗ2. Пусть тс и 8 — соотношения теории у', а х — буква. Соотношения (14гх)(тс и 8)<Ф((!бх)тс и (!ах)8), (шх)()х или 8)(=у((=1Х))9 или Ях)8) суть теоремы теории Д. В самом деле, достаточно установить эти критерии в теории 7'э; в ней х не является константой. Если фх) ()9 и 8) верно, то „тт и 8" тоже верно; следовательно, каждое из соотношений тс, 8 верно; следовательно, каждое из соотношений (!ех) А!, (!бх) 8 верно; следовательно, .(4бх) тс и (!бх) 8" верно. Нетрудно видеть также, что если .(ех))ч и (!ех)8" верно, то (1тх)(м и 8) тоже верно. Отсюда вытекает первая теорема.

Вторая выводится из нее с помощью критерия С29. Надо отметить, что если (тгх)(й или Я) есть теорема теории,у', то кз втой теоремы нельзя заключить, что ((тх) й илк (чх) з) есть теорема теории,T. Интуитивно сказать, что соотношение (!!гх) (й нли 8) верно, значит сказать, что для всякого предмета к верно хотя бы одно из соотношений )с, Ю; но, вообще говоря, из них будет истинно лишь одно, и в зависимости от выбора х тзковым может оказаться то илн другое из соотношений й, Я.

Мы видим также: если ((Вх) й и (Вх) Я) есть теорема теории Д, то из этой теоремы нельзя заключить, что (Вх)(й и 8) есть теорема теории 7. Однако мы располагаем следующим критерием: СЗЗ, Пусть тс и 8 — соотношения теории д, а х — буква, не встречающаяся е Ю. Соотношения фх)()9 или 8)(=ф(Ю или (4бх) 8). (Зх) Я и 8)4$(Ю и (=1х) 8) ,суть теоремы теории Т'. В самом деле, достаточно установить настоящий критерий в Д,, где х не является константой. Пусть,7' — теория, получаемая присоединением (!бх)(14 илн 8) к аксиомам теории <уэ.

Тогда в д ' соотношения „тс или 8", а следовательно, и (не Ю)=Р8 суть теоремы, Если „не Я" верно (гипотеза, в которой х не встречается), то 8, а следовательно, и (!бх)8 также верны. Вследствие этого (не Д)=?> =)ь (4бх) 8 есть теорема теории Д", а потому (Чх) (Р или 8) =аь ~(тс или (ух)8) есть теорема теории,7'э. Аналогичным образом, если,тс или (Ух)8' верно, то „тс или 8', а следовательно, и (!бх) (Я или 8) также верны. Ввиду этого (Я или (ух) 8) =~(!бх) (тс или 8) есть теорема теории,~'э. Правило, относящееся к 3, выводится из полученного применением критерия С29. С34.

Пусть А! — соотношение, х и у — буквы. Соотношения (!згх) (!ау) тс 4=~(!бу) (!бх) )с, (Зх) (ЗУ) !се(ЗУ) (Зх) тс, Дх) (4бу) тс =!ь (тягу) (=1х) тс суть теоремы теории 7'. В самом деле, достаточно установить наш критерий в „7 „, где х и у не являются константами. Если (!згх)(!ау)тс верно, то (!ау))т, а следовательно, и тс, а следовательно, и (!бх) Я, а следовательно, и (4бу)(!бх)тт также. верны. Аналогично. если (!ту)(чх)тс верно, то (!згх)(7у))с также верно. Отсюда вытекает первая теорема.

Вторая выводится из нее с помощью критерия С29. Наконец, коль скоро (!агу))т=)ьтт есть теорема теории,Tэ, то ввиду С31 то же можно сказать и о Ях)(!бу)те=)ьЯХ)Ю; если Дх)(!Ру)тс верно, то, стало быть. Дх)тт верно. а следовательно, верно и (44!у)(Зх)44. Отсюда вытекает третья теорема. Напротив, если (!Ту)(ЭХ) й — теорема теории у', то из этой теоремы нельзя заключить, что (Вх) (Чу) 8 есть теорема в т. Интуитивно высказывание о том, что соотношение (Уу) (Зх) м истинно, означает, что если задан произвольный объект у, то существует такой объект х, что й есть истинное соотношение между объектами х и у.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,74 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6451
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее