Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пусть а — элемент из А; соотношение ,(у Е А и х = у (у) ) или (у = а и х ~  — у (А) )" влечет (х, у)цВ Х А. а следовательно, допускает график К отно- сительно букв х и у, Этот график является функциональным ввиду предположения о У, и его область определения есть В. Наконец, К(х) = а, если х ~  — У(А). и У (К(х) ) = х, если х ~ у (А). Сле- довательно, функция г=(К, В, А) обладает тем свойством, что га у есть тождественное отображение множества А. Следствие.
Пусть А и  — множества, у — отображение множества А в В, ьо — отображение множества В в А. Если ьгаУ вЂ” тождественное отобрагкение множества А и Уоб — то- ждественное отображение множества В, то у и к биективкы — 1 и а=у'. Определение 11. Пусть У вЂ” инъективное (соответственно сюръек- . тнвкое) отображение множества А в множество В. Всякое отображение г (соответственно г) В в А, такое. что г а У (соот- ветственно у' аз) есть гпождественное отображение множества А (соответственно В), называется ретракцией (соответственно иссв- чением), ассоциированной (ассоциированным) с у. Вместо ретракция" (соответственно „иссечение') иногда говорят а ,левая (соответственно правая) инверсия . Если у инъективно (соответственно сюръективно) и г (соответ- ственно г) есть ретракция (соответственно иссечение), ассоциированная (соответственно ассоциированное) с у, то у есть иссечение (соот- ветственно ретракция), ассоциированное (соответственно ассоциирован- ная) с г (соответственно с г).
Следовательно, ретракция сюръективна, иссечение инъективно, Если У сюръективно и г, г' — два иссечения, ассоциированные с у', такие, что г(В)=г'(В), то г=г', в самом деле, если х~ В, то существует такое у ~ В, что г(х) = г'(у); тогда х = у (г(х) ) = =у(г'(у))=у, а следовательно, г(х)= г'(х), так что г= — г' Таким образом, иссечение г однозначно определяется множеством г(В), а потому, допуская вольность речи, иногда само множество г(В) можно назвать иссвченивм, ассоциированным с у. Теорема 1. Пусть у — отображение множества А в мно- жество В, а у' — отображение множества В в множество С, и пусть ук=у'ау', Тогда: а) если у и у' — иньекции, то и у'" — инъекция; ес,ги г. Г' — РвтРаКЦии, аССОЦииРОВаННЫЕ С У" и У', та Г о Г' — РвтРаКЦиЯ, ассоциированкая с ук; Ь 3.
СООТВЕТСТВИЯ б) если У и У' — сюръекции, то и Ук — сюръвкция; если г, г' — иссечения, ассоциированные с у и у', то гав' — иссечение, ассоциированное С ук; в) если уо — инъекция, то и у — инъекция; если го — ретракция, ассоциированная с уо, то го ау' — ретракция, ассоциированная с у; г) если уо — сюръекция, то и у' — сюръвкция; если г"— иссечение, ассоциированное с у", то уого — иссечение, ассоциированкое с у'; д) если уо — сюръекция и у' — инъекция, то у — сюръекция; если го — иссечекие, ассоциированное с у". то гооу' есть иссечение, ассоциированное с у; е) если уо — инъекция и у — сюръекция, то у' есть иньекция; если г" — ретракция, ассоциированная с у'", то у ог" есть ретракция, ассоциированная с у'.
Для всякого множества Е обозначим символом 1 тождественное отображение этого множества Е. а) Так как г У=!ь и г' у' =1В, то (ГоГ)о(У оУ)=Го! аУ=ГаУ=1 Если У и У' — инъекции, то, стало быть, и Уо — инъекция, согласно предложению 8, если только А ФИ; но случай А = И очевиден. б) Так как У о г = 1В и У' а г' = 1, то (У'оУ) а(гав ) =У' а! аз'=У' аз' =1 Если У и У' — сюръекции, то, стало быть, и ун — сюръекция, согласно предложению 8. в) Так как г" аув =1„, то (г" ау') ау'= г" ау" = 1„.
Если уо— инъекция, то, стало быть. и У вЂ” инъекция, согласно предложению 8, если только АФИ но случай А=И очевиден. г) Так как у" ог"=1, то у'о(у'аР')=у" ого=! . Если у'"— сюръекцня, то, стало быть, и У' — сюръекция, согласно предложению 8. д) у" ог"=1 и у' есть биекция, согласно г). Следовательно.
-1 -1 уа(о оу)=(у ау)ауо(г оу')=у о(у ог)ау -1 -1 Если Уо — сюръекция и У' — инъекция, то, стало быть, У вЂ” сюръекция, согласно предложению 8. е) г" ау"=1 и у есть биекция, согласно в). Следовательно, — 1 — 1 (у о Гк) оу'=(у о Гк) ау'о(у ау)=у о (Г" оук)оу= — 1 — 1 =у'а(лоу=у ау =1В. 7 н. Вгръааь ь Э Х СООТВЕТСТВИЯ 99 гл. и теоэия множеств 98 Если Уи — инъекция и У вЂ” сюръекция, то, стало быть, У' — инъекция.
согласно предложению 8, при А Ф И; но случай А = И очевиден (тогда В = у'(А) = И). Пгедложение 9. а) Пусть Е, Р, С вЂ” мнозкества, е — отображение множества Е на Р, У вЂ” отображение множества Е в С. Для сугцествовиния отображения й множества Р в С, такого, что У=А «б (рис. 1), необходимо и достаточно, чтобы соотношение Рис. 1 Рис, 2 дг(х)=у(у) (где х~Е, у~Е) влекло соотношение у(х)=у(у). Отображение й однозначно определяется отобразкением У; если з — иссечение, ассоциированное с я, то )1=У«в. б) Пусть Е, Р, С вЂ” множества, е — взаимно однозначное отображение множества Р в Е, У вЂ” отображение множества С в Е. Для сугцествования отображения й множества С в Р, такого, что У =дь й (рис. 2), необходимо и достаточно, чтобы У(С)<=д(Р).
Отображение й однозначно определяется отображением у'; если г — ретракция, ассоциированная с гг, то гг = г о у. а) Если У = й о д, то соотношение е (х) = д (у) (где х ~ Е, у ~ Е) влечет, очевидно. У(х)=у(у). Для каждого иссечения з, ассоциированного с д, справедливо И = й о (д о з) = у ь з. Это показывает, что й однозначно определяется отображением У. Обратно, предположим, что соотношение д(х) = л (у) влечет„~(х) =у'(у); пусть з — иссечение, ассоциированное с д; положим й =У о з. Для всякого х ~ Е, тогда д(з(е (х))) = д(х) и, следовательно, У(з(е(х)))= =у(х), или Ь(д(х)) =у(х), следовательно, у= А од.
б) Если У=еьй, то, очевидно, У(0)~б(Р) и для всякой ретракции г, ассоциированной с д, справедливо й=(гьд)ьй=гьу, а это доказывает, что )г однозначно определяется отображением у. Обратно, предположим, что у'(С)с=у(Р); пусть г — ретракция, ассоциированная с д, и пусть й=г«у'; для каждого х~С существует такой у ~ Р, что у(х) = д(у); следовательно, и(й(х) ) = д(г(у(х) ))= = д(г(и(у))) = е(у) =у(х); но тем самым у = е ай. У.
Функции двух аргуменгнов. Функцией двух аргументов называется функция, областью определения которой является множество пар (или, что то же, часть некоторого произведения). Пусть У вЂ” такая функция; если (х, у)— элемент из области определения функции У то значение У((х у)) функции у в точке (х, у) обозначается обычно символом у'(х, у). Пусть У вЂ” функция двух аргументов, Р— ее область определения, С вЂ” ее область прибытия. Для всякого у пусть Аг есть множество -1 таких х, что (х, у)~Р ]т. е. срез множества Р по у (и'1)]. Отображение х — ь у(х, у) (х с А, У(х, у) Е С) называется частным (или парциальным) отображением, задаваемым функцией у при значении у второго аргумента, и обозначается символом у(., у) или у(, у) (или иногда у ); таким образом, у(., у)(х)=у(х.
у) для (х, у)~Р. Подобно этому, для всякого х пусть В„есть множество таких у, что (х, у)ЕР. Отображение у-«У(х, у)(у~В„, у(х, у)~С) называется частным (или парциальным) отображением, задаваемым функцией У при значении х первого аргумента, и обозначается символом у(х,.) или у(х. ) (или иногда у„); таким образом, У(х,.)(у) =У(х, у) для (х, у)~ Р. Если для всякого у (соответственно х) частное отображение У(., у) (соответственно У(х,.)) является постоянным отображением, то говорят, что у не зависит от своего первого(соответственно второго) аргумента; это, стало быть, означает, что У(х, у) =у(х', у), если (х, у) и (х'. у) находятся в Р ]соответственно у(х, у) =у(х, у'), если (х, у) и (х, у') находятся в Р]. Для всякого у, принадлежащего второй проекции области Р,.мы будем обозначат«через Аг(у) общее значение всех у(х, у) для хЕ А„'); отображение у-«д(у) есть отображение проекции ргг Р в С, такое, что д'(у) =у(х, у) для (х, у) ц Р.
Обратно, пусть д — отображение множества В в множество С и пусть А — произвольное множество. Отображение (х, у) -«д(у) множества А )( В в С не зависит от первого из своих аргументов. Пусть и — отображение множества А в С, о — отображение множества В в Р. Отображение г — «(и(рг!з), о(рггг)) множества А )< В в Сх Р называется каноническим распространением (или распространением) отображений и и и нп произведения множеств или еще произведением отображений и и о (если можно не бояться путаницы) и обозначается иногда символом и Х о илн (и, о); область его значений есть и(А) Х о(В). Если и и и— инъективные (соответственно сюръективные) отображения, то и )( ив то1ке инъективное (соответственно сюръективное) отображение.
Если и и о биективны, то и Х о тоже биективно и отображение, — 1 — 1 обратное к и Х о, есть и Х о. Если и' — отображение множества С ') Эта фраза не совсем точна ]остается неясным, что же именно обозначается через и(у)] и должна быть, по-видимому, уточнена следующим обРазом: .чеРез Я(У) бУдем обозначать тг((Эх)(хйАг и У(х, У) =г))*.— Прим. ред, 1 4 ! овъвдннвнив и пврвсеченив свмвпствл множеств 191 гл. и. теория множеств кар. в множество Е. а о' — отображение множества 0 в множество Р. то (и' Х о') о(и Х о) =(и'о и) Х (о' оп).
Если () и Ч вЂ” графики соответствегшо для и и о, то график йт для иХо есть множество таких пар ((х, у), (», г)) из (АХВ)Х Х (С Х Р), что (х, ») 5() и (у, г) 5 Ч; это множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие с произведением О Х Ч !частью произведения (А Х С)Х (В Х О)] посредством отображения ((х. у), (», г))-+((х, «), (у, г)) (ср. 4 5, п'5). Упражнения 1) Показать, что соотношения хну, хг=у, х (у] не обладают графиками по х и у. 2) Пусть 0 — график. Показать, что соотношение Х с рг, 0 экви- валентно соотношению Х с О (О (Х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
