Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть х — элемент из ПХг Если хЕЬ, то х~-х, длв е! каждого ~~3„(ибо 3 с!), откуда х~ П Хг Так как это верно для йгг каждого ) Ь. Ь, то отсюда можно вывести, что х принадлежит к П ( П Х,) . Обратно, пусть х — элемент этого последнего мнохЕь~ «г, жества и пусть г — произвольный элемент из 1. Существует такое Х~Ь, что ~~3„; так как хЬ- П Х„то х~х,. Поскольку это верно для каждого ~~1, то хЕПХе Следовательно. предложение 2 до- 9! казана. Для семейств частей множества вторая часть предложения 2 остается справедливой и без ограничений на Ь и !ь 3.
Образы объединения и пересечения Пгедложвнив 3, Пусть (Х,), — семейство частей множества А, а à — соответствие мелсду А и В. Тогда Г!ЦХ,)= ЦГ(Х,) и Г(ПХ,)с= ПГ(Х,). чбтр '6~ «! Е! Соотношение (тх)(х~ ЦХ, и уЬГ(х)) эквивалентно соотношению (Лх)(Л)(~ Ь-1 и х~х, и уЕГ(х)), а следовательно, и соотношению (ю,)(~~1 и у~Г(Х,)), т. е.
уЬ- ЦГ(Х,). что доказывает 'Е~ первую формулу. С другой стороны, для каждого гЬ.! справедливо И Х, с Х„откуда (9 3, предложение 2) Г(ПХ,) с Г(Х,) и, следо- ~«! 9! вательно, Г/Пх,') с ПГ(Х,). ~б! г 1е! Если à — произвольное соответствие (или, в частности. произвольная функция), то формула Г(ПХ)=ПГ(Х), вообще говоря, нече! г «! верна. ' Например, в плоскости й' первые проекции прямых у = х и у = х+ ! тождественны с й, но пересечение этих прямых пусто, а следовательно, пуста и первая проекция этого пересечения ')., Однако можно сформулировать следующий важный результат: Пгвдложвние 4. Пусть у — отображение множества А в множество В, а (г",), ! — семейство частей множества В.
Тогда ) ') Знаменитая ошибка, связанная с применением предыдущей формулы, была совершена А. Лебегои при попытке доказать, что проекция на ось плоского борелева множества также есть борелево множество (результат, впоследствии признанный неверным; обсуждение его послужило началом теории „суслинских множеств); Лебег писал, что проекция пересечения убывающей последовзтельвости множества равна пересечению их проекций «!оиглаг йе Мигдетсййиез, (б), ! (1905), 19! — 192). ГЛ. Н. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ в ч л овъединение и пееесечение семепства множеств 1бу — 1 действительно, пусть х — элемент из П У (1',). для каждого ~Е1 !Е1 имеет место )'(х)~ун откУда )'(х)ЕП'1', и, следовательно, 'е1 — ! — 1 — 1 х~У (ПУ,).
Следовательно, ПУ (1",) ~У (ПУ,), что вместе 'ч! 'Е1 ~е! с предложением 3 завершает доказательство. Следствие. Если у" — инъекция множества А з множество В, а (Х,),,— семейство частей множества А, множество индексов которого непусто, то У(ПХ )=П у(Х). Ьч1 ! 'ч1 В самом деле, можно записать ~=(ад', где 1 — каноническая инъекция множества у (А) в В и д — биекция множества А на у (А). -1 Тогда для каждой части Х множества А у(Х )=й(Х), где символом й обозначено отображение. обратное к д; таким образом, мы пришли к предложению 4. 4. Дополнение объединения или пересечения ПРЕХЛОжЕНИЕ 5.
ДЛя КаждОга СЕМсйетза (Х,) ч! ЧаСтЕй МНО- жества Е С ]ЦХ,)= П(С,Х,) и С,]ПХ,)=Ц(С,Х). Пусть х~С 1'ЦХ~. Так как х~Е и для каждого !С1 имеет 141 место х( Х, то хЕС Х,; следовательно, хЕ П(СЕХ,). Обратно, 'ч1 пусть х~ П(С Х,); по определению пересечения (определение 3) 41 х~Е. Кроме того.
если бы хЕ ЦХ„то существовало бы такое й! я~1, что хсХ„, а это противоречит предположению хЕ П(С Х); 'е1 следовательно, х~С ]ЦХ,). Это заканчивает доказательство пер- 1'ч1 вой формулы. Вторая сразу же вытекает отсюда, если учесть, что Се(СЕХ)=Х для всякой части Х множества Е, Ю. Объединение и пересечение двух множеств Если А и  — множества, положим АЦВ= Ц Х, АПВ= Й Х.
ХР (А, В) Хй(А, В) Ясно, что АЦ В есть множество объектов, принадлежащих либо к А, либо к В (и, быть может, к ним обоим), в то время как А П В есть множество объектов, принадлежащих сразу к А и к В. В частности, ] х, у] = ] х] Ц ]у]. Положим ]х, у, х] = ]х, у] Ц ]е]. Множество ]х, у, х] есть множество, единственными элементами которого являются х, у и г. Аналогично положим ]х, у, г, г] = ]х, у, г] Ц ]!] и т, д. Если теперь А, В, С, Р— множества, положим: АЦВЦС= Ц Х, АПВПС= П Х, хс(А,в,с) Хе(А, В, С) АЦВЦСЦР= Ц Х, АПВПСПР= П Х и т. д.
Хй(А, В, С, П) Хй(А, В, С, П) Пусть А, В, С вЂ” множества. Предложения 1 и 2 влекут фор- мулы АЦВ=ВЦА АПВ=ВПА А Ц(В Ц С) =(А Ц В) Ц С= А Ц В Ц С, Ай(В ПС)=(Ай В) йС =А й В йС. Эти формулы, впрочем, суть непосредственные следствия теорем. изложенных в критерии С24 (гл. 1, э 3, и'5); аналогично доказываются формулы А Ц (В П С) = (А Ц В) й (А Ц С), А й (В Ц С) =- (А й В) Ц (А й С) (,дистрибутивность" объединения относительно пересечения и пересечения относительно объединения; ср. й 5, п' 6).
Соотношение А ~ В эквивалентно А Ц В = В и А П В = А. Если А и  — части множества Е, то из предложения 5 (или иа критерия С24) легко выводятся формулы С (А Ц В) = (СРА) й (С В), Се (А й В) = СЕА Ц СВВ; кроме того А Ц (С ЕА) = Е, А П (СЕ А) = 8. Если à — соответствие между Е и Р, а А и  — части от Е, то из предложения 3 легко вывести, что Г(АЦВ)=Г(А)ЦГ(В), Г(АПВ) ~ Г(А) ПГ(В), а если у — отображение из Р в Е, то У' (А П В) = ~ (А) й У (В) в силу предложения 4. Отметим также следующее предложение о дополнениях.
ГЛ. 1[ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ е ь 1. овъединение и пеяесвчениз семвиствл множдотв 109 Пгедложвние 6. Пусть )' — отображение из А в В; для вся— 1 — 1 -1 кой части 1' множества В справедливо Г( — У) =/(В) — г'(У) — 1 В самом деле, для того чтобы х принадлежало к г" ( — !'), необходимо и достаточно, чтобы Г(х) принадлежало к В, но не к 1', — ! — 1 т. е. чтобы х принадлежало к Т(В), но не к У(1').
Слндствив. Пусть У вЂ” инъекция А в В; для всякой части Х множества А справедливо у(А — х) =у(А) — г. (Х). В самом деле, записывая г =<~ й, где 1 — каноническая инъекция из Т(А) в В. мы приходим к предложению б, примененному — 1 К Пересечение ХПА называется иногда следом (от) множества Х на А. Если !(у — семейство множеств, то называют также следом (от) семейства ф на А множество следов на А от множеств, принадлежащих к $. б. Покрытия Опгеделение б.
Мы скажем, что семейство множеств (Х) й! есть покрытие множества Е, если Е с 1!Х. Если (Х) 01 'ч! (У„)„~к — покрытия множества Е, то мы скажем про второе из этих покрытий, что оно более мелкое (тонкое), чем первое, или мельче (тоныие) первого, а про первое из этих покрытий, — что оно более крупное (грубое), чем второе, или крупнее (грубее) второго, если для всякого кцК существует такое 1Е!. что У„с Х,. Множество множеств Я есть покрытие множества Е, если семейство множеств, образуемое тождественным отображением множества Я, есть покрытие для Е, т, е., иными словами, если Е с= сЦХ.
хйя Если Я, Я', Я" — три покрытия множества Е, такие. что Я" мельче Я, а Я" мельче Я', то ясно, что Я" мельче Я, Пусть (Х,),,— покрытие множества Е; если ! — часть множества !. такая, что (Х,) также есть покрытие для Е, то это покрытие, очевидно, мельче, чем (Х,) ' 'Е1' ПУсть (Х,),й1 и (У„)„~к — покРытиЯ множества Е. Семейство множеств (Х, П т„)<, „, й <як также является покрытием для Е. В самом деле, если х~Е, то существуют такие индексы 1Е1 и я~К, что х~Х, и х~'1'„, откуда хЕХ,ПУ„. Кроме того, ясно, что покрытие (Х, ДУ„)<, „)~<„к мельче каждого из покрытий (Х,),~1, (1„) . Пусть, обратно, (21)1 „— покрытие для Е, более мелкое, чем каждое из покрытий (Х,) ~1 и (У„)„~к, если ) ~1-, то существуют такие индексы 1~! и к ~ К, что Е1 с Х, и 21 с 1'„.
откуда Е1 <= Х, П'1'„; а это доказывает, что покРытие (Х1),~ь мельче покрытиЯ (Х,ДТ„)<, „!й,,к. Пусть (Х,),,— покрытие множества А и пусть Г' — отображение множества А на множество В. Семейство (Т(Х,)) й! является тогда покрытием множества В (предложение 3); оно назйвается образом покрытия (Х,),ч< при отображении (или относительно отображения, или по отображению) Т. Если д — отображение множества С в мно- -1 жество А, то семейство (й(Х,)),е! есть пскрытие для С, называемое полным прообразом покрытия (Х,), при (относительно, по) д.
Пусть Е и Р— множества. (Х,),й, — покрытие множества Е и (!'„) к — покрытие множества Р. Семейство (Х, Х '1'„)<, „ является тогда покрытием множества Е )!', Р. называемым произведением покрытий (Х,) ! множества Е и (У„)„~к множества Р. Пгвдложвнив 7. 1' Пусть Š— множество и (Х), — покрытие 'ч! множества Е. Если функции Т и я. областью определения которых служит Е, таковы, что для каждого 1~1, Г' и д совпадают на ЕПХ„то у и я совпадают на Е. 2' Пусть (Х), — семейство множеств; пусть (У),ч! — такое семейство функций, имеющих одну и ту же область прибытия Р, что для каждого 1Е1 область определения функции )', есть Х, и для каждой пары (1, «)<с!а! функции ~, и Г'„совпадают на Х,ПХ„. Тогда существует 1и единственна функция )', областью определения которой служит А =ЦХ„, аоб'е< ластью прибытия — множество Р и которая продолжает все функции 1", (! ~ 1).
1' Пусть х — произвольный элемент из Е; существует такое 1~ 1, что х~Х„откуда Г'(х)=д(х) по предположению. 2' Пусть 6,— график для у; и пусть О=Ц6,; покажем, что ~61 6 — функциональный график. В самом деле, если (х, у) ~ 6 н (х, у')~6, то в 1 существуют такие два индекса ! и ж что (х, у)~6, и (х, у')~6„. Это влечет х~Х„х~Х„, у=Г,(х), у' = У„(х); но так как х ~Х, П Х„, то <,(х) = У„(х), т. е.
у = у'. Областью определения графика 6 служит множество рг,6 = =О рг,6, = А; следовательно, функция у =(6, А, Р) — искомая. 'Е! Ее единственность вытекает из первой части предложения. гл. и. теоеия множеств ПО Упю Ч Ь ОБЪЕДИНЕНИЕ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СЕМЕИСТВА МНОЖпСТВ 111 7. Разбиения Опгеделение 6. Мы скажем, что два множества А, В не пересекаются (или не имеют общих элементов), если А П В = И; в противном случае мы скажем, что А и В пересекаются.
Пусть (Х,) — семейство множеств: мы скажем, что множе' й! ство этого семейства взаимно (или попарно) не пересекаются, если условия ! Е 1, к ~ 1, ! ~ к влекут Х, П Х„= И. Пусть 7" — отображение множества А в множество В. (!',) семейство попарно непересекающихся частей множества В; предло— 1 жение 4 показывает, что множества из семейства (у(!',)), ! частей множества А тоже попарно ие пересекаются. Напротив, если (Х,) семейство попарно непересекающихся частей множества А, то множества из семейства (7'(Х,)) Е! вообще говоря, не являются попарно непересекающимися. Пеедложение 8. Пусть (Х,) й! — семейство попарно непересекающихся множеств, а (7)Е! — такое семейство функций, имеющих одну и ту же область прибытия Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
