Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Условие существования общего продолжения для семейства отображений, прииздлежащих к Ф(Е, Р) (гл. !1, $4, предложение 7), показывзет, что для того, чтобы В имело верхнюю грань в Ф (Е, Р), необходимо и достаточно, чтобы для всякой пары элементов (и, о) нз й выполнялось и (х) = Р (х) при любом х 6 0 (и) П 0 (Р). Пусть дано отображение у множества А в упорядоченное множество Е. Мы говорим, что эта функция имеет верхнюю грзнь, если образ у(А) имеет верхнюю грань в Е; эта грань тогда называется 10ь ГЛ.
Н1. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА ь 4 !. соотноп!ения НОРядха, упояядоченныв множествА 149 148 верхней гранью функции 7' и обозначается через зпр7'(х). Нижняя ксл грань для )' определяется и обозначается аналогично. В частности, если часть А множества Е имеет верхнюю грань в Е, то эта грань есть верхняя грань канонической инъекции части А множества Е, а потому может быть обозначена через зкр х.
ксл П~едложение 3. Пусть Š— упорядоченное множество, А — часть множества Е, имеющая в Е и нижнюю, и верхнюю грани; тогда !Я1А ( зпр А, если А не пусто; если же А = И, то зпр А есть наименьший, а !п1А — наибольший элемент в Е. Это вытекает сразу же из определений. ПРедложение 4. Пусть Š— упорядоченное множество, А и  — две части множества Е, имеющие каждая верхнюю (соответственно нижнюю) грань в Е; если А!=В, то зпрА (зпрВ (соответственно !п1 А )~ !п1 В). Это предложение очевидно.
Следствие. Пусть (х,) — семейство элементов множест- ' 81 ва Е, имеющее верхнюю грань в Е; если д — такая часть множества 1, что семейство (х,), 1 имеет верхнюю грань в Е, то зпр х, (зпр х,. 81 Пгедложение 5. Пусть (х,), (у,),— два семейства элементов упорядоченного множества Е, имеющие одно и то же множество индексов 1 и такие, что х, (у, для всякого 1~1! если оба семейства имеют верхнюю грань в Е.
то ырх, ( '81 (з"Ру ° Р1 В самом деле, а = зпр у, есть мажоранта множества элементов уд 'ч! следовательно, х, (у, (а для всякого 1, что влечет зпрх, (а. Е! Пгедложение 6. Пусть (х,) — семейство элементов упоряС1 доченного множества Е, а Щ, „— покрытие множества индексов 1; предполагается, что каждое из подсемейств (х,), имеет верхнюю грань в Е. Для того чтобы семейство (х,) имело верхнюю грань в Е, необходимо и достаточно, чтобы семейство !зцрх;! имело верхнюю грань в Е, причем в этом '! Е1„)!Еь случае ыр х, = зпр !'знр х,) . 'Е! "Еь '! Е!! Следствие. Пусть (х, )„!Р„м — двойное семейство элементов упорядоченного множества Е, такое, что для всякого р~М семейство (х! ), ь имеет верхнюю грань в Е.
Для того чтобы семейство (х, ) ! Р,с„„м имело верхнюю грань в е, необходима и достаточно, чтобы семейство (зпрк! ) имело !!б ь )РГ м верхнюю грань в Е, и тогда ыр х„= зпр /зцр х,„) . !1,Р!8!хм Рзм' лсь (2) Пгедложенив 7. Пусть (Е,) ~! — семейство упорядоченных множеств. Пусть А — часть упорядоченного множества-произведения Е= ДЕ„и для всякого ! ~1 пусть А, =рг, А. Для того ~! чтобы А имело верхнюю грань в Е, необходимо и достаточно, чтобы при всяком 1~1 множество А, имело верхнюю грань в Е,, и тогда зпр А =(зпр А,),, = !'зпр рг, х) ''Е !ксл ' ) й! В самом деле, предположим, что для всякого 1~1 множество А, имеет верхнюю грань Ь, в Е,.
Утверждение, что с=(с,) есть мажоранта для А, означает тогда, что с,)~Ь, для всякого 1~1; следовательно, (Ь,) к! есть верхняя грань множества А. Обратно, предположим, что А имеет верхнюю грань а=(а,),,; для всякого х~! элемент а„есть мажоранта для А„, ибо при х„~А„по определению множества А„суп!ествует такое х ~ А, что рг„х =- х„.
С другой стороны, если а' — мажоранта для А в Е, то элемент с'=!с') к Х Х' ! 'АС! такой, что с'=а для !Фх и с„'=а„', есть мажоранта множества А, что влечет с'~~ а и, следовательно, а„'~~ а„. Таким образом, а„есть верхняя грань для А„в Е„. Положим Ь! —— зпр х,. Предположим, что (х,),, имеет верхнюю 'кгл грань а; тогда а)~Ь для всякого Л~!. (следствие предложения 4). С другой стороны, если с)~Ь„для всякого ЛЕ1., то с)~х, для всякого 1~1, ибо (Л!)!чь есть покрытие множества 1; следовательно.
с)~ а, что доказывает равенство а =зпрЬ. Предположим, обратно, !бь что семейство (Ь„)„„имеет верхнюю грань а'! тогда а'эх, длн всякого ! ~!. С другой стороны, если с')~ х, для всякого ! ~1, в частности с') зпрх,=Ь для всякого Л~(., следовательно, с') а', 'Ггл что доказывает равенство а'=зпр х,. ~61 И $ Ь СООТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 151 ГЛ. ГП. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 13О 2 Пусть Р— часть упорядоченного множества Е и пусть А — часть множества Р. Может случиться, что один из двух элементов — зцр А или зпр А — существует, а другой — нет или что оба существуют Р и не равны. Примеры.
'1) В упорядоченном множестве Е = й действительных чисел рассмотрим множество Р = 0 рациональнмх чисел и множество А с Р рациональных чисел ( 'г' 2; тогда заре А существует, а зирг А — нет. 2) При тех же обозначениях, хак в примере 1), пусть 0 есть объединение множества А н множества (2); тогда Ог:,Р и знрОА существует, а зирг А — нет. 3) При тех же обозначениях знрь А =)г 2, заро А= 2., Однако справедлив следующий результат: Пгедложение 8. Пусть Š— упорядоченное множество, Р— часть миоэкества Е и А — часть мяожестэа Р.
Если апре А и зцр А оба существуют, то апре А ( зпрн А. Если зпр А существует и принадлежит к Р, то зцр„А существует и равна зцре А. Первое утверждение вытекает из того, что множество М мажорант множества А в Р содержится в множестве Х мажорант множества А в Е, и из предложения 4. С другой стороны, если наименьший элемент из Х лежит в Р, то он принадлежит к М и, очевидно. является наименьшим элементом в М. Это доказывает второе утверждение.
10. Фильтрующиеся лгножества Опгеделение 7. Мы говорим, что упорядоченное множество Е является фильтрующимся вправо (соответственно влево), если всякая дэухэлементная часть от Е ограничена сверху (соответственно сливу). Вместо .фильтрующееся вправо' говорят также, фильтрующееся по соотношению <' '); аналогичные выражения используются, когда соотношение порядка обозначается другим знаком. Например, если Г — какое-нибудь множество частей множества А, то мы будем говорить, что Ф является фильтрующимся по соотношению г- (соответственно ~), если для всякой двухэлементной части (Х, У) множества ю существует такое Ебгй, что Хс3 и ус 2 (соответственно Х->У. и УлХ). )(опуская вольность речи, вместо „множество, фильтрующееся вправо" (соогветственно влево), мы иногда будем говорить также .возрастающее (соответственно убывающее) фильтрующееся множество*.
Примеры. 1) Упорядоченное множество с наибольшим элементом является фильтрующимся справа. ') Относительно терминологии см. также подстрочное примечание к и' 8 б 6 сводки результатов (сгр. 387). — Прим. ред. '2) В топологическом прострзнстве фундаментальная система окрестностей точки является множеством, фильтрующимся по соотношению => („ Общая топология', Рез. 8 1. п'4). 3) Множество подмодулей конечного типа в произвольном модуле („ Алгебра, гл.
У11, б 2, п' 2) является фильтрующимся по соотношению с., Пгедложение 9. В фильтрующемся вправо множестве Е максимальный элемент а есть наибольший элемект множества Е. В самом деле, для всякого х~Е, по предположению, существует. такое у ~ Е, что х ( у и а ( у; так как а — максимальный элемент, то у =а. Упорядоченное множество, фильтрующееся вправо, являетсяфильтруюшимся влево при противоположном порядке.
Всякое произведение фильтрующихся вправо множеств есть фильтрующееся вправо множество. Напротив, часть фильтрующегося вправо множества не обяза-. тельно является фильтрующимся вправо множеством. Если Š— предупорядочеяноэ множество с соотношением пред- порядка, обозначаемым через х(у (п'3), то говорят, что Е является фильтрующимся вправо (соответственно влево), если, каковы бы ни были х, у в Е, существует такое гбЕ, что х(г и у(г (соответственно г(х и г(у). 11. Отобраэюениит 1. Индуктивные пределы Пусть 1 — фильтрующееся вправо упорядоченное множество (п' 10), а (Е„)„, — семейство множеств, множеством индексов которого служит 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
