Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть 5~! таково, что 5 ьу<, 5)~<з; тогда Р<г<! (гр<г! (х<г!) ) = Р)О ~ср<О (х<п) ). Иными словами, у<!!э!(х$г!)=ф'„!(х<г!) для 1= 1, 2. Отсюда по опре делению следУет, что гога(хэ) = Рг„(х,); следовательно, <оэ (хз) = Р,(х„). Если положить К(х)=<о„(х„), то легко убедиться, что л отвечает на вопрос, а это завершает докааательство. Замечания. '1) Предложение 11 нетрудно распространить на произведение любого конечного числа индуктивных пределов., 2) Определения н результаты иэ настоящего и' 11 нетрудно распространить на случай, когда предполагается лишь, что ! есть фильтрующееся вправо предупорядочеииое множество (и' 1О). 12. Отображения !11.
Проекгпипные пределы Пусть 1 — фильтрующееся вправо упорядоченное множество, (Е„)„а ! — семейство множеств, множеством индексов которого служит 1. Для всякой пары (а, р) индексов из 1, таких, что а(р, пусть 1„ есть отображение множества ЕЗ в множество Е.. Предполагается, что отображения 1„1 удовлетворяют следующему условию (1,Р): (! Р) Соотношения а (р (Т влекут ~т=~,а Пусть О= бб ń— произведение семейства множеств (Е„),,; «б! обозначим через Е часть множества О, образованную элементами х, удовлетворяющими каждому из соотношений рг„х = у„з (рг х) (5) для всякой пары таких индексов (а, р), что а (р. Мы говорим, что Е есть проектиаяый предел семейства (Е„), для семейства отображений (у„а), и пишем Е=!пп(Е„, 1„1) или просто Е=!пиЕ., если не возникает путаницы.
Допуская вольность речи, мы будем говорить также, что пара ((е„), (у'„з)) (обозначаемая также через (Е„, <„э)) есть проектизиая система множеств относительно множества индексов !. Мы говорим, что сужение Т'„на Е проекции рг„ есть каноническое отображение множества Е з множество Е,; справедливо соотношение =! о! (5) для а (р, что представляет собой лишь другую форму условий (5), определяющих Е. Заметим.
что множество Е может быть пустым, даже когда г множества Е„непусты и каждое из отображений Т',З сюръективно (упражнение 32), Пгедложение 12. Для всякого аЕ! пусть л; есть такое отображеяие множестаа Е' а Е,, что соотношение а (р влечет ,<„Эокз —— й'„. В этих условиях: 1' существует а единственно такое отображение к множества Е' а Е, что к,=у,об для всякого а~1; 2' для иивектиаяости К необходимо и достаточно, чтобы для всякой пары различных элементов х', у' аз Е' существовало такое а~1, что К„(х') чь К„(у'). В самом деле, соотношение К„= У„ой означает, что для всякого х' ~ Е' справедливо рг„(К(х')) =К„(х'); следовательно, элемент Аа(х')<с йй Е, однозначно определяется соотношением л (х')= «5! =(й,(х')), !.
Остается доказать, что у(х')~Е, или, иными словами, что Р" (В (х )) =1,1(Ргз(й(х ))) пРи а ( Р; но это допУскает запись К„(х') =1„з(бз(х')) и вытекает из предположений. Вторая часть предложения сразу же вытекает из определений. ПРимеР. ' ПУсть (Р!)г Р ь — семейство множеств, ! — множество конечных частей множества 1., упорядоченное включением; ! является фильтрующимся по отношению к с:, Для всякой конечной части 3 множества 1. пусть Е„= И Рг! если 3, К вЂ” две конечные части множеАе! ства Е, такие, что 1<= К, пУсть 1 есть пРоекциЯ нз Ек на Ег! непосредственно очевидно, что эти узк удовлетворяют условию (ЕР).
Пусть Š— проективный предел семейства (Е!) для семейства отображений (угк); определим биекаию л произведения Р= П Р! на хо!. множество Е. Для всякой конечной части 3 множества Е пусть лг есть проекция множества Р на Ег! непосредственно очевидно, что у!хоук = д! при 1<: К, откуда л определяется применением предложения 12. Инъективность отображения Р очевидна; чтобы доказать сюръективиость этого отображения, рассмотрим некоторый элемент У =(уг) из Е; для всякого ! Е 1 и всякой конечной части 3 множества 1., содержащей Х, элемент ргг(уВ не зависит от рассматриваемой части Л (содеРжащей 1), так как по пРедположению угк(Ук)= У! пРи Л<= К.
Обозначим этот элемент через х! и положим х= (х!)гсы для всякой коночной части ! множества Е по определению Ааг(х) =(хг),б! =У!' откуда и вытекает наше утверждение. Допуская вольность речи, часто 158 ГЛ. !!!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА ьз отождествляют произведение Р с проективиым пределом произведений Рзъ Аналогичное рассуждение применимо ко всякому фильтрующемуся множеству частей множества Ь, объединение которых есть все множество Ь.
Следствие !. Пусть (Аа, ор,) и (Ва, фа) — две лроективные системы множеств относительно одного йтого же множества индексов 1; луста й 1!ш(Аа, ф„г), В=1!а(В,, ф„), и для всякого ас! пусть !р, (соответственно фа) есть каноническое отображение мноэкества й в множество Аа (соответственно множества В в множество Ва). Для всякого аЕ! пусть е„есть таков отображение множества А, в множество Ва, что лри а (р диаграмма вг А —.+ В ь Ф А — »В а Е а а коммутативла. Тогда существует и единственно такое отображение я ! А-»В, что для всякого аЕ! диаграмма й в,в ,! Ф Ф А — »В а е коммутативна, Положим й,=д„о ф . При а ( р ввиду (6) рг.йг ф,.и, фв е .,агоре я оф и можно применить предложение 12 к отображениям й„; отсюда и вытекает существование и единственность такого отображения д ! А -» В, что ф од'=й =й о<р д «я всякого а С 1. Мы говорим, что семейство отображений я, ! Аа -» В,, удовлетворяющее условиям следствия 1, есть лроективная система отображений из (Аа, фаг) в (Ва, фа ); отображение д, определенное в следствии 1, называется лроективным пределом семейства (д.) и обозначается через и= !!щи„, когда можно не опасаться путаницы.
Следствие 2. Пусть (А„, сра ), (В,, ф,г), (Са, 6,в) суть три прэективные системы мномсеств относительно 1; пусть А =!Нп(йа, ф,в), В=!пи(Ва, ф„г), С=!ни(С,, 6, ) и пусть <ра й !. СООТНОШЕНИ р " ПО ЯДКА. УПОРЯДОЧЕННЫЕ множества (соответственно 4, 6 ! есть к ф...) ь каноническое отображение множе- ства А (соответственно В, С) в А, (соответственио В, С '. Е „, ф,г) и (о,): ( „, ф,г) — !.(С,, 6,г) суть две лроек- тивныв системы отображений, тогда семейство (о, о и,) есть проективная система отображений системы множеств 'А, в систему (С,, 6» ), и при этом !!ш (о о и ) = (!!щ о ) о (1!3п и ).
(7) В самом деле, если положить те =о ои, то он, ТО Прн и о<р =о о(и о<р )=о о(ф ои)=(6 оо)ои =6 оп!, г в в' а это доказывает, что гтв ' К о ( ,) есть проективная система отображений. роме того. если положить и = 1нп и,, о = 1' — = !ш о, то для всякого а ~! 6а о(о о и) = (оа о ф ) о и = (о о и,) о р а фа и ввиду единственности проективного предела о о и =!!штв . влетворяют условию ЬР; обозначим е ния „, прн а ) удо- (,)„Е„относительно этих Отображен й 7", . О блеянию (называем ю канон и, . пределим у ической) множества Е на множество Е', аг' что позволит отождествить эти два множес . В б — такое отображение множества Е в Е', что х = тва. самом деле, п сть для всякого х~~Е. х ~ ~. Покажем сначала, что и инъективно; если у'(х)Ф; (); ;, у); так как 3 кон инально в 1, то' существует такое р~,), что а( р; так как 7„(7 (х)) + Т".В(7" (у)) ввиду (6), то /в(х) чь ув(у) и, следовательно, и(х) Ф д(у). Остается убедиться, что я сюръективно.
Пусть х'(х') — элемент из ЕС Лля всякого р ~ 1 существует такое А ~ 3, что р ).; гх' не з покажем, что элемент ( ') не зависит от индекса Х ~ А такого, ' ( А. В ог, что ' ( . В самом деле, если индекс р»-Л таков, что , что р (р, то существует такое «~Л, что . «и р ( «; следовательно, в силу (ЬР' ) справедливо ,( ,') — у (Г„ (х')) =7 „(х„'), и аналогично 7" „!х') =у гх «, откуда и вытекает наше тве ж отображений 'х' у рждение.
Пусть х — общее значение Раженнй /В„(хх) для таких Л ~,), что () (Х; положим х=(х ) и если а ( 6 и если ). Л для всякого а ~ Л. Иными словами, и словами !' (х) = х' откуда д (х) = х' а это и завершает доказательство. 1Б $1, сООтнОшениЯ пОРЯдкл. УпОРЯдОченные множества 161 гл. Нь упорядоченные множества Замечаник Определения и результаты настоящего п' 12 нетрудно распространить на случай, когда предполагается лишь, что 1 есть фильтрующееся вправо и редупорядоченное множество. БЗ. Сетчатые множества Оп~единение 8. Говорят, что упорядоченное .«ножесаио Е является сетчатым (или что Е есть упорядоченная сеть нли решетка)'), если всякая диухэлеменаная часть от Е имеет верхнюю и нижнюю грани и Е.
Всякое произведение сетчатых множеств есть сетчатое множество, как это сразу же вытекает из условия существования верхней грани в произведении упорядоченных множеств (предложение 7). Множе- ство всех частей любого множества А, упорядоченное включением, есть сетчатое множество, так как объединение и пересечение двух частей множества А снова есть часть множества А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
