Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В частности, всякая орди. нальная сумма ~Ч~ Е, множеств без дыр есть множество без дыр, 'е! когда ни одно Е, не имеет максимальных элементов (или когда ни одно Е, не имеет минимальных элементов). Если 1 — множество без дыр, то ординальная сумма 'р' Е,— без дыр, когда каждое Е, есть р! множество без дыр или не содержит ни одной пары различных сравнимых элементов. !( 19) Мы говорим, что упорядоченное множество Е является дисперсмы«г, или рагс«яииым, если никакое упорядоченное подмножество в Е не есть множество без дыр.
Всякое подмножество дисперсного множествз есть днсперсное множество. а) Если Е дисперсно, то для всякой пары таких элементов «, у нз Е, что «< у, существуют два таких элемента х', у' из Е, что х <«' < у' < у и интервал ) «', у'( пуст. 'Дать пример совершенно упорядоченного множества, удовлетворяющего предыдущему условию, но тем не менее не дисперсного (рассмотреть триадическое множество Кантора)., б) Для того чтобы ордннальная сумма Е = ~' Е, (1 и все Е, нее! лусты) была дисперсной, необходимо и достаточно, .чтобы 1 и каждое из Е, были дисперсными (принять во внимание, что Е содержит подмножество, нзоморфное с 1, и что всякое непустое подмножество Р множества Е есть ординальная сумма множеств РПЕа которые все непусты; использовать, наконец, упражнение 18).
20) Пусть Š— совершенно упорядоченное множество, Б!к, у!— соотношение „замкнутый интервал с концамн «, у днсперсен' (упражнение 19). Показать, что 3 — соотношение порядка, слабо совместимое с соотношением порядка на Е, что классы эквивалентности по 8 суть дисперсные множества и что упорядоченное фактормножество Е/3 (упуажнение 2) — без дыр. Вывести отсюда, что Е изоморфно некоторои ординальной сумме дисперсных множеств, где множество индексов — множество без дыр. 21) Пусть 1 — фильтрующееся вправо упорядоченное множество и (Ааа) ' (йа Рэа) ь (Ва Фар) — индуктивная система отображений относительно 1.
Показать, что если каждое из е„ инъективно (соответственно сюръективно), то « = Яю Р, есть инъективное (соответственно сюръективное) отображение множества А = !ип А„ в В = !ип В,. э' ь Упр. 168 ГЛ. П1 УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Упр э 1 сООтнОшения пОРядкА упОРядоченные множествА Р39 22) Пусть 1 — фильтрующееся вправо множество, (д)))бь — семейство частей от множества 1, у которого множество индексов Е есть такое фильтрующееся вправо множество, что; 1' для всякого Абй множество з) является фильтрующимся для соотношения порядка, индуцированного соотношением порядка на 1.' 2' соотношение а <Р.
влечет Э) с:3„; 3' 1 есть объединение семейства (Э>). Пусть Е = 1ип Еа— индуктивный предел семейства множеств (Е,)а 1 для семейства отображений (УЗ„). Обозначим чеРез Р> индУктивный пРедел семейства (Еа) Ет а «Е 1 для семейства (уаа), где «и 3 пробегают 3„; пусть г)~> — каноническое отображение множества Е, в Рг для «ИЗР а) Показать, что при Х < и существует единственное отображе- ННЕ й 1 МНОжЕСтВа Р> В Р, таКОЕ, ЧтО д )ауг =.)ар> дЛя ВСЯКОГО Н) «Е ЗР Отображения Рр> удовлетворяют условию (1.!); пусть Р— индуктивный предел семейства (Р>)) ь для семейства отображений (Ра)).
б) Для всякого Х ЕЕ пусть 3 — каноническое отображение множества РА в Р; если ай1 принадлежит одновременно к 31 и )„„пока- ЗатЬ, ЧтО ОтОбражЕНИя 31«У> > Н д а ф> раВНЫ. ОбОЗНаЧая ЭтО ОтО- 1 бражение через й„, показать, что существует отображение й множества Е в Р, такое, что й„= йа,г„для всякого «Е 1, причем й бнективно. 23) Пусть 1 — фильтрующееся вправо иножество, Е = Иш Еа— НидуКтИВНЫИ ПрЕдЕЛ СЕМЕЙСтВа МНОжЕСтВ (Е,)ай> дЛя СЕМЕйетза ОтО- браженнй (У~). Пусть в Еа соотношение И, есть соотношение эквивалентности у, (х)=у„(у); показать, что прн «<3 отображение уэ совместимо с соотношениями эквивалентности Иа и Кз.
Пусть Е„'= Е„/1(„н пусть уз,— отображение множества Е„в ЕЭ, полученное из га„переходом к фактормножествам. Показать, что отображения г",р удовлетворяют условию (1,1) и ннъективны; определить каноническую биекцию множества Е на индуктивный предел Е =ИШЕ. а' 24) Пусть ! — фильтрующееся вправо множество, (Е„)„61 — семейство множеств н пУсть Уэ„, где «< Р, есть отобРажение множества Е» в еэ. предполагается, что семейство (у>м) удовлетворяет условию (ы).
Пусть Е„=>„„(Е„)~Е« н пусть У݄— сужение отображения Ур, нв Р множество Е„'; показать, что 3>м есть отображение множества Е, в Ер, что семейство (д а) удовлетворяет условию (Е1) и что для всякого « б 1 отображение 3„, есть тождественное отображение множества Еа. С помощью предложения 10 определить каноническую биекцню множества Е=!нпЕ на Е =ИшЕ'.
а" 26) Пусть (д„): (А„ущ)-+ (В„, ф>,) есть индуктивная система отображений относительно упорядоченного множества 1. Пусть О„~ ~ А„Х Ва — гРафик отобРажениЯ У„н пУсть /р„, где «< 3, есть сУжение отображения Р>„К фйа на Оа. Показать, что семейство (>' а) удовлетворяет условию (!.!), и определить каноническую биекцню множества О.= Иш(О«, /,„) на график отображения 3 = Иш йа множества — ь А = Игл(А«, г)а) в В = >ил (Ва, ф а). 26) Пусть ! — упорядоченное фильтрующееся вправо множество и пусть (Ка)1(йа Раэ)ь(Ва ф а) есть проективная система отображений относительно !.
Показ)ть, что если каждое отображение л„инъективно (соответственно биективно), то У = Иш Р„ есть инъективное (соответственно биективное) отображение множества А = 1ип Аа в В = Иш Ва (ср. упр. 32д) ). 27) Пусть ! — фильтрующееся вправо множество, (з)) — семей- ЛР 1. ство частей множества 1, удовлетворяющее условиям из упр. 22. Пусть Е=1ипЕ« — проектнвный предел семейства множества (Еа) 1 по се« а«1 мейству отображений (газ). Обозначим через Р> проективный предел сеиейства (Еа)а по семейству уа>, где «и 3 пробегают 3)1 пусть У, — каноническое отобРажение множества из Р) в Еа пРи «6 йм П> а) Показать, что при а <Р существует единственное отображе- НИЕ у)„МНОЖЕСтяа Є Ры таКОЕ, ЧтО Г> >«3 =уяр> дпя ВСЯКОГО «Е дн Отображения 3 удовлетворяют условию (ьр)1 пусть Р— проективный предел семейства (РА)>~„по семейству отображений (д ).
>п)' б) Юля всякого 16 6 пусть У вЂ” каноническое отображение множества Р в Рх, 'если «б1 принадлежит одновременно к л> и 1, пока- Й) ю зать, что отображения у),>ай и у)п)ай„равны. Обозначив через й„ это отображение, показать, что существует отображение й множества Р в Е, такое, что А«=у«ай, и прн этом биектнвно. 28) Пусть 1 — фильтрующееся вправо множество, Е = Иш Еа— проективный предел семейства множеств (Еа), 1 по семейству отображений (У„Э). ПУсть Е«=У„(Е); показать, что сУжение г'„р отобРаже- Р ния г„з на множество Е есть сюръекцня множества Е' на Е при а «< 3 и что отображения /„'З удовлетворяют условию (Ер); определить каноническую биекцию множества Е на проективный предел Е =ИшЕ н показать, что каноническое отображение множества Е а в Е сюръективно.
29) Пусть 1--фильтрующееся вправо множество, (Е,)а 1 — семейство множеств и пусть г„, где а < 3, есть отображение множества Е в Еа. Предполагается, что семейство (У„ ) удовлетворяет условию (ЕР). Пусть Е„ = >'„„(Е,) ~ Е, и пусть й„р — сужение отображения >"„З на множество Е; показать, что 3 Э есть отображение множества Е в Е, а а' что семейство (У„) удовлетворяет условию (ЕР) н что для всякого «61 отображение У„есть тождественное отображение множества Е . а' Определить каноническую биекцию множества Е = >ип Еа на Е =1ипЕ.
а' 30) Пусть (л„): (Аа, Таа) -+(Ва, ф„р) есть проективная система отоб ажений относительно упорядоченного филырующегося множества 1. усть О„~ А„Х Ва — график отображения й„и пусть у„р, где «<6, есть сУжение Р„а К фар на ОР Показать, что семейство (/,1) УДовлетворяет условию (ЬР), и определить каноническую биекцию множества э г. Вполне упорядОченные мнОжестВА 171 Упр. ГЛ. П!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА О = 1пп (Ст„ /„ ) на график отображения е = 1йп е„ множества А =!!ю А„в В = 1пп В„, 31) Пусть 1 — такое фильтрующееся вправо множество, что существует счетная часть множества от 1, конфннальная с 1: а) показать, что для всякой части ч множества 1, конфинальной с 1, существует счетная часть множества 3, конфинальная с» (а следовательно, и с 1); б) пусть (Е„)„Е! — семейство множеств, у которого множеством индексов служит 1, и пусть У„р гДе а (Р, есть сюРзекиия множеСтна Ег На Е„; ПРЕДПОЛаГаЕтеи, Чта ОтОбРажЕНИЯ У»э УДОВЛЕтВОРЯЮт условию (ЕР).
Показать, что для всякого аЕ1 каноническое отображение у» множества Е в Е„сюръективио и, следовательно, Е не пусто. если хотя бы одно нз Е„не пусто., '32) Пусть 1 — фильтрующееся вправо множество, не имеющее наибольшего элемента, и пусть Р— множество последовательностей х = (аь ат,..., а„,, а„,) яз четного числа >2 элементов множества 1, обладающих следующими свойствами: 1' ам, < ам для 1 ( ! ( и; 2' аы, ~'а»1, для 1(у < ! (и. Множество Р не пусто, если только 1 не сводится к одному элементу.
Мы полагаем г(х) =ага з (х) = а,„и называем 2и длиной последовательности х. а) Для всякого »Е1 пусть Е„есть множество таких хЕ Р, что г(х) = а; Е„не пусто, если 1 содержит более одного элемента. Для а (3 мы определим следующим образом отображение У„г множества Е в множество конечных последовательностей элементов из Р: при х= (аи ..., а,„ь ат„) б Ег пусть У есть наименьший такой индекс, что а (ан б мы полагаем у»З (х) = (а!,..., аа)-т, а, аэ)). Показать, что у„г (Е ) = Е„, что отображения у„г удовлетворяют условию (1.Р) и что У„„есть тождество. б) Показать, что если х„ЕЕ„и хаЕЕг таковы, что существуе~ индекс Т Е 1, котоРый > а и )~ Р, и если х! Е Е! таково, что х„= У»т (х!) и ха=уз (х.), и если, кроме того, х„и хг — последовательности одиз г! ! накояой длины, то з(х„) =э(ха). в) Вывести из б), что если проектнвный предел Е = — Иш Е„не пуст и у =- (х„) Е Е, то множество элементов з (х,) счетно и койфинально с !.
г) Пусть 1 — множество конечных частей несчетного множества А„ упорядоченное включением. Показать, что не существует никакой счетной части множества 1, которая была бы конфинальна с 1, н вывести из в) пример семейства (Е„), ! н отображений у»г, удовлетворяющих условию (ЬР) и сюръектнвных (при а (р), но таких, чтобы 1!т Е„был пустым. д) Вывести из г) пример проектнвной системы (а») ' (Е»' Г»Э) ~ (~»' у»г) такой, чтобы каждое из е было сюръективным, но чтобы я=1ипе » не было сюръективным (взять за все Е, одноэлементные множества). В 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
