Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пусть Е, Р— диа вполне упорядоченных множества, / и д — диа возрастающих отображения множисгпиа Е и Р, такие, что /(Е) яиляется отрезком мкожистиа Р, а е является строго Возрастающим; тогда /(х) (д(х) для любого х~Е. Рассуждая от противного, предположим, что множество таких у ~ Е, для которых / (у) ) й (у), не пусто. Тогда это множество имеет наименьший элемент а. Для х ( а имеем, по определению элемента а. /(х) (й(х) ( д(а) (/(а), так как д — строго возрастающее.
Поскольку /(Е) является отрезком множества Р, существует и ~ Е, такое, что е(а) = /(г); так как / — возрастающее, соотношение /(г) . /(а) влечет и ( а, откуда /(г) ( д(г) ( е(а) =/(х) — противоречие. Следствие 1. Единстиенным иэоморфиэмом иполни упорядоченного множества Е на некоторый отрезок мкожистиа Е является тождественное отображение множества Е ка себя. Достаточно, в самом деле, положить Р=Е В теореме 3. Следствие 2. Пусть Е и Р— диа вполне упорядоченных мкожестиа; если сущистиует иэоморфиэм / множества Е ка некоторый отреза!с Т множества Р и иэаморфиэм д множества Р на никоторь!й отреза!с 8 множества Е.
то непременно 8=Е, Т=Р и / и е — обратные одно для другого отображения. В самом деле, е о / — изоморфизм множества Е на отрезок й(Т)~8 множества Е; в силу следствия 1 необходимо д(Т) = 8 = Е и й о / — тождественное отображение множества Е; аналогично Упр ГЛ. П!, УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Упр. $2. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 181 усматриваем, что 7" пд — тождественное отображение множества Р. что и доказывает следствие. Следствие 3. Всякое подмножество А вполне упорядоченного множества Е изоморфно некоторому отрезку множества Е.
В силу теоремы 3 достаточно доказать, что не существует изоморфизма д множества Е на какой-нибудь отрезок множества А вида Бп; но д было бы тогда строго возрастающим отображением множества Е в Е, таким, что я(а)~ Вш или, иначе говоря, 27(а) < а; однако это неравенство противоречит лемме 4. б. Лексикографичеекие произведения Пусть (Е,),,— семейство упорядоченных множеств, множество индексов 1 которого вполне упорядоченно.
Рассмотрим множество- произведение Е = Ц Е, и соотношение ,х~ Е и у ~ Е и для наименьшего индекса г~ 1, такого, что рг,х+ рг,у, рг,х< рг,у", которое мы обозначим К(х, у). Сразу же видно, что К(х, х1 эквивалентно х~Е, что К(х, у) влечет (К~х, х( и К)у, у1) н что (К ~ х, у ! и К ~ у, х ~ ) влечет х = у. Кроме того, проверяется, что (К!х, у! и К!у, г1) влечет К)х, г ! (достаточно рассмотреть наименьший индекс !~1, для которого два из трех элементов рг, х, рг,у, рг,г не равны); таким образом, соотношение К(х, у( является соотношением порядка на множестзе-произведении Е.
Это соотношение и порядок, им определенный, называются соотношением лексикографического порядка и лексикографическим порядком на Е (полученными из данных порядков на ! и на множествах Е,); множество Е, упорядоченное этим соотношением, называется лекси- кографическим произведением семейства упорядоченных множеств (Е„) г!. Когда все множества Е,— совершенно упорядоченные, их лексикографическое произведение также совершенно упорядочено. Упражнения '!! 1) Показать, что в множестве порядков на множестве Е минимальными (по соотношению „Г крупнее чем Г" между Г и Г') элементами являются совершенные порядки на Е и что для любого порядка Г на Е график порядка Г есть пересечение графиков совершенных порядков, более крупных, чем Г (применить теорему 2), Вывести из этого, что всякое совершенно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству некоторого произведения совершенно упорядоченных множеств. 2) Пусть Š— упорядоченное множество, Š— множество частей множества Е, вполне упорядоченных иидуцированиым порядком.
Показать, что в 6 соотношение .Х есть отрезок множества У' является соотношением порядка между Х и У и что по этому соотношению й) является индуктивным. Вывести из этого, что существуют вполне упорядоченнме части множества Е, не имеющие в Е строгих мажорант. 3) Пусть Š— упорядоченное множество. Показатгь что существуют дзе непересекающиеся части А, В множества Е, объединение которых есть Е и такие, что А вполне упорядоченно, а В не имеет наименьшего элемента (взять, например, за В объединение частей множества Е, не имеющих наименьшего элемента); 'дать пример существовзиия нескольких разложений множества Е с теми же свойствами,, в!( 4) Упорядоченное множество Р называется частично вполне упорядоченным, если всякая совершенно упорядоченная часть множества Р вполне упорядоченна.
Показать, что во всяком упорядоченном множестве Е существует частично вполне упорядоченная часть Р, конфинальная с Е. (Рассмотреть на множестве $ частично вполне упорядоченных частей множества Е соотношение порядка .Х ~ у и никзкой элемент множества У вЂ” Х не мажоряруется никаким элементом множествз Х* между Х и У; показать, что В индуктивио по этому соотношению.) 5) Пусть Š— упорядоченное множество, у — множество таких частей Х множества Е, что два любых различных элемента множества Х не сравнимы. Пусть 3 упорядочено соотношением, определенным в упр. 5 6 1. Показать, что если Е индуктивное, то у имеет наибольший элемент. '(( 6) Пусть Š— упорядоченное множество, у' — отображение множества Е в Е, такое, что у(х) >х для всякого хб Е.
а) Пусть Ю вЂ” множество частей М множества Е, обладающих следующими свойствами: 1' соотношение х б М влечет у (х) Е М; 2' если непустая часть Н множества М имеет в Е верхнюю грань, то зта грань принадлежит к М. 1(ля всякого элемента аб Е показать, что пересечение С„множеств из Ю, содержащих и, принадлежит к 61 кроме того, Св вполне упорядочено, и если, С имеет в Е верхнюю грань Ь, то Ь6С и у(Ь) Ь; С называется цепью элемента а(относительно функции у), (Рассмотреть множество В)Ь, состоящее из пустого множества в частей Х множества Е, содержащих а, имеющих в Е верхнюю грань т, и таких, что либо т (Х, либо У(т) > т; применить к В)Ь соответствующим образом лемму 3.) Затем, рассуждая от противного и используя тот факт, что С вполне упорядочено„ доказать, что С„ содержится в любом М ~ Ю.
б) Вывести из а), что если Е индуктивно, то существует элемент Ь Е Е, таков, что у (Ь) = Ь. 11 7) Пусть Š— упорядоченное множество, Р— множество замыканий (ф 1, упр. 13) в Е. Упорядочим Р, положив и < о, если и(х) < о(х) для всех х 6 Е; Р имеет наименьший элемент е — тождественйое отображение множества Е в Е.
а) Показать, что и < о в Р тогда и только тогда, когда 1(о)~ ! (и), где 1(и) (соответственно !(о)) обозначает множество элементов множества Е, инвариантных относительно и (соответственно о). б) Показать, что если любые два элемента множества Е имеют в Е нижнюю грань, то любые два элемента множества Р имеют в Р нижнюю грань. Если Š— полная сеть (6 1, упр. 11), то и Р таково. в) Показать, что если Е индуктивное (по соотношению ~(), то любые два элементз и, о множества Р имеют в Р верхнюю грань (показгть, что если положить у (х) = о(и(х)) и обозначить через и (х) наибольший элемент цепи элемента х относительно функции у'(упр. 6), то ш — замыкание, являющееся верхней гранью отображений и и о).
8) Чтобы ординальная сумма ",'Е, (ф 1, упр. 3) была вполне е! упорядоченной, необходимо и достаточно, чтобы ! и каждое Е, были вполне упорядоченнымв. 133 ГЛ. П!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Упр. 182 э т. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Упр.
9) Пусть 1 — упорядоченное множество, (Е,),Г! — семейство упорядоченных множеств, каждое из которых равно одному и тому же упорядоченному множеству Е. Показать, что ординальная суммз ~~ Е, 'Е! (й 1, упр. 3) изоморфна лексянографическому произведению семейства (р!), „где множество (а, 3) из двух различных элементов вполне тс(а, з! порвдочено соотношением с графиком ((а, а), (а, 3), (3, 3)» и Р = 1, а — — Е; это произведение называется лексикверафическим произведением множества Е на множество ! и обозначается Е 1'). '(1 "10) Пусть 1 — вполне упорядоченное множество, (Е,),~! — семейство упорядоченных множеств, наждое из которых содержйт по крайней мере два различных сравнимых элемента.
Чтобы ленсинографическое произведение множеств Е, было вполне упорядоченным, необходимо в достаточно, чтобы каждое Е, было вполне упорядоченным и чтобы! бмло конечным (если 1 бесконечно, определить в лексико- графическом произведении множеств Е, строго убывающую бесконечную последовательность)., »(( 11) Пусть 1 — совершенно упорядоченное множество индексов, (Е,), ! — семейство упорядоченных множеств с множеством индексов 1. Определим на Е = и Е, следующее соотношение й (х, уф .множество 'Е! индексов ~Е1, таких, что рг, х~ рг,у, вполне упорядочено, и для наименьшего элемента этого множества рг, х < рг, у".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
