Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 45
Текст из файла (страница 45)
упр. 13г)). а) Показать, что для всякого ординального числа а > О, термы а + $ и а! суть нормальные функциональные симвояы, определенные для 6 > О (использовать упр. 14е)). б) Пусть ге(6) — ординальный функциональный символ, определенный для $)~а„такой, что ге(6))~$ и ап(! < ч влечет ю(6) < ю(ч). Пусть, с другой стороны, и(Е Ч) — такой терм, что соотношение „6 и Ч вЂ” оРдннальные числа ) аь" влечет соотношение,и (Е Ч) — такое ординальное число, что я(6, ч) > 6". Определить терм у(Е ц) со следующими двумя свойствами: 1 для всякого ординального числа б) аь У (Е 1) = и (6); 2' дла всЯкого оРдинального числа $ > ап и длэ вспкого ордьиального числа ч ) 1 У (6, ч) = зир и (У(Е ь), Е) (использовать крис<э терий С60, п'2).
Показать, что если У! (6, ч) — другой терм с теми же свойствами, что и У, то у (Е ч) = У! ($, ч) для 6 > аь и Ч > 1. Доказать, что для всякого ординального числа !) а, у(Е э) — нормальный функциональный символ по Ч (для ч > 1). Показать, что у (6, Ч) > 6 для Ч >1 и .">«а в у(Е т!) > Ч для $ >зпр(«„1) и Ч>1. Кроме того, для всякой пары ординальных чисел (а, 8), такой, что а > О, а >а,, 8> ге(а), существует и единственно ординальное число Е такое, что у (а, $)( ( 8 < У'(а, 6+ 1), причем 6 < 8. в) Если положить а, =-О, ш($) = 1+1, й(6 'а) = 6+1 то у6 '1) =- = 6+ Ч. Если положить а, = 1, и (6) = 6, Е (Е т!) = 6+ Ч, то у (Е Ч) = !Ч.
г) показать, что если соотношения «ь (! (с, аа (т1(.ч эле"ут а(Е ч)(д ($', ~)'), то соотношения «ь <$ <$', !.(ч(т)' влекут г (! Ч) (У(Е ч ) Если соотношениа аь <6 <В и а <ч < Ч влекУт А'(б, т) < 8(":, ч') и Л'(Е ч) <б" (Е, ч), то соотношения а < ! < й' и т1>О влекут у (Е Ч+1) <у'(1, Ч+1).
ГЛ. !!!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 186 д) Предположим, что ш($) = $ и что соотношения «, (; (1' и «о( О! < Ч' ВЛЕКУТ Я(8, Ч) < Я(Е т!') И б (О, Ч)(Я (Г, Ч). ПРЕДПОЛО- жим, кроме того, что для всякого Ф)~«о б(Е о!) — нормальный функ- циональный символ по и (для ч > «о) и что для 8)>«о т!) «о 1)~«о справедливо соотношение ассоциативности б (б (Е ч), 1) =- я (Е л (, С) ), Показать тогда, что для 8>~ «„Ч,«1, ь >1 б(у(Е о!), у(8, О) б Л = у (Е ч + ь) („дистрибутивность* символа я относительно у) и У (у (1 Ч) () = у (8 чб) (.ассоциативность* символа 7).
!! 17) В методе определения, описанном в упр. 16 б), возьмем «, = 1 + 1 (допуская вольность речи, обозначим «, через 2), ш (6) = 8, б(Е ч) =1«!. Положим тогда у(Е Ч) =Р. Положим, кроме того, « =1 для всякого ординального числа «, Ог О и 1г =1 для всякого о и- нального числа 8) 1. д я всякого ордиа) показать, что для «> 1 и 8 < 8' «э < «г в что для в ординального числа « > 1 « — нормальный функциональный символ пО Е Кроме того, для О < « ( « «г ( « б) Показать, что «! «ч = «го ч и («!)ч= «!д в) Показать, что если «> 2 и Р > 1, то «Э > «8. г) Для всякай пары Ординальных чисел Р))1, «>2 существуют три ординальных числа Е Т, В, определенные однозначно, такие, что Р = «"1+ В, ! ( «и Ь ( «!.
18) 'Пусть «, Р— два ординальных числа и пусть Е и р — два вполне упорядоченных множества, таких, что Огд (Е) = «, Огб (Г) = Р. Рассмотрим в множестве ЕР отображений множества Р в Е подмно- жество О тэких отображений я, что я(у), кроме, быть может, конеч- ного числа значений у, равен наименьшему элементу множества Е. Если Г' — множество, полученное нэделением множества Р противопо- ложным порядком, показать, что Π— связная компонента (относительно отношения „х и у сравнимы*; см. гл, !1, 6 6, упр.
10) в произведе- нии Е", наделенном порядком, определенным в упр. 11, и что О вполне упорядоченно; кроме того, доказать, что О!6(0) = «" (испольэовать свойство едийственности иэ упр. 166)., 19) Множество Е называется исеэдоордин«лоным, если оно обла- дает следующими свойствами: 1' И ЕЕ; 2' соотношение,у ЕЕ и х6 у' влечет хЕЕ;3* соотношение „ххй Е и у сЕ и (х= у или лбу)" является соотношением полного порядка в Е.
Показать, что для всякого орди- ство Е, т нального числа « существует и единственно псевдоординальное множе„, такое, что О!6 (Е„) = «(заметить, что всякий элемент псевдо- ординального множества Е есть множество элементов, строго меньших этого элемента в Е, и использовать критерий С60); в чзстности, псевдо- ордвнальные множества, имеющие порядковые типы О, 1, 2 =1+1, 3=2+1, это соответственно И, (И), (И, (И)) (И. (И) (И (И))) З Э. РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 187 Ясно, что соотношения Ея(Х, !) н Ес!(!', Х) эквивалентны, иначе говоря, соотношение Ео)(Х, !) симметрично; когда это соотношение истинно, мы будем также говорить, что Х н 'т' разномощны.
С другой стороны, Ео)(Х, Х) истинно '). Наконец, соотношение Ео)(Х, Х) транзитиано, так как композиция двух биекций является биекцией (гл. П, 9 3, теорема 1); таким образом, это соотношение является соотношением эквивалентности, рефлексивным во всяком множестве '). Из изложенного вытекает, что если Х и у равномощны, то соотношение (оьгЕ) (Ея (Х, Е)ффЕО (!', Е) ) истинно. Но схема 57 (гл. 1, 9 5, и' 1) дает следующую аксиому (УЕ)(Ея(Х, Х)<ФЕя(У, Х))) =Р(;(Ея(Х, Е)) =че(Ь|(У. Х))~.
Таким образом, если Х и !' равномощны, то ,(Ея(Х, Х) ) =т,(Ея(У, Е) ). Введем следующее определение: Опгеделение 2. Множество т (Ео)(Х, Е)) называется кардинальным числом множества Х (илн мощностью множества Х) и обозначается Сагб(Х). Так как Ес!(Х, Х) истинно, Сагб(Х) рааяомощно множеству Х (гл. 1, 9 4, схема 55). Таким образом, мы доказали следующий результат: Пгедложение !. Для того чтобы дза множества Х и т' были рианомощиы, необходимо и достаточно, чтобы их кардинальные числа были равны. Примеры.
1) Обозначим через О кардинальное число Сагб(И). Так как единственное множество, равномощное множеству И, есть И (гл. 11, э 3, п' 1 и и' 4), то О = Сагб (И) = И. 2) Все множества из одного элемента равномощны, ибо 1(а, Ь)) является графиком биекции множества !а) на множество !д!! в частности, они равномощны множеству (И).
Обозначим через 1 ф 3. Равномощные множества. Кардинальные числа 1. Кардинальное число множества Опгеделение 1. Мы будем говорить, что множество Х равно- мощно множеству !', если существует биеиция множества Х иа '!'. Соотношение „Х разиомощно множеству !" мы будем обозначать через Ес((Х, !).
') Поскольку соотношение Ео (Х, Х) истинно для всякого Х, оно не является коллективиэирующвм по Х; в противном случае существовало бы множество всех объектов, что невозможно в силу замечания из гл. !1, 6 1, п'7. По этой же причине Еч(Х, у) не обладает графиком (ср. замечание из гл. П, $3, п'1).— Прим. ред. ') Рефлексивность соотношения ЕЧ(Х, У) в множестве А означает, согласно гл. И, 6 6, п'1, что соотношения ЕЧ (Х, Х) и Х 6 А эквивалентны. 1(о тогда соотношение ЕЧ(Х, Х) было бы коллективизирующим по Х, что, как отмечено в предыдущем подстрочном примечании, неверно.
Поэтому тверждение автора, что Еч (Х, 7) рефлексивно во всяком множестве, неверно. месте с тем верйо следующее утверждение: .для всякого множества А соотношение (ЕЧ(Х, у) и Х Р А и уй А) рефлексивно в А".— Прим. ред. г $ 3 РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 189 ГЛ. П|. УПОРЯДОЧЕННЪ|Е МНОЖЕСТВА 188 кардинальное число Сагб()И)) чг(Е|[()И), Е))1). 3) Обозначим через 2 кардинальное число Сагб([И, [И) )); это кардинальное число всякого двухэлементиого множества, элементы которого различны.
4) 'Гильбертово пространство счетного типа равномощно множеству действительных чисел., 2. Соотношение порядка между кардинальными наслама Соотношение „Х равномощно некоторой части множества 1'" эквивалентно „существует инъекция множества Х в г"', оно эквивавалентно также соотношению „Сагд(Х) равномощно некоторой части множества Сагб(1')" (гл.
П, 9 3. теорема 1). Теогемл 1. Соотношение П) х, «]: ,х' и « — кардинальные числа и х равномощно некоторой части множества «" — соотношение полного порядка (э" 2, п' 1). ') Разумеется, не следует смешивать математический терм, обозначенный (гл. 1, 8 1, п'1) символом „1', и слово .один обычного языка. Терм, обозначенный через,!', равен в силу определения, данного выше, термуь обозначенному символом т ((Эи)(В(!)(и=((», [9) 3) ()~[9) ХЕ и (|Ух) ((х8 [9»)~(ВУ) ((х, у) 8 ()) ) и (чх) (Чу) (1(у) (((х, у) 6() н (х, У ) 8()) ~(У = У ) ) и (|ЕУ) ( (У 6 3) ~(йх) ( (х, У) 8())) я (ч|х)(чгх')(|уу)(((х, у)Е(| и (х', у) Е()) Р(х=х')))), Грубая оценка показывает, что терм, обозначенный таким образом, является знакосочетаниеи из нескольких десятков тысяч знаков (каждый из которых есть один из знаков ъ [], 'У', ], =, Р, О). [В приведенном сокращенном обозначении соотношение, ваключенное в самые внешние скобки (г.
е. идущее после знака ч ), выражает существование биекции множества (И» на множество 2 (т. е. является соотношением Е|» ((9», 3). Именно на интуитивном уровне утверждается существование такого соответствия и с графиком (Г, которое и является искомой биекцией. После кванторов существования (Ви) и (Э0) записано соотношение, служащее формальной записью определения биенции [9) на 3, согласно гл.
П, 8 3, и 7. Это соотношенве состоит из соединенных союзом .и' шести соотношений, первое из которых означает, что и есть тройка ((), *[9», Е); второе — что () есть подмножество произведения второй и третьей координаты тройки и (тем самым и оказывается соответствием между (9» и Е); третье — что соответствие и определено для всех элементов множества (9); четвертое — что график соответствия и функционален; пятое — чтв функция и сюръективна; шестое — что функция и инъективна.
Это последнее, шестое, соотношение добавлено переводчиком; опо отсутствует во французском оригинале (может быть, потому, что всякая функция, определенная на (9), инъективна). Нам представляется, однако, что, поскольку свойства ниъективности участвует в определении биекцви, запись этого свойства должна присутствовать в соотношении Еп([9», 3). — 1)рим ред.] Так как [с ] д, х ) истинно для всякого кардинального числа у, все сводится к тому, чтобы доказать, что для любого множества Е кардинальных чисел соотношение АТЕЕ и «~Е и [(]Х, «]" является соотношением полного порядка в Е.
Рассмотрим множество А = О к; все всякое кардинальное число й ~ Е является, таким образом, частью множества А. На А существует соотношение полного порядка (9 2, теорема 1), обозначим его х ( у. Всякая часть множества А равномощна некоторому отрезку множества А (9 2, следствие 3 теоремы 3). Для произвольного кардинального числа х ~ Е рассмотрим множество отрезков множества А, равномощных множеству д'; это множество отрезков не пусто и имеет, следовательно, наименьший элемент о(х) (9 2, предложение 2). Соотношение „А'~Е и «~Е и х равномощно некоторой части множества «" эквивалентно соотношению д~Е и «~Е и э(3)=о(«)", В самом деле, оно, очевидно, следует из етого второго соотношения; с другой стороны, если Х равномощно некоторому подмножеству множества «, то не может быть о(«)~Т(Ю) и Т(«)чьт(Ю), ибо тогда существовал бы отрезок множества о(«), равномощный множеству Х (9 2, следствие 3 теоремы 3), что противоречит определению множества ю(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
