Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Вполне упорядоченные множестве л. Отрезки вполне упорядоченного множества Соотношение К»х, у» называется соотношением полного порядка между х и у, если К является соотношением порядка между х и у и если для всякого непустого множества Е, на котором )т» х, у» индуцирует соотношение порядка (т.
е. такого, что х ~ Е влечет 1(»х, х »; см. Ч 1, и' 1), Е, упорядоченное этим соотношением, имеет наименьший элемент. Множество Е, упорядоченное порядком Г, называется вполне упорядоченным, если соотношение у~Г(х) является соотношением полного порядка между х и у; в этом случае Г называется полным порядком на Е. Это определение равносильно следующему: Определение 1, Множество Е называется вполне упорядоченным, если оно является упорядоченным и если всякая непустая часть множества Е имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченное множество Е совершенно упорядочено, так как всякая часть (х, у] множества Е имеет наименьший элемент.
Всякое подмножество А множества Е, ограниченное сверху, имеет в Е верхнюю грань. Примеры. 1) Пусть Е=(а, Р) — множество, элементы которого различны. Мгновенно проверяется, что часть ((а, а), (Р, р), (а, Р)] множества Е Х Е являетси графиком полного порвдка на Е. 2) Всякая часть вполне упорядоченного множества (в частности, пустая часть) вполне упорядочена индуцированным порядком. 3) 'Существование совершенно упорядоченных, но не вполне упорвдочеиных множеств эквивалентно аксиоме бесконечности (б 4, п' 4, следствие 1 предложения 3 и упражнение 3).
4) Если à — полный порядок на Е, то противоположный к Г порядок только тогда является полным порядком на Е, когда Š— конечное множество (й 4, упражнение 3)., 5) Пусть Š— вполне упорядоченное множество. Множество Еа, полученное присоединением к Е наябольшего элемента б (й 1, п' 7), вполне упорядоченно, так как для всякого непустого подмножества Н множества Е„не сводящегося к элементу б, наименьший элемент множества Н П Е является также наименьшим элементом множества Н. Замечание. 'Аксиома бесконечности позволяет доказать существование вполне упорядоченнмх множеств, не имеющих наибольшего элемента; таким является, например, множество )ч) натуральных целых чисел., Определение 2.
Пусть Š— упорядоченное множество. Часть Е множества Е называется отрезком множества Е, если соотношения х~ 8, у~Е и у ~х влекут уЕБ. Очевидно, всякое пересечение и всякое объединение отрезков множества Е также являются отрезками множества Е; если Š— отре- 173 $2. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА ГЛ. П1. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 172 зок множества Е, то всякий отрезок множества 8 является отрезком и для множества Е. Само множество Е и пустое множество являются отрезками множества Е.
ПРедлОжение 1. Всякий отрезок вполне упорядоченного множества Е, отличный от Е, является интервалом )» —, а(, где а ~Е. В самом деле, пусть 8 — отрезок множества Е, отличный от Е. Поскольку множество Š— 8 не пусто, оно имеет наименьший элемент а; в силу определения 2 соотношение х )~ а влечет х 1Е 8, ибо иначе мы имели бы а ~ 8, что неверно. Таким образом, Š— 8 есть интервал ( а, †ь (, а 8 — интервал ) » †, а (.
Для всякого элемента х совершенно упорядоченного множества Е обозначим через 8 отрезок )» —, х( и назовем его отрезком с концом х. Заметим, что если Е имеет наименьший элемент «, отрезок Зе является также полуоткрытым интервалом («, х(. Пусть Š— совершенно упорядоченное множество. Объединение А отрезков 8,, где х пробегает Е, есть Е, если Е не имеет наибольшего элемента; если же Е имеет наибольший элемент д, то А = Š— [Ь), Пгедложение 2. Множество Е* отрезков вполне упорядоченного множесльва Е вполне упорядочено включением; отображение х — ь8 есть изоморфизм вполне упорядоченного множества Е на множество отрезков множества Е, отличных от Е. Ясно, что если х~Е и у~В, соотношение х (у влечет 8„1=8„, а соотношение х ( у влечет 8 чь 8„. Отображение х-ь8„является, таким образом, изоморфизмом множества Е на множество 8(Е) отрезков множества Е, отличных от Е (Э 1, приложение 13), и, следовательно, 8(Е) вполне упорядочено.
Кроме того, Е* нзоморфно вполне упорядоченному множеству, полученному из 8(Е) добавлением наибольшего элемента. ПРедложение 3. Пусть (Х,),, — семейство вполне упорядоченных множеств, такое, что для каждой пары индексов (1, х) одно из множеств Х„Х„является отрезком другого. Тогда сущесавует и единствен порядок на множестве Е = Ц ХР ~61 индуцирующий на каждом из множеств Х, данный порядок.
Множество Е, упорядоченное этим порядком, вполне упорядоченно, Всякий отрезок множества Х, является отрезком множества Е. Для всякого х ~ Х, отрезок множества Х, с концом х равен отрезку множества Е с концом х. Всякий отрезок множества Е либо совладает с Е, либо является отрезком одного из Х„ Первое утверждение вытекает из следующей общей леммь1. Лемма 1. Пусть (Х,) А — семейство упорядоченных множеств, фильтрующееся вправо по отношению ~ (иначе говоря, такое семейство, что для всякой пары индексов (а.
р) существует индекс Т, такой, что Х„с=ХТ и Хв~Х,). Предположим, чта для всякой пары индексов (а, р), такой, чао Х„с=Х, порядок, индуцированный на Х, порядком, заданным на Хв, совпадает с порядком, заданным на Х„. При этих условиях существует и единствен порядок на множестве Е ИХ„. индуцирующий на а«А каждом из множеств Х„данный порядо1с. В самом деле, пусть О„ — график порядка, данного на Х„. Если Π— график порядка на Е, индуцируюшего на каждом из Х, йорядок графика С,, то необходимо О,с=С для каждого а~ А; таким образом, С содержит объединение Ц С„, С другой стороны, для всякой «ЕА пары (х, у) элементов из Е по предположению существует такой иядекс а~А, что х~Х„И уЕХ,; если (х.
у)ЕС. то необходимо (х, у)ЕС„, откуда С~ЦС„. Таким образом, если искомый поря- ««А док на Е существует, то для его графика С необходимо С= Ц С,. а ел Остается показать, что это множество удовлетворяет требуемым условиям. Так как СгП(Х„)(Х„)=С„, когда Х„~Хв, то С П(Х,)а,'Х„)=С„ для всякого а~А.
С другой стороны, из предположений вытекает, что три произвольных элемента х, у, г множества Е принадлежат к некоторому Х,. Из этого сразу же заключаем, что (х, у)~С— требуемое соотношение порядка на Е. Доказав лемму, покажем, что при предположениях предложения 3 каждое Х, является отрезком множества Е. В самом деле, если х~Х,, у~В и у (х, то существует индекс я, такой, что Х,с"Х„ и у~Х„; так как по предположению Х, есть отрезок множества Х„, имеем у~Хи откуда н следует наше утверждение. Аналогичное рассуждение доказывает, что для всякого х~Х, отрезок множества Х, с концом х совпадает с интервалом )» —.
х( в Е. Докажем далее, что Е вполне упорядочено. Если Н вЂ” непустая часть множества Е, существует индекс 1~1, такой, что НПХ,чь 8; если а — наименьший элемент множества НПХ, в Хс то а является также наименьшим элементом множества Н в Е; в самом деле, для всякого х~Н Существует я~!, такой, что Х 1=Х„и х~Х„; не может быть х( а, так как интервал )» —, а( содержится в Х,; следовательно, поскольку Х„ совершенно упорядоченно, х а. 2 $2. ВпОлне упОРядОченные множестВА !75 114 ГЛ.
П2, УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Остается, наконец, доказать, что любой отрезок множества Е, отличный от Е, является отрезком одного из Хд это тотчас же вытекает из предыдущего, так как такой отрезок имеет вид ):— , х( (предложение 1), а х принадлежит некоторому Хг 2. Принцип трансййинилчной индукциа Лемма 2. Пусть Š— вполне упорядоченное множества, (ю — множество отрезков множества Е, обладающее следующими свойствами: 1' любое объединение отрезков, принадлежащих к Ф, также принадлежит к чо; 2' если 8 ~Ф, то 8, () )х) ~Ф. Тогда любой отрезок множества Е принадлежит к Ж. В самом деле, предположим, что имеются отрезки множества Е, не принадлежащие к Ф, и пусть 8 — наименьший из ннх (предложение 2).
Если Б не имеет наибольшего элемента, 8 есть объединение отрезков множества 8, отличных от 5; эти отрезки, по определению отрезка 5, принадлежат к Ф, а тогда 5 ~Ж вЂ” противоречие. Если же 8 имеет наибольший элемент а, то 8 =8 () )а); так как 5, — отрезок множества 8. отличный от 8, то 8 ~ (ю; ио тогда и 8 ~ 4Р— противоречие. Для большего удобства мы переместимся в теорию, в которой Š— множество, вполне упорядоченное соотношением, обозначенным через х < у.
Тогда имеют место следующие критерии: С59 (принцип трансфинитной индукции). Пусть К)х) — таков соотношение теории !7 (в которой х не является константой), что соотношение (х ~ Е и (!бу) ( (у ~ Е и у < х) 4ь К ) у ) ) ) => К ) х 3 является в теории !Т теоремой. При этих условиях соотношение (хЕЕ)=)ьК) х) является теоремой теории !Т. В самом деле, пусть Ф вЂ” множество отрезков 5 множества Е, таких, что у~8=)ьК)у). Ясно, что любое объединение отрезков, принадлежащих к Ф, принадлежит к Ф. С другой стороны, если 8 ~ Ж, то — по предположению критерия — К) х ); таким образом, согласно методу разделения олучаев, (у~Б () )х))42К)у). Тогда (лемма 2) Е ~ Ж что и доказывает критерий.
В применениях критерия С59 соотношение х ~ Е и (2бу) ( (у Е Е и у < х) => К ) у ) ) называется обычно „предположением индукции". Для всякого отображения д отрезка 5 множества Е в множество Р н для всякого х~ 5 через д1У! мы будем ниже обозначать отобра- жение отрезка 5„=)» —, х( множества Е на д(5 ), совпадающее в 5 с д'. В этих обозначениях: С60 (определение отображения трансфинитной индукцией). Пусть и — буква, Т)и) — терм теории д. Тогда существуют множество 1) и отображение г" множества Е на 13, такие, что для любого х ~ Е / ( х ) Т ) 7 ! ~ ! ) Кроме того, этими условиями множество () и отображение у" определены однозначно.
Докажем сначала единственность, Предположим, что у' и ()' также удовлетворяют условиям критерия. Пусть !ю — множество таких отрезков 8 множества Е, что у и Г' совпадают на 8. Ясно, что любое объединение отрезков, принадлежащих к Ф, принадлежит к Ф. С другой стороны, если 8 ЕЖ г" н ~"' совпадают на 8, таким образом, у! 1= у~! и, следовательно, у(х) =Т)у< 1) =Т)уд !1 —— =/'(х), откуда 8 0 )х) ~Ф. Из этого вытекает, что ЕФ (лемма 2) и, значит, Г" = у' и О' = у' (Е) = у (Е) = (), Обозначим теперь через Ф! множество отрезков 5 множества Е, для которых существуют множество () и отображение У множества Б на ()з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
