Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Примеры. '1) Множество целых чисел - 1, упорядоченное соотношением,т есть делитель для и" между и и п, является сетчатым множеством. Верхняя (соответственно нижняя) грань множества [т, и) есть ие что иное, как н. о. к. (соответственно н, о. д.) чисел т и и (,Алгебра', гл. у'11, 8 1), 2) Множество подгрупп любой группы О, упорядоченное включением, является сетчатым множеством („ Алгебра", гл. 1, 6 6).
3) Множество топологии на любом множестве А, упорядоченное соотношением „топология т' мажорируется топологией 7"" между д и,Т', является сетчатым множеством (.Общая топология", гл. 1, 6 2). 4) Множество Ю (1, К) числовых функций, определенных в интервале 1 множества й, является сетчатым для соотнош ния порядка у ( й (и' 4), для которого оно нзоморфно произведению й (сч, .Интегрироваиие", гл. В)., Замечание. Сетчатое упорядоченное множество является, очевидно, фильтрующимся влево н вправо.
Но множество, фильтрующееся влево н вправо, ие обязательно является сетчатым, 'как показывает пример иизжества отображений х-ь р(х) множества м в себя, где р — много- член из м[Х[, если это множество упорядочено соотношением р (»7 (и' 4)., г4. Совершенно упорядоченные множества Определение 9. Говорят, что диа элемента х, у упорядо- ченного множества Е сраенимы, если справедливо соотношение „х (у или у ( х". Говорят, что множество Е совершенно упорядочено, если оно упорядочено и любые диа его элемента сравнимы. Тогда гоеорят, чао порядок на Е есть соиершенный порядок и что соответствующее соотношение порядка есть соотношение совершенного порядка Б).
') Относительно терминологии см. также подстрочное примечание е) к п' 8 9 6 сводки результатов (стр. 387). — Прим. ред. ') Относительно терминологии см. также подстрочное примечание к п' 4 6 6 сводки результатов (стр. 385). — Прим. ред. Если х и у — элементы совершенно упорядоченного множества Е. то х=у, или х(у, или х) у; отрицание для х (у есть тогда х ) у. Для того чтобы порядок на Е был совершенным порядком, необходимо и достаточно, чтобы его график О, кроме соотношений О а О = Π— 1 -1 и О ПО = а, удовлетворял также соотношению О[)О = Е )( Е.
Примеры. 1) Всякая часть совершенно упорядоченного множества сове2ошенно упорядочена индуцированиым порядком. ) Пусть Š— произвольное упорядоченное множество. Пустая часть множества Е совершенно упорядочена, так же как и всякая одноэлеменгная часть. 3 4 ) 'Множество 1(действительных чисел совершенно упорялочено,. ) Если А — множество, содержащее хотя бы два различных элемента, го множество »э»(А), упоридочениое включением, ие является совершенно упорядоченным, ибо при х ЧЬ у части [х) и (у) несравнимы. Совершенно упорядоченное множество совершенно упорядочено также и для противоположного порядка; оно является сетчатым и тем более является фильтрующимся вправо и влево.
Предложение 13. Всякое строго монотонное отображение Г соиершенно упорядоченного множества Е з упорядоченное множество г иньектиено; если 7" — строго возрастающее отображение, то )' есть изоморфизм множества Е на Г(Е). В самом деле. х Фу влечет х (у или х ) у, а следовательно, и /(х) "7'(у) или Г(х) ) 7(у), так что в любом случае у'(х) ~у'(у). Остается показать, что если à — строго возрастающее отображение, то Г(х) ( г" (у) влечет х ( у; но в противном случае было бы х ) у, откуда у (х) ) у (у).
Предложение 14. Пусть Š— соиершенно упорядоченное л»ножесаио, а Х вЂ” часть множества Е. Для того чтобы элемент дс ~~Е был верхней гранью для Х а Е, необходимо и достаточно, чтобы: 1'д был мажорантой для Х; 2' для всякого с ~Е, такого, что с ( д, существовал такой х Е Х, что с ( х ( д. В самом деле, второе условие выражает то обстоятельство, что ни один элемент с(д не является мажорантой для Х, т. е. что Ь есть минимальный элемент множества М мажорант для Х; но это значит, что д есть наименьший элемент в М, поскольку М совершенно упорядочено (предложение 9).
Уб. Интервалы Пусть Š— упорядоченное множество, а и д — такие два элемента из Е, что а.~д. Замкнутым интериалом с началом а и конном д называется и через (а, д) обозначается часть множества Е. образованная такими элементами х, что а ( х ( М полуоткрытым справа (соответственно слева) интервалом с началом а и концом д называется и через (а, д( (соответственно через )а, д)) 11 Н. Бурбаки ГД. Н!.
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 162 У пр. Упр. Ь! СООТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 163 11п обозначается множество таких к~Е, что а (х ( Ь (соответственно а ( х (Ь); открытым интервалом с началом а и концом Ь называется и через )а, Ь( обозначается множество таких х ~ Е, что а ( х ( Ь.
Заметим, что замкнутый интервал никогда не пуст; интервал (а, а) есть множество, состоящее из единственного элемента а. Напротив, интервалы (а, а(, )а, а) и )а, а( пусты; открытый интервал )а, Ь( может быть пустым даже при а < Ь. Пусть а — элемент из Е. Множество таких х~Е, что х (а (соответственно х ( а), называется безграничным слева замкнутым (соответственно открытым) интервалом с концом а н обозначается через ) « —, а) (соответственно ) «-, а(); множество таких х ~ Е, что х )~ а (соответственно х ) а), называется безграничнмм справа замкнутым (соответственно открмтмм) интервалом с началом а и обозначается через (а, — ь( (соответственно ) а, — ь().
Наконец, само множество Е называется безграничным с обеих сторон (илн з обоих направлениях) открытым интервапгом и обозначается через )«-, — ь(, Предложение 15. Е сетчатом множестве пересечение двух интервалов есть интервал. Рассмотрим, например, пересечение двух замкнутых интервалов (а, Ь) и (с, б) и положим а = зпр(а, с). р = !и!(Ь, б). Если одновременно имеет место а (х (Ь и с (х (б, то отсюда вытекает а (х (р, и обратно; если а.((З не имеет места, то пересечение интервалов (а, Ь) и (с, б) пусто; если а (!3, то это пересечение есть (а, (г). Мы предоставляем читателю труд провести доказательство в остальных случаях.
Упражнения 1) Пусть Š— упорядоченное множество, в котором существует хотя бы одна пара различных сравнимых элементов. Показать, что соотношение „хйЕ и хйЕ и х< у", обозначаемое через Е!х, у), удовлетворяет первым двум условиям нз п' 1, но не третьему. 2) а) Пусть Š— упорядоченное множество, 3) х, у ! — соотношение эквивалентности в Е. Обозначим через (1 1Х, У! соотношение „Х ЕЕ/3 и ТЕЕг3 и, каково бы ни было хЕХ, существует такое уеду, что х ( у'.
Для того чтобы й! Х, у( было соотношением порядка в Е!3, достаточно, чтобы 8!х, у) удовлетворяло следующему условию: соотношения х < у (г и х= — г(той 3) влекут х=у(той 8). Соотношение порядка й(Х, г') в Е!8 называется тогда факторсоотношением соотношения х ( у по 3, н фактормножество Е/8, наделенное этим соотношением порядка, называется (с допущением вольности речи; ср. гл. 1ТГ, 6 2, и' 6) упорядоченным фактормножегтпом множества Е по 3.
б) Пусть т — каноническое отображение иножества Е на Е/3. Показать, что если (1(Х, у! — соотношение порядка в Е/8, то всякое отображение У множества Е(8 в упорядоченное множество Р, что кпэ пвляэтся возрастающим, является возрастающим отображением множества Е/8 в Р.
Для того чтобы т было возрастающим, необходимо и достаточно, чтобы, кроме того, 8 удовлетворяло следующему условию: соотношения х< у и х=х'(той 8) влекут существование та- кого у', что у=у'(той 8) и х' < у', В этом случае мы говорим, что соотношение эквивалентности 3 является слабо совместимым (по х и у) с соотношением порядка х <!у. Всякое соотношение порядка 8, совместимое (по х) с соотношением порядка х ( у (гл. !1, 6 6, и' 3), тем более является слабо совместимым (по х и у) с этим соотношением.
в) Пусть Еь Е,— два упорядоченных множества. Показать, что если 8, — соотношение эквивалентности рг, г= рг, г' в Е,;( Е„то 3, слабо совместимо по г и г с произведением соотношений порядка— соотношением порядка г (г на Е, гл Е, (но, вообще говоря, несовместимо с этим соотношением ни по г, ни по г); кроме того, если й, — каноническое отображение мнэжества Е, гл Ег на (Е, лс Еп)г8ь а рг, = г, пт, — каноническое разложение отображения рг, по соотношению эквивалентности З„показатгь что У, — изоморфизм множества (Е, Х Ег)13, на Еь г) пусть у — возрастающее отображение множества Е в упорядоченное множество Р и 3 — соотношение эквивалентности г (х) = У(у) в Е.
Показать, что условие а) выполняется. Для того чтобы 8 было слабо совместимым с х ( у, необходимо и достаточно, чтобы соотношения х (у и у (х) =у(х') влекли существование такого у', что х'(У' и г«(у)=г«(у'). Пусть г =бпт — каноническое разложение отображения у; для того чтобы й было нзоморфизмом из ЕГ3 на у(Е), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось предыдущее условие и, кроме гого, чтобы соотношение г" (х) (У(у) влекло существование таких х', у', что у(х) = у(х'), у(у) = у(у') и х' (у'. 3) Пусть ! — упорядоченное множество, (Е,), — семейство непу- ' 'Е! стыл упорядоченных множеств с множеством индексов !.
а) Пусть Р— множество, являющееся суммой (гл. П, й 4, и' 6) семейства (Е,),~1 и для всякого хе Р пусть Л(х) есть такой индекс ~6 1, что хйЕА пусть С вЂ” график, образованный парами (х, у) 6 Р )( Р обладающйми следующим свойством: либо Л(х) < Л(у), либо 1(х) = Л(у) и х (у в Ел ! !. Наказать, что С есть график порядка на Р; множество Р, наделенное этим порядком, называется ординальной суммой семейства (Е,), ! и обозначается символом ~!~ Е„ Показать, что отно- 'Е! шенне эквивалентности, соответствующее разбиению (Е ), множе' 'Ег ства Р слабо совместимо с соотношением порядка на Р и что упорядоченное фактормножество (упр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
