Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для всякой пары (а, р) индексов из 1, таких, что а (р„ пусть 7е„есть отображение множества Е„э ЕЗ. Предположим, что эти 1а„аУдовлетвоРЯют следУюшемУ Условию: ((1) Соотношения а (р (Т влекут ~,„=утза~зы Пусть Р— множество, являющееся суммой семейства множеств (Е„), (гл. П, 5 4, и'8); допуская вольность речи, мы отождествим множества Е„с соответствующими частями множества Р, которые, если множества Е„не пусты, образуют разбиение множества Р. В связи с этим для каждого х~Р мы обозначим символом Л(х) такой индекс и ~1, для которого х~ Е„. Пусть 1() х, у) — следующее соотношение между двумя элементами х и у из Р: „существует такой элемент т~1, что 1)~«=Л(х), Т)~Д=Л(У) и 1"т„(х)=7 З(У); покажем, что Р— соотношение экэиаалеитности з Р.
Очевидно, что й симметрично и рефлексивно в Р; остается доказать, что оно транзитивно. Пусть х~Е„, у~Ез, я~Е,; предположим. что существУет такое Л~1, что Л)~и, Л)~ Р и 1г,(х)=1хг(У), и такое (АЕ1, что р)~~, р)~Т и У„г(у)=У„т(я). Так как 1 — фильтрующееся„ 152 ГЛ. П!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Н $ ! СООТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 153 то существует такое ч~1, что ч)~)! и ч)~р; тогда в силу (1.!) Уы(х) =У«х(у'!. (х) ) =у,тЦтз(у)) =~,г(у) = =У,„(г„з(у))=У,„(у„,(г)) =У„(г), что доказывает наше утверждение.
!ч(ы говорим, что фактормножество Е=Р/Я есть индуктивный предел семейства (Е,)„ч! для семейства отображений (уг,), и пишем Е=ВШ(Е„. уг,) или просто Е=1!ШЕ,, когда это не приводит к путанице, Допуская вольность речи, мы будем говорить также, что пара ((Е„), (уг„)) (обозначаемая также через (Е„, уг„)) есть индуктивная система множеств относительно множества индексов !. Ясно, что Е не пусто, если хотя бы одно из Е„не пусто. Обозначим через у„сужение на Е, канонического отображения У множества Р на Е=Р/К и будем говорить, что У„есть каноническое отображение множества Е, в Е. При а (р справедливо соотношение (3) в самом деле, для всякого х~Е, справедливо газ(/в,(х))=г'з„(х) ввиду (1.1); следовательно, элементы х ~ Е„и уг,(х) ~ ЕЗ эквивалейтны по модулю К, что доказывает (3).
Пгедложение 1О. Лля аслкого а~! пусть а„есть такое отображение множества Е„в множество Е', что соотношение и ( Р влечет А«З «гг„— — и„. При этих условиях: 1' существует и единственно такое отображение я множества Е=ПШЕ„а множество Е', что д'.=и«у„для всякого а~1; 2' для сюрьеитианости я необходимо и достаточно, чтобы Е' было обьедикением множеств и„(Е„); 3' для икьективности я необходимо и достаточно, чтобы для всякого и~! соотношения хП Е„, уЕЕ„, А«„(х)=я,(у) влекли существование такого р) а, для которого уг„(х)=уг„(у). 1' Пусть Ь вЂ” отображение множества Р в Е', совпадающее с д, в каждом Е„(гл. !1, й 4, предложение 8).
Из предположения вытекает, что А совместимо с соотношением эквивалентности 11 (гл, 1!. й 6, п' 5); следовательно, существует и единственно такое отображение я множества Е=Р/К в Е', что А = и«у (см. там же). 2' Так как Š— объединение множеств у'„(Е„), то соотношение Е' = Цд„(Е„), очевидно, является необходимым и достаточным для «с! сюръективиости я.
3' Если и инъектиВИО, Х~Е«, у~Е«и Д«(х)=К«(У) то./(х)= =у'(у); по определению соотношения К, су!цествует такое р ) а, что у „(х) = г „(у). Обратно, предположим, что сформулированное усло- вне выполнено, и докажем, что я инъективно. В самом деле, пусть х, у — такие два элемента множества Р, что й (у (х)) = и(у (у)), и пусть хЕЕ„, у~Ег', существует такое (~1, что Т~~а, 1)~~ и, следовательно, /(х) =у (ут,(х)) и у(у) =у (/тз(у) ). Если положить х'=у „(х), у'=у (у), то х' и у' будут принадлежать к Е и и„х' = э. (у'); по предположению, существует такое Ь )~ 1, что угт(х')=уг„(у'), или, иначе говоря, /" (х') = /(у'), а, следовательно, )г (х) = г (у).
Когда отображение л биеитиано, то иногда мы говорим, допуская вольность речи, что Е' есть индуктивный предел семейства (Е,). Замечание. Предположим, что каждое из отображений у„„иньективно; тогда каждое нз отображений у, иньектнвпо ввиду определения соотношения Е. В таком случае обычно отождествляют Е„и у, (Е„), рассматривая тем самым Е как объединение множеств Е„. Обратно, если множество Р есть объединение семейства (Р„)„ч! таких частей, что соотношение «(!р влечет Р„~ РР и если (для всякого «<Р) каноническая инъекция множества Р„в множество Рг обозначается символом /г„, то из предложения 10 вытекает, что Р можно отождествить с индуктивным пределом семейства (Р„) для семейства отображений (/г„), а канонические отображения множества Р, в!ив Є— с каноническими инъекциями множества Р„в Р.
Пример. Пусть А и  — два непустых множествз, (У„)„Е! — семейство частей множества А, у которого множество индексов 1 является фильтрующимся вправо н для которого справедливо, что соотношение «< Р влечет На ~Же Обозначим через Е„множество отобрзжений множества Ъ'„в В; для каждой пары индексов «, Р, такОй, что «( Р, пустая есть отображение множества Е„в ЕЗ, ставящее в соответствие каждой функции ибЕ„ее сужение уг„(и) на чгг. Непосредственно очевидно, что условие (1.1) выполнено; говорят, что множество Е = Пш Е„есть множество ростков отображений частей множества А в В, соответствующее семейству (!г„).' Чаще всего (Ч„) есть семейство окрестностей некоторой части топологического пространства А., Следствие 1. Пусть (А„, рт) и '(В„, фт) — двг индуктивные системы множеств относительно одного и того же множества индексов 1; пусть А=1!Ш(А„, рг,), В=1!Ш(В„, фг„), и для всякого а ~1 пусть О„(соответственно ф„) есть каноническое отображение множества А„а А (соотватственно множества В.
а В). Лля всякого а~1 пусть Е„есть отображение множества А, а В,, такое. что при и ' р диаграмма А„— «-ь В, !'г ч « А — В з к г! $ ь сООтнОшения пОРядкА УпОРядОченные множестВА 158 гл. Пь ьпогядоченные множества И является „коммутативной', т. в. имеет место д а р = ф а и . При этих условиях сугцвствует такое единственное отображение 3« ! А-«В, что для всякого и~1 диаграмма А„— '-а В„ Ф Ф А в«В .коммутативн а. Положим Ь„=ф„ай'„. При а ( р ввиду (3) пь !!ав — фг Аав Рв — фг фв Аа = ф а Аа Поэтому можно применить предложение 10 к отображениям И„, откуда следует существование и единственность такого отображения а ! А-«В, что аааф =Ь„=ф ои для всякого а~1. Мы говорим.
что сене))ство отображений д„! А„-« В„, удовлетворившее условиям следствия 1, есть индуктивная система отображений индуктивной системы (А„, рв,) в индуктивную систему (В„, фв„); отображение а, определенное в следствии 1, называется индуктивным пределом семейства (3«,), и, когда можно не опасаться путаницы, употребляется обозначение и =1!в а„. Следствие 2. Пусть (А,, рв,), (В„, фз„), (С„, 9В„) — три индуктивныв системы множеств относительно 1; пусть А = =1(в(А,, !аж), В =11в(В„, фт), С =1пп (С„, 9 „) и пусть р„(соответственно ф, 9„) есть каноническое отображение множества А, (соответственно В., С„) в А (соответственно В, С).
Если(и„): (А„, ф „).— « -«(В„, ф „) и (о,): (В„, фг„) — «(С„, 9В,) суть двв индуктивные системы отображений, то сдмвйство (о„аи„) суть индуктивная система отображений множества (А„, р~„) в (С„, 9Ы), и при этом 1!П! (Оа а иа) (1ПП Оа) о (1!П! и ). (4) В самом деле, если положить м!„= о„а и„, то при и ( р 9 „а в„= =(9тар ) «и„=(оваф )а и„=о„а(и арв )=лп арф, а это доказывает. что (в„) есть индуктивная система отображений. Кроме того, если положить и =11в и,, о =1пп о„, то для всякого а ~1 (оаи)аар =оа(ф ои)=9,а(о аи) н ввиду единственности индуктивного предела получаем о а и = Вв го„.
Пусть Л вЂ” конфинальная (па 7) часть множества 1; Л есть фильтрующееся вправо упорядоченное множество, ибо при а~Л. ~~Л сугцествует такое 7~1, что а(7 и р(7, и, кроме того, существует такое 3~Л, что 7 (3. Ясно, что когда а и р пробегают подмножество Л множества 1, то отображения У, (при а(р) удовлетворяют условию (1.1); обозначим через Е' индуктивный предел семейства (Е„) относительно этих отображений 7 „.
Определим биекцию (называемую канонической) множества Е' на Е (что позволит отождествить Е и Е'). Множество Е' есть фактормножество Г')К' суммы Г' семейства (Е„)„; Г' можно отождествить с объединением частей Е„множества Г(ацЛ), Обозначим через У каноническую инъекцию множества Г' в Г и для всякого а ~Л обозначим через а. каноническое отображение из Е„в Е.
Непосредственно очевидно, что пРи аЦ'Л, Р~Л и а (Р имеет место дга У„— — Аа„; предложение 10 показывает тогда, что существует отображение д множества Е' в Е, такое, что если обозначить через Л' каноническое отображение множества Г на Е', то бД'(х)) = Г(Л(х)) для всякого х ~ Г'. Предложение 10 .сразу же показывает, что д инъектнвно; для того чтобы доказать сюръективность я, заметим, что для всякого а~Л Аа„(Е„)= г'(Е„), Но для всякого рц1 существует такое 7~Л, что р ( 7, откуда ны заключаем, что Л (Е!)=>Л'(у,в(Е ) = г'(Е ); следовательно, Е действительно есть объединение множеств я„(Е„), где а пробегает Л. Предложение 11.
Пусть (А~', р)'„!)(1=1, 2) суть двв индуктивныв системы множеств относительно одного и того жв множества индексов 1. Пусть А!!!=!!в(А!", уф). Обозначим через р'„!! каноническое отображение множества А!!! в А1~!(1=1, 2). Положим А„= А! ! Х А! ', рв„— — фэ'! Х ~1„1; семейство (А,, ов„) является тогда индуктивной системой множеств. Пусть А =1пп(Л„, ау~„) и пусть ф„— каноническое отображение множества А„в А. Иаконвц, пусть В = Л!'! Х А ! и ф„=р'„'~ Х р~ 1; тогда суиьвствувт и единственная биекция Л' ! А — «В (называемая канонической), такая, что Г ар„=ф„для всякого а~1.
Иными словами, у позволяет отождествить произведение В индуктивных пределов А!'1, А"! с индуктивным пределом А произведений А„ Нетрудно видеть, что условие (Е1) выполнено для асв„, кроме того, для а ( р справедливо фв а рв„— — ф„. Согласно предложению 10, существует поэтому такое единственное отображение у ! А -«В, что г'ар =ф„для всякого а~1. Покажем, что у биективно.
Для этого ОнрсдЕЛИМ таКОЕ ОтабражЕНИЕ а ! В-«А, ЧтОбЫ яа Г бЫЛО таждЕ- ственным отображением множества А и Л'ая — тождественным отображением множества В (гл. 11, 3 3, следствие предложения 8). п $ !. СООТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА. УПОРЯДОЧЕННЫВ МНОЖЕСТВА 157 ГЛ. П!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА <э Пусть х=(х<'1, х<з!)~В; так как 1 — фильтрующееся множество, то существует такое а~! и такие х<1~ А<, что Р„(х~ !)=х< для 1=1, 2. Пусть х„=(к<<1=(х<п, х<э!)~А„), Тогда образ ю (х)~А зависит лишь от элемента х, но ие от выбора элементов х<'!. В самом деле, пусть ~~! и хз'!пАА'! таковы, что р~!(х)г!)=х<!(1=1, 2). В 1 существуют такие <<, 5, что Т! ) а, Т, ) р и р<<! (х)г!) = о Р<г>(х<'!)(1=1, 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
