Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Кроме того, К~х, у~ влечет К)х, х~ и К)у, у~, откуда следует, что К'1Х, У1 влечет каждое из соотношений Х ~ Е/Б и (7 х) ( (х ~ Х) =)ь К ~ х, х1), У ЕЕ/Б и (!!/у)((у ЕУ)ФК(у, у$); следовательно, К'1Х, У$ влечет (К'1Х, Х$ и К'1У, У1). Наконец, так как х~Е влечет К(х, х1, то ХЕЕ/Б влечет К'1Х, Х1, что ГЛ. Н1.
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА в 4 1. соотношения погядкл, Упогядоченные множествл 141 завершает доказательство нашего утверждения. Мы говорим, что К'!Х, 11 есть соотношение порядка, ассоциированное с К!х, у1. Предпорядком на множестве Е называется такое соответствие Г=(0, Е, Е) с областью отправления Е и областью прибытия Е, что (х, у) ~ О есть соотношение предпорядка в Е; допуская вольность речи, мы говорим иногда, что график С соответствия Г есть пред- порядок на Е. Для того чтобы график С был предпорядком на Е, необходимо и достаточно, чтобы Ье~О и С в С~С (откуда следует О в С = 0). Соотношение эквивалентности 8, соответствующее соотношению предпорядка (х, у) ~ О, имеет тогда в качестве графика -1 0 П С; соотношение порядка, ассоциированное с соотношением (х, у)~0, имеет в качестве графина часть О' произведения (Е/Б) )с', )((Е/8), соответствующую (гл.
П, Э 6, п'8) образу графика С при каноническом отображении множества Е к',Е на (Е ХЕ)/(Б;к,'Б). Пример. ' Пусть А — кольцо с единицей. Соотношение (нг) (г б А и у= эх) между двумя злементамн х н у нз А есть соотношение пред- порядка в А; оно читается так:,х есть правый делитель для у' нли,у есть левое кратное для х' (см.,Алгебра", гл. 1, б 8 и гл. т/1, б 1), 3. Обозначения и терминология Определения. даваемые в дальнейшей части этого параграфа, применимы к любому соотношению порядка К!х, у$ между х и у, но в особенности будут использоваться в случае, когда К!х. у! обозначается через х ( у '(по аналогии с обычным соотношением порядка между целыми или действительными числами), (или через хе=у илн аналогичным знаком); поэтому мы сформулируем их лишь в обозначениях х ( у, предоставляя читателю распространить их на другие случаи.
Когда К!х, у1 обозначается через х (у, то считается, что у)~х есть синоним для х(у, и эти соотношения читаются такг „х мииорирует у" („х ез! 1п/ег/еиг й у") или,х меньше у" „х ез! р!ив реШ цце у") или „у превышает (мажорирует) х" ,у ез! вирвггеиг а х") или „у больше х" (,у ез! р1из егапб с!це х'), илн иногда „х меньше или равен у" („х ез! аи р1из еда1 й у"), или „у больше или равен х" („у ез! ан шо!Ез бяа! й х"), Тогда соотношение х)~у есть соотношение порядка (между х и у), противоположное х ( у. Допуская вольность речи, мы будем часто говорить о .соотношении < вместо .соотношения х(у'1 в атом случае .соотношение)* будет противоположным .соотношению ('.
Заметим также, что в одном и том же доказательстве чзсто будет использоваться один и тот же анак ( для обозначения нескольких разных соотношений порядка, если зто не приводит н путанице. Условия. при которых соотношение, обозначенное через х .( у.
будет соотношением порядка в множестве Е. записываются теперь в виде (КО,) Соотношение х (у и у (е" влечет х (е. '(КОн) Соотношение „х (у и у (х" влечет х=у. (КОш) Соотношение х (у влечет „х < х и у ( у". (К01У) Соотношение к~< х эквивалентно соотношению х~Е. Когда соотношение порядка обозначается через х (у, то пишут х( у (или у) х) для обозначения соотношения „х (у и х+у"; эти соотношения читаются так:,х строго минорирует у", или „х строго меньше у", или,у строго превышает (строго мажорирует) х", илн,у строго больше х". Пример соотношения включения показывает, что отрицание соотношения х (у (обозначаемое иногда через хну) отнюдь нв обязательно эквивалентно соотношению у < х (ср. и' 14).
С58, Пусть ( есть соотношение порядка, х и у — различные буквы. Соотношение х (у эквивалентно „х ( у или х = у". Каждое из соотношений „х (у и у ( е", „х (у и у(Е" влечет х< л. Первое утверждение вытекает из критерия А =~((А и (не В) ) или В) (гл. 1, 8 3, критерий С24). Для доказательства второго заметим сначала, что каждое из предположений влечет х (е ввиду транзитивности. С другой стороны, соотношение (х = е и х ( у и у (е) повлекло бы х=у=е, что противоречит нашему предположению.
Чтобы сделать изложение более удобным и заменить метаматематические критерии математическими теоремами, мы большей частью будем переме1цаться в некоторую теорию Т, содержащую аксиомы и схемы теории множеств и, кроме того. две константы Е и Г, удовлетворяющие аксиоме ,Г есть порядок на множестве Е" (п' 1). Мы будем обозначать через х (у соотношение у~Г(х) и будем говорить, что Е есть множество, упорядоченное порядком Г (или соотношением порядка у~Г(х)) (см.
гл. 1А/, э 1)'). Если Г является — в теории 17" — предпорядком на Е, то мы будем говорить также, что Е есть множество, предупорядоченное пред- порядком Г. В некоторых случаах (например, в нижеследующем определении) теории, в которые мы будем перемещаться, будут довольно сложными. Мы предоставляем читателю составлять явные списки констант и аксиом зтих теорий. ') По поводу этой терминологии см. подстрочное примечание к п' 1 5 б сводки результатов (стр.
384). †Пр. рвд. 6 $ !. сООтнОшениЯ пОРЯдкА. УпОРЯдОченные множестВА 143 ГЛ. П!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 142 Пусть Е, Е' — два множества. упорядоченных порядками Р и Р'. Озоморфизмом множества Е иа множество Е' (относительно порядков Р и Р') называется такое взаимно однозначное отображение !' множества Е на множество Е', что соотношения х (у и у'(х) (у(у) эквивалентны (ср. гл. П1, э 1). 4. Упорядоченные подмножес!пва.
Произведение упорядоченных множеств Пусть Š— множество, упорядоченное порядком Р, и пусть С вЂ” график порядка Р. Лля всякой части А множества Е пересечение СП(А ХА) есть порядок на А; соответствующее соотношение порядка эквивалентно соотношению „х ( у и х ~ А и у ~ А"; мы будем обозначать его также через х (у (допуская вольность речи). Порядок и соотношение порядка, так определенные на А, называются иидуцироеаиными порядком и соотношением порядка, заданными иа Е; мы говорим также, что порядок и соотношение порядка на Е суть продолжения порядка и соотношения порядка, индуцированных на А. Когда А рассматривается как упорядоченное множество, то, если не оговорено противное, речь идет именно о порядке, индуцированном на А порядком на Е. Примеры.
Соотношения, индуцироваиные соотношением включения Х ~ У иа разных множествах частей, очень важны. Приведем несколько примеров: 1) Пусть Е, Р— два множества, Ф (Е, Р) — множество отображений частей множества Е в множество Р; для всякой функции у Е Ф (Е, Р) пусть Оу есть график функции у; составляющий часть множества Е )с', Р.
Если наделить Ф(Е, Р) соотношением порядка „е продолжает между у' и е (л' 1, пример 3), то у -ь Оу есть изоморфизм упорядоченного множества Ф (Е, Р) на некоторое подмножество множества чь(Е)~Р), упорядоченное соотношением включения. 2) Для всякого разбиения и какого-нибудь множества Е пусть есть график эквивалентности, определенной через ь в Е.
Отображение и -ь а есть изоморфизм множества Р разбиений этого Е, упорядоченного соотношением .н мельче, чем н'", между и и и'(и' 1, пример 4), на некоторое подмножество множества Чя(Е )!', Р), упорядоченное соотношением включения. 3) Пусть Š— множество, й ~ й)(Е )( Е) — множество графиков предпорядков иа Е (л' 2)(или — допуская вольность речи — множество предпорядков иа Е).
Соотношение зс: ! между з и г, индуцироваиное на Л соотношением включения в 41(Е )!',Е), можно выразить словами: .предпорядок з мельче (тоньше), чем лредйорядок !" [или „! крупнее (грубее), чем з'). Обозначим через х(з)у и х(!)у соответственно соотношения предлорядка (х, у) Е з и (х, у) Е ! в Е; сказать .з мельче, чем Т*,— значит сказать, что соотношение х(з) у влечет х(С) у. Пусть (Е,) ! — семейство множеств, и для всякого 1~! пусть Р, есть порядок на Е„а С,1=.Е, 21', Е, — его график.
Запишем в виде х, (у, соотношение порядка (х„у,) Е С, на ЕР В произведении мно- жеств Р = И Е, соотношение (1б1)((1~1)=[ь(х, (у,)) есть соотношение порядка между х=(х,) и у=(у,), как нетрудно видеть. Порядок и соотношение порядка, так определенные на Р, называются произведением порядков Р, и произведением соотиошениа порядка х, < у,; это соотношение мы обозначаем (допуская вольность обозначений) через х ( у и говорим, что множество Р, упорядоченное произведением порядков Р„есть произведение упорядоченных множеств Е,.
Нетрудно видеть, что график порядка-произведения на множестве Р есть образ множества-произведения Д О, при каноническом отобра' Е1 женин множества йй (Е,КЕ,) на Р)с',Р (гл. 11, 5 5, п' 5). Т) Важный пример произведения упорядоченных множеств составляет множество Ре графиков отображений множества Е в упорядоченное множество Р; мы знаем, что существует каноническое отображение множества графиков Ре на множество,7 (Е, Р) отображений Е в Р; это отображение есть изоморфизм упорядоченного множества Ре на множество чУ" (Е, Р), наделенное порядком, определяемым следующим соотношением между двумя отображениями г, д множества Е в Рг „каково бы ни было х~Е, у(х) (д(х)" (это соотношение обозначается через у ( е). Следует заметить, что в упорядоченном множестве У'(Е, Р) соотношение у < е означает; .каково бы ии было х ЕЕ, у (х) < и(х), и существует такое у ЕЕ, что у (у) < е (у) но отнюдь ие означает, что 2 „каково бы ни было х Е Е, Т (х) < Е (х)*.
Чтобы не опасаться этого смешения, мы будем обычно избегать употребления обозначения у < е в этом случае. б. Возрастаюибие отображения Опгеделение 1. Пусть Е и Р— упорядоченные множества (и притом упорядоченные соотношениями, которые оба обозначаются через (). Мы говорим, что отображение у" множества Е е множество Р является возрастающим, если х <у влечет у (х) ()'(у); л1ы говорил, что отображение у" является убывающим, если соотношение х < у влечет у'(х) ~~~(у).
Отображение множества Е е множество Р называется монотонным, если оио возрастающие или убывающее. Возрастающее отображение множества Е в множество Р становится убывающим (и обратно), если один из порядков множества Е или 144 ГЛ. П!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА г $ е сООтнОшения пОРядкА. упОРядОченные мнОжестВА 145 множества Р заменить противоположным порядком. Всякая постоянная функция является одновременно возрастающей и убывающей; обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
