Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Показать, что й(х, у( есть соотношение порядка между х и у в Е. Если множества Е, совершенно упорядочены, показать, что связные компоненты множества Е относительно соотношении,х и у сравнимы" (гл. П, б 6, пр. 10) также являются совершенно упорядоченными множествами.
редположим, что наждое Е, имеет не меньше двух элементов; для того чтобы Е бмло совершейно упорядоченным, необходимо и достаточно, чтобы 1 было вполне упорядоченным и чтобы множества Е, были совершенно упорядоченными (использовать упр. 3); в этом случае Е является лексикографичесиим произведением множеств Е,. 12) а) Пусть 1з(Г, Г') есть соотношение „Г есть порядок (на Е) и Г' есть порядок (на Е'), и существует изоморфизм множества Е, упорядоченного порядном Г, на множество Е', упорядоченное порядком Г™. Показать, что соотношение Гз (Г, Г') есть соотношение эквивзлентности во всяком множестве, элементы которого являются порядками !).
Терм т (Гз(Г, А)) есть порядок, называемый порядковым шипом поряд»э Г и обозначаемый Огд(Г) или, допуская вольность обозначений, Огд(Е). Для того чтобы два упорядоченных множества были изо- ') В подлиннике Ейй — Прим, ред. !) Это неверно. Действительно, согласно определениям гл. ГЕ б б, п' 1, если !з(Г, Г') есть соотношение эквивалентности в множестве М, то справедливо соотношение Гз(Г, Г) уГб М и, следовательно, М есть множество всех порядков. Однако такого множества не существует: в противном случае множество объектов вида рг, Г для ГбМ было бы множеством всех множеств (см. гл. 11, б 1, п' 7, замечание). Фразу, н которой делается настоящее примечание, можно исправит!и например, заменив ее нз следующую: „Показать, что соотношение (Гз(Г, Г') и ГРМ и Г'ЕМ) является соотношением эививалентности во всяком множестве М, элементами которого служат порядни*.
— Прим. ред. морфны, необходимо и достаточно, чтобы их порядковые типы были равны. б) Пусть й(Л, Р! есть соотношение „Л есть порядновый тип и а есть порядковый тип и существует изоморфизм множества, упорядоченного порядковым типом Л, на некоторое подмножество множества, упорядоченного порядковым типом Р". Показать, что й (Л, РГ есть соотношение предпорядка между Л и Рч обозначим его Л(р. в) Пусть 1 — упорядоченное множество, (Л,),Е ! — семейство поряд- новых типов с множеством индексов 1.
Назовем ординальной суммой порядковых типов Л,(!Е!) и обозначим Л, порядковый тип ордвж! 'Е нальной суммы (ф 1, упр. 3) семейства множеств, упорядоченных порядиовыми типами Ле Если (Е,),~ ! — семейство упорядоченных множеств, то порядковый тип множества ~ Е, есть ~, Огд(Е,). Если 'Е! ~Г! 1 — ординальная сумма семейства множеств (3„)„бн, показать, что .'э' ~ 'э» л, = Д л,. г) Пусть 1 — вполне упорядоченное множество индексов; назовем ординальным произведением семейства (Л,),Е ! порядковых типов и обозначим Р Л, порядковый тип лексикографического произведения семей- Е! ства множеств, упорядоченных порядковыми типами Л,. Если (Е,), семейство упорядоченных множеств, то порядковый тип лексихографичесиого произведения этого семейства есть д Огй(Е,).
Если 1 есть е! ординальная сумма семейства вполне упорядоченных множеств (1„)„сд, где К вполне упорядочено, показать, что Р (Р Л,)=Р Ле ЕН 'Л Етч / ~Е! д) Обозначим Л+Р (соответственно РЛ ') ) ординальную сумму (соответственно ординальное произведение) семейства (4,), с 1, где д = (а, 3) — множество из двух различных элементов, упорядоченное соотношением с гРафином ((а, а), (а, 3), (3, 3)), и где 6„=л, 6з=Р. Показать, что если 1 — вполне упорядоченное множество порядкового тапа л, а (Р,), — семейство порядновых типов, таких, что Р,=Р для Е! любого ~ е 1, то ~ Р, = Рл. имеем (л+ У)+ч = л+(У.+ч), (лЯ) ч = 'Е! =л(У») и л(Р+ ч) = лР+л» (но, вообще говоря, л+Р ~ Р+л, ЛР ыЬ иЛ, (Л+Р) ч ~ Лч+ Рч).
е) Пусть (Л),а ! и (Р,),а ! — два семейства порядковых типов с одним и тем же упорядоченным множеством индеисов 1. Показать, что если Л, ( Р, для асиного ! Е 1, то ~ Л, ( ~ч ', Р., и (если 1 вполне упорядо- ~Е! ~Е! ченно) Р Л, ( Р !Н, Если д — подмножество множества 1, похавать„ ! !Г! ') Вместо Рл будет также употреблятьси запись Р.
л (во французском оригинале Р . Л; ср. подстрочное примечание к гл. 1П, б 3, п' 3, стр. 192).— Прим. ред. ГГЬ Н1. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Упр. 184 4 з. вполне упорядоченные множества 185 Упр, 3« что У', Л, ( ~~э' Л, и (если ! вполне упорядочено и порядковые типы Л, 'с! н пус ) РЛ,(РЛ« ~И Е1 ж) Обозначим через Л' порядковый тнп множества, упорядоченного порядком, противоположным порядку Л; имеем (Л )* = Л, (~~'„, Л,)*= ~~~д Л„ (~Р1 l 'Е!" где 1' обозначает множество 1, наделенное порядком, противоположным порядку, заданному первоначально на !.
1! 13) назовем ординальным числом порядковый тип вполне упорядоченного множества (упр. 12). а) Показать, что если(ЛЬЕ! — семейство ординальных чисел с вполне упорядоченным 1, то ордянальная сумма ~Ч~, Л, есть ординальное число; Е ! 'если, кроме того, 1 конечно, ординальное произведение Р Л,— также 1 ординальиое число (упр. 10)., Обозначим (допуская вольность речи, ср.
й 3) порядковый тип пустого множества через О, порядковый тип множества нз одного элемента через 1; показать, что а+О =О+а=а и а 1 = 1 а = а для любого ординальйого числа а. б) Показать, что соотношение .Л вЂ” ординальное число и р. — ординальное число и Л(Р" есть соотношение полно~о порядка; обозначим ЕГО Л <Р (ЗаМЕтнтЬ, ЧтО ЕСЛИ Л И !ь — ОрдниаЛЬНЫЕ ЧИСЛа, тО СООтНО- шение Л(Р эквиваяентно соотношению „Л равно порядковому типу некоторого сегмента ординального числа р' (следствие 3 теоремы 3); имея семейство (Л,),р ! ординальных чисел,' рассмотреть на 1 структуру вполне упорядоченного множества и перейти к ординальной сумме семейства множеств, упорядоченных ординальными числами Лд использовать, наконец, предложение 2).
в) Пусть а †ординальное чис; показать,чтосоотношение „6 †ордииальное число и $ ( а" является коллективизирующим по $ я что множество О, ордииальных чисел, строго меньших а, является вполне упорядочейным множеством, таким, что Огд(О,) = а. Ордииальное число а н множество О„часто отождествляются. г) показать, что для всякого семейства ординальных чисел (6,),б! существует н единственно ординальное число а, такое, что соотношение .Л вЂ” ординальиое число и дяя всякого ! б 1 8, ( Л' эквивалентно а < Л.
Допускаи вольность речи, будем говорить, что а — верхняя гРаНЬ СЕМЕЙСтВа ОРДИНаЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ($,),с 1, И ПОЛОЖИМ а= ЭаР С, (ЭтО 'с! наибольший элемент объединения множества (а) и множества ордииальных чисел 6,). Верхняя грань множества ординальных чисел $ < а есть а или ординальное число 8, такое, что а 8+1; в этом последнем случае 3 называют предшественником ординального числа а. 14) а) Пусть а и р — два ордииальных числа. Показать, что неоавенство а < 8 эквивалентно а+1 <3 и влечет !+а < !+р, «+с ( < 8+ Е «6( 'рс для всякого ординального числа $ и $а < бй, если 8 > О, о) Вывести из а), что не существует множества, элементом которого являлось бы всякое ординальное число (использовать упр.
13). в) Пусть а, 3, и — три ординальных чисяа. Показать, что каждое из соотношений Р+ а < Р+ 8, а+ и < 8+ Р влечет «< 8; то же самое дЛя КаждОГО ИЗ СООтНОШЕНИй ра < Рр, «Р < РР, ЕСЛИ р. > О. г) показать, что соотношение Р+«=Р+() влечет «= 8; то же самое для Ра = Рй, если и > О. д) Для того чтобы для двух ординальимх чисел а, 8 было а < 8, необходимо и достаточно, чтобы существовало ординальное число Е такое, что Р = а + Е Это ординальное число единственно и б( (1; обозначим его ( — а)+ 8. е) Пусть а, 8, с — три ординальных числа, такие, что с < «8.
Показать, что существуют два ординальных числа $, ч, такие, что б = ач+ 8 и 6 < а, ч < 8 (см. следствие 3 теоремы 3). Кроме того, этими условиями ординальные числа ! и Ч определены однозначно. '(! 15) Ординальное число р > О называется неразложимым, если не существует такой пары ординальных чисел Е т, что $ < р, ч < р и б+ч=р а) Чтобы р было неразложимым, необходимо и достаточно, чтобы для всякого ординального числа Е такого, что 6 < р, было с+р= р. б) Показать, что если р > 1 — неразложимое ординальиое число н а > Π— ординальное число, то «р неразложимо, н обратно (использовать упр.
14е). в) Если р неразложимо и О < а < р, показать, что р = «Е где 6 — некоторое неразложимое ординальное число (использовать упр. 14а). г) Пусть а > Π— ординаяьное число; показать, что среди неразложимых ординальных чисел < а существует йаибольшее неразложимое ординальное число (рассмотреть разложения а= р+6, где р неразложимо). д) Если Š— какое-нибудь множество неразложимых ординальных чисел, вывести из г), что верхняя грань множества Е (упр.
13г))— иеразложимое ординальное число. 1! 16) Пусть дано ордииальное число а,; терм у(6) называется ординальныхе функциональным символом (по !), определенным для ! > а,, если соотношение ! — ординальиое число и $:~ а," влечет соотношение,у (!) — ордииальйое число"; символ у ($) называется норлеальныы, если соотношение а,($ < Ч влечет у (6) < у (ч) и для всякого семейства (й),р! ординальных чисел )~ «, имеем зару(Е) = уузир$) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
