Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 47
Текст из файла (страница 47)
коннчнын множвствл 197 Гл. н!. Рпорядоченныв множнствл ! нр. Слндствин 2. Если в, а', Ь, $' — кардинальные числа, такие, что в (а', $ ($' и а') О, то а' (в'ь. В самом деле, аь (в' в силу предложений 10 и 14 и а' (а' в силу предложения 10 и следствия ! предложения 14. Творвмл 2 (Кантор). Для всякого кардинального числа а 2 )в. В самом деле. Сагб(ф(а) ) = 2* (предложение 12). Отображение х — ь(х) (х~ а) есть инъекция множества а в ф(в); значит, в (2'. Достаточно показать, что в -'- 2", т.
е. что для всякого отображения у' множества а в ф(а) образ у (а) отличен от ф(а). Но пусть Х вЂ” множество элементов х Е а, таких, что х(Е с (х); если х~Х, то хну(х), откуда у(х) Ф Х; если хна — Х, то х~((х) и хГЕХ, вначит, у(х)~Х. Это доказывает, что Хну(а), откуда и следует теорема. Слндствив. Не сус«естзует множества, элементом которого было бы лкбое кардинальное число. Если бы О было таким множеством, существовало бы множество 8 — сумма семейства множеств (Х)хс„и всякое кардинальное число было бы равномощно некоторой части множества Б.
Пусть. в частности, 4 = Сагб (8); так как 2' — кардинальное число, то 2" ( 6 — противоречие. Упражнения ~( 1) Пусть Е н Р— два множества, У вЂ” инъекция множества Е в Р, б — инъекция множества Р в Е. Показать, что существу!от две части А, В множества Е и две части А', В' множества Р, такие, что В = Š— А, В' = Р— А', А' = У (А) и В = е (В'). (Пусть 1( = Š— е' (Р) и Д =б'У;взять за А пересечение частей М множества Е, таких, что м~щл('м).) 2) Если Е и Р— различные множества, показать, что Е" ~ РЯ. Вывести из этого, что если Е и Р суть кардинальные числз 2 и 4 =2+2, то по крайней мере одно из множеств ЕР, Р не есть нардииальное число.
1! 3) Пусть (а ),гг, (й,),р! †д семейства нардинальиых чисел, такие, что й, > 2 для всякого ! Е !. а) Поназать, что если а, < й, длн всякого ~Е 1, то б) Показать, что если а, < й, для всякого г Е 1, то ~' а, <]~» й,.
(Заметить, что произведение П Е, не может быть объединением ~ет семейства (А,),йс, такого, что Сагб(А,) < Сагд(Е,) длЯ всЯкого !Е1, ввиду того, что Сагд(рг,(А,)) < Сагб(Е,).) 4) Пусть Š— множество, у — отображение множества Ч) (Е) — (И) в Е, такое, что для всяного подмножества Х + И множества Е вмполняется У(Х) Е Х. а) Пусть й — кардинальное число < Сагб (Е), и пусть А — множество элементов хЕЕ, таких, что Сагб(у(х)) <й. Показать, что если а = Сагй (А), то 2" < 1+ай (заметить, что если Х г: А и у чь И. то у (у) Е А).
б) Пусть  — множество элементов х ЕЕ, таких, что для всякой части Х ф И множества Е, принадлежащей к у (х), выполняетса Сагд(Х) <й. Показать, что Сагд(В) < й. 5) Пусть (Л,),ч! — семейство порядковых типов (5 2, упр. 12), а 1 — упорядоченное множество. Показать, что Сзгб(~~' Л,) = Ч ', Сагд(Л,) 1 е! 1 е! и (если 1 — вполне упорядоченно) Сагб Я» Л,'1 = Я» Сагб (Л,). 14! l 6) Показать, что для всякого множества Е существует Хг=Е, такое, что Х 4 Е (использовать теорему 2). ф 4.
Натуральные целые числа. Конечные множества У. Определенае цельсх чисел Опввдвлниие 1. Говорят, что кардинальное цисло а конечно, если а чь а+-1; конечное кардинальное число называется также натуральным «злым числом (или просто целым числом, если можно не опасаться путаницы ')). Говорят, что множество Е конечно, если .Сагб (Е) есть конечное кардинальное число; э этом случае говорят, что Сагб(Е) есть число элементов множества Е. Говорят, что семейство (гл. 11, З 3, п'4) конечно, если его множество индексов конечно.
Когда мы будем говорить, что число объектов некоторого типа есть целое число т, мы будем иметь в виду, что эти объекты — элементы некоторого множества, число элементов которого есть т. Множество, число элементов которого есть т, называется также миожгстэом иэ т элементов ') Понятие „целого числа* будет позже обобщено в алгебре, где будут определены рациональные целые числа и алгебраические целые числа. ГЛ. Ц!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 198 а ь нАтУРАльные целые числА.
кОнечные множествл 199 ПРедложение 1. гуля того чтобы кардинальное число а было конечным, необходимо и достаточно, чтобы а+1 было конечным. Известно, в самом деле, что соотношения а = Ь и а+ 1 = Ь+ 1 между кардинальными числами а и Ь эквивалентны 6 3, предложение 8); значит, соотношения а ~ а+1 и а+1 Ф (а+!)+1 эквивалентны. Ясно, что 0 ~ 1; следовательно, 0 — целое число; отсюда получается, что 1 и 2 — целые числа. Кардинальные числа 2+ 1 н (2+1)+1 — целые числа, которые обозначают 3 и 4. 2, Неравенства между целыми маслами Предложение 2. Пусть и — целое число. Всякое кардинальное число а, такое, что а (и, 'есть целое число.
Если и ~ О, то существует и единственно целое число гп, такое, что п=т+1, причем соотношение а и эквивалентно соотношению а (т. Если а <и, то существует кардинальное число Ь, такое, что п=а-1-Ь (9 3, предложение 13). Тогда (а+1)+Ь=(а+Ь)+ +1=а+1 (9 3, следствие предложения 5), и так как и + и+ 1, то (а+!)+Ь+ а+Ь; следовательно, а+1 + а, что и означает, что а — целое число.
Если пФ О, то п)~1 5 3, и'2), а следовательно, существует елинственное кардинальное число т, такое, что п=т+1 (9 3, предложения 13 и 8); так как гп (и, т — целое число в силу предыдущего. Наконец, если целое число а таково, что а <и, то п=а+д с дФ 0 (9 3, предложение 13); так как д — целое число, д = с+ ! и и = т+! = (а+ с)+ 1. Из этого заключаем, что т=а-+с (9 3, предложение 8), откуда а (т (9 3, предложение 13). Обратно, если а<т, то также а (т-+ + 1 = и, и если бы было а =и =т+1, то получилось бы а >пг, что противоречит предположению. Следствие 1. Всякая часть конечного множества конечна.
Следствие 2. Если Х вЂ” часть конечного множества Е, отличная от Е, то Сагб(Х) < Сагй(Е). В самом деле. Х содержится в дополнении Х' некоторой части множества Е, сводящейся к единственному элементу; имеем Сагб (Х) ( ( Сап( (Х') и Сап1 (Е) = Сагд (Х')+ 1, следовательно (предложение 2), Саг41(Х') < Сап)(Е) и тем более Саго(Х) ( Сап((Е). Определение 1 показывает, что и обратно; если Š— такое множество, что Сагй(Х) < Сагд(Е) для всякой части Х ~ Е множества Е, то Е конечное. Следствие 3. Если Г' — отображение конечного множества Е в множество Р. то Г(Е) — конечная часть множества Р. В самом деле, Саго(у'(Е)) <,Сагд(Е) (9 3, предложение 3).
Следствие 4. Пусть Е и Р— два конечных множества, имеющих одинаковое число элементов, и у — отображение множества Е в Р. Тогда следующие свойства эквивалентны: а) Т вЂ” инзекция, б) у — сюрзекция, в) у — биекция. Достаточно доказать, что з) и б) эквивалентны. Если у' инъективно, то Саго (г (Е)) = Сагд (Е) = Сагг((Р), откуда у (Е) = Р (следствие 2).
Если у не инъективно, пусть х и х' — два элемента из Е, такие, что хФ х' и Г" (х)=у(х'). Тогда, положив Е'=Š— (х), имеем у(Е')=у(Е), откуда Сагг((Г" (Е)) (Сагб(Е') < Сагб(Е) в силу следствия 2. Но так как Сагб(Р) = Сагд(Е), то необходимо г (Е) Ф Р. В. Принцип индукции С61 (принцип индукции). Пусть К ~ и) — соотношение в теории,T (для которой и не является константой). Предположим, что соовгношение К~О~ и (чгп)((п — целое число и К(п1).='ьК)и+11) является теоремой теории 4Т. При этих условиях соотношение (!згп) ( (и — целое число) ='!э К ! п1) есть теорелга теории 4T, Рассуждая от противного, предположим, что соотношение (Зп)(п — целое число и (не К)п~)) истинно. Пусть а — такое целое число, что „не К(и(" (метод вспомогательной константы; см.
гл. 1, 9 3, п'3, и 9 4, п'1). Целые числа п, такие, что „и <а и (не К) п()", образуют непустое вполне упорядоченное множество (9 3, п'2, замечание), которое, следовательно, имеет наименьший элемент э. Если э = О, то „не К ~ 0 (", что противоречит предположению. Если э>О, то э=э'+-1, где э' — целое число, такое, что э' ( э (предложение 2). По определению числа э истинно К ~э'1, но тогда предположение влечет, что К)э ~ истинно, что противоречит определению числа э. Чтобы применить принцип индукции, необходимо, в частности, доказать соотношение (и — целое число и й !и!) ф й (и+1!. )(ля такого доказательства используют часто метод вспомогательной гипотезы (гл. 1, $ 3, и' 3), поэтому соотношение „и — целое число и й (п1' (илн даже К!и!) называется предположением индукции.
гл. ик гпогядочзнные множиствл Замечание. Часто под названием „принцип индукции" используют различные критерии, которые легко выводятся из критерия С61 и наиболее важные из которых мы укажем. 1) Пусть 8]п1 есть соотношение (чр)((п — целое число и р — целое число и р( п)=]ьК)р]), и предположим, что 81п] влечет К]п]. Тогда соотношение (Уп) ( (и — целое число) =»ь К ] и 1) истинно. В самом деле, соотношение 8101 истинно и по предположению 81п1 влечет К1п1; так как соотношение т ( п+ 1 эквивалентно т (и (предложение 2), соотношение 8] и+11 эквивалентно „81п] и К]п1"; следовательно, 81п] влечет 8]и+1]. Критерий С61 доказывает тогда, что соотношение (чп) ((п — целое число) =]ь8]п]) истинно н, поскольку 81е] влечет К»п], соотношение (чп) ((и — целое число)=]ьК]п]) истинно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
