Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть Š— упорядоченное множество. Следующие предложения эквивалентны: а) всякая кепустая часть множества Е имеет максимальный элемент; б) всякая возрастающая последовательность (х„) элементов множества Е стациоиариа. Покажем сначала, что а) влечет б); в самом деле, пусть Х вЂ” множество элементов последовательности (х„) и пусть хт — максимальный элемент множества Х; для п)~т по предположению х„.» ха, откуда по определению элемента хт х„= х .
Обратно, предположим, что существует непустая часть А множества Е, не имеющая максимального элемента; для всякого х~А пусть ҄— множество таких элементов у ~ А, что у > х. По предположению Тх + И для всякого х ~ А; следовательно, существует отображение г множества А в А, такое, что У(х) > х для всякого х ~ А (гл. П, $ 5, предложение 6); если а ~ А и последовательность (х„)„ и определена индукцией при помощи условий хе= а. х»~1 = Г(х»), то ясно, что эта последовательность возрастающая и нестационарная. Следствие 1. 1(ля того чтобы совершенно упорядочеииое множество Е было вполне упорядочеиимм, необходимо и достатвчио, чтобы всякая убывающая иоследовательиость элементов множества Е была стационарной. В самом деле, сказать, что Е вполне упорядоченное, это все равно, что сказать: всякое непустое подмножество множества Е обладает минимальным элементом (Э 1, предложение 9), и, значит, наше утверждение вытекает из предложения 6.
Следствие 2, Всякая возрастающая последовательность влемеитов конечного упорядочеииого множества Е стациоиариа. В самом деле, всякое конечное упорядоченное множество обладает максимальным элементом (э 4, следствие 2 предложения 3). упражнения 1) Чтобы множество Е было бесконечным, необходимо н достаточно, чтобы для всякого отображения У множества Е в Е существовала непустая часть Я множества Е, для которой 8 ~ Е и У(8) ~5. 2) Показать, что если а, Ь, е, Ь вЂ” такие четыре нардинальных числа, что а < е н Ъ < Ь, то а+ Ъ < е+ Ь и а$ < еЬ (ср. упр. 22). 3) Если Š— бесконечное множество, множество частей множества Е, равномощных множеству Е, равнонощно множеству ф(Е) (нспользовать предложение 3). ГЛ.
Ц!. УПОРЯЦОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Упр. Упр. $6. БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА 4) Если Š— бесконечное множество, то множество разбиений множества Й равномощно множеству Чз(Е) (всякому разбиению (Х,) ' '51 соотнести множество Ц(Х,2( Х,) в Е )(Е). 'Е) 5) Если Š— бесконечное множество, то множество перестановок множества Е рзвномощно множеству (эт(Е) (использовав предложение 3, показать, что для всякой части А миожества Е, дополнение к которой ие сводится к едикствеиному элементу, существует такая перестановка у множества Е, что А явлвется множеством элементов, инва иантиых относительно 7).
) Пусть Е и Р†д бесконечных множества, такие, что Сага (Р) ( Сагб (Е). Показать, что множество отображений множества Е нз Р, множество отображений множества Е в Р и множество отображений частей множества Е в Р равномощны множеству Чз(Е). 7) Пусть Е и Р— два бесконечных множества, такие, что Сагд(Е) < Сагд(Р). Показать, что множество частей множества Р, равномощиых множеству Е, и множество инъекций множества Е в Р равномощиы каждое множеству Ре отображений множества Е в Р (для каждого отображения у множества Е в Р рассмотреть инъекцию х-ь(х, У(х)) множества Е в Е )( Р). 8) Показать, что множество структур ') вполне упорядоченного множества (и там более множество порядков) на бесконечном множестве Е равиомощно множеству )эз(Е) (использовать упражнение 5).
9) Показать, что если в непустом вполне упорядоченном множестве Е всякий элемент х, отличный от наименьшего элемента множества Е, обладает предшественником (наибольшим элементом интервала ) <-,х ( ), то Е изоморфио либо множеству 5), либо некоторому интервалу (О, л) множества )т) (используя предложение б, заметить, что всякий отрезок + Е конечен, затем применить теорему 3 5 2). 1(10) Через е или еэ обозначают ординальное число Огб (5)) (б 2, упр. 13); таким образом, множество целых чисел есть вполне упорядоченное множество, изоморфное множеству ордииальиых чисел < е) для всякого целого числа л ордииальное число Огд ((О, л( ) обозначим (допуская вольность речи) снова через л.
а) Показать, что для всякого кардинального числа а соотношение Л вЂ” ординальное число и Сагй (5) < а' является коллективизирующим (использовать теорему 1(ермело). Обозначим через Ъ'(а) множество ординальиых чисел Е таких, что Сагд (6) < а. б) Для всякого ординальиого числа а > 0 во вполне упорядоченном множестВе О'(а) ординальных чисел ( а определим Траисфииитной иидукцией функцию у„при помощи следующих условий: у„(0) = е, = е, и для всякого Е такого, что 0 < $ (а, У„($) есть верхняя грань (б 2, упр. 1Зг)) множества таких ордииальных чисел Е что Сагд(ь) ( (Сагб(Уа(Е)) по кРайней меРе длЯ одного оРдикальиого числа и < Е Показать, что если 0(ч < 5(а, то Сагбу,(т)) < Сагду„($), и что если 6 <а (5, то у„(1) =уэ (5); положим е,=ум(а) и сйажем, что е„— начальное ордилальмое число индекса а; имеем еа )~а Положим ') О понятии,структура* См.
гл. 1Ч.— Прим. рад. н„= Сагб(е„) и скажем, что н„— алеФ индекса а; в частности, на —— = Сагб (5)). в) Показать, что для всякого бесконечного кардинального числа а верхняя грань Л множества ординальных чисел тм (а) есть некоторое начальное ординальиое число е, и что а = н, (рзссмотреть наименьшее из ординальных чисел ш таких, что еэ > Л); иначе говоря,е„ есть наименьшее ордииальное число Е такое, что Сагд(5) = в„.
Для всякого ординального числа а отображение 6-ь нс, определенное в О'(а), есть изоморфизм вполне упорядоченного множества О'(а) на вполне упоридочеииое множество иардинальных чисел ( н„; в частности, н„э, есть наименьшее из кардинальных чисел > в„. Показать, что если а не имеет предшественника, то для всякого строго возрастающего отображения $-ь а ординального числа 5 в а, для которого а = вира 1 2<э имеем ~~ н, =н„. 1<э 1 г) Вывести из в), что е. есть нормальный ординальный функцио- 1 иальный символ 5 2, упр.
16). 11 П) а) Показать, что ординальное число е является наименьшим ординальным числом > О, не имеющим предшественника, что е неразложимо (б 2, упр., !5) и что для всякого ординального числа а > 0 ординальиое число ае есть наименьшее неразложимое ординальное число > а (заметить, что ле = е для всякого целого числа л). Вывести из этого, что (а+1) е= ее для всякого а > О.
б) Вывести из а), что для того, чтобы ординальиое число было неразложимым, необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид еЭ (использовать упр. 17г) из й 2). )1 12) а) Показать, что для всякого ордииального числа а и всякого ординального числа 7 > 1 существуют две конечные последовательности ординальных чисел (л;) и (Рг) (1 ( 1 ( А), такие, чтоб «='1 У~+7 Рз+ ° .. +Т О < Рг < 1 ДЛЯ ВСЯМОГО 1 И Л, > Л)э, ДЛЯ 1 (1'(й — 1 (ИСПОЛЬЗОВатЬ упр 17г) 5 2 и упр 3 $4) Кроме того этими условиями последова тельности (л)) и (н)) определены однозначно.
В частности, существует и единственйа конечная убывающая последовательность (8))1<.<т, такая, что а=е '+е 2+ ... +е в з Обозначим через Т(а) наибольшее ординальное число е этого разложения. б) 2(ля всякого целого числа л пусть У(л) (л) — наибольшее число элементов в множестве ординальных чисел вида ".П)+'12)+ " + ")п) где (а;) „— последовательность из л какик-нибудь ординальных 11<1<а чисел, а а пробегает множество перестановок интервала (1, л).
Показать, что (1) У(л) = зир (52Э '+1)У(л — А). а <и-1 (Рассмотреть сначала случай, когда все е(а)) равны между собой, и показать, что тогда наибольшее возможное число различных ординальных чисел требуемого вида равно л; для этого использовать ГЛ. ПЬ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА $6.
БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА У«р, У «р. упр. 1За) б 2. Затем рассуждать иидукцией по числу ордииальных чисел аь для которых Т(а!) принимает наименьшее возможное значение в множестве чисел Т(а!) (! < у ( а). ) Вывести из (1), что для и > 21 у(а) = 811 (а — 3). в) Показать, что все п( ординальных чисел (ы+«(Ц) (и+«(2))... ... (ы+ а(а) ), где «пробегает множество перестановок интервала (1, и), различйы. 1( 13) а) Пусть в(с) — такой ординальиый функциональный символ, определенный для $ > аь, что соотношение а, ( $ < Р влечет в(Е) < в(Р). Показать, что если с> а,, то в(Е+ч) >~в(с)+ч для всякого ординального числа ч (рассуждать от поотивиого).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
