Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 57
Текст из файла (страница 57)
а) 1(ля того чтобы а было домииантиым, достаточно, чтобы для всякого кардинального числа ги < а было 2 < е, б) Определим индукцией последовательность (а„) кардинальных ап чисел следующим образом: п,=на, а„„, 2". Показать, что сумма Б последовательности (а„) есть доминантное кардинальное число; нь и Ь вЂ д наименьших доминантных кардинальных числа.
в) Показать, что Ь"' = нь = 2ь (заметить, что 2ь < Ьна)! вывести из етого, что Ь"' (2 ), хотя Ъ < 2 и н, < Б. ьь ь а)1 22) Кардинальное число иа называется иедостизмимым, если ординальное число ша является недостижимым (упр. 1бб) ); тогда ш„= а, если ш„чь шы Кардинальное число а называется сильно недостижимым, если оно является недостижимым и доминаитным (упр. 21). а) Обобщенная гипотеза континуума влечет, что всякое недости- жимое кардинальное число является сильно недостижимым.
б) Кардинальное число а тогда и только тогда сильно недости- жимо, когда для всякого семейства (а,) кардинальных чисел, такого, б! что Сагй (!) < а н а, < а для всякого ! б 1, выполнялось И и, < а. ~~ 1 в) )(ля того чтобы бесконечное кардинальное число а было сильно недостижимым, необходимо и достаточно, чтобы оно было доминзнт- иым (упр.
21) и удовлетворяло одному из следующих условий; а) для ' всякого кардинального числа Б, такого, что 0 < Б < а, выполняется а = а; 3) для всякого кардинального числа Б > 0 выполняется аз= а ° 2ь. (Использовать упр. 20 и 21.) !( 23) Пусть а — ординальное число >0; отображение У орди- нального числа а в себя называется сходящимся, если для всякого ОРдинальноФз числа 1, < а сУЩествУет оРдинальиое число Ра < а, такое, что соотношение Ра < $ < а влечет 1п < У ($) < а !). а) Пусть е — строго еозрастзющее отображение ординзлького числа (! в а, такое.
что Ч(зпр (1= зкр е(() для всякого Т < 0 и ~!<! ! с<! ') Если вполне упорядоченное множество О„ордииальных чисел (е наделено топологией $ (О„) (.Общая топология", гл. 1, В 1, увр. 3), зте условие может быть также записано тан: !ип У($) = а. (В оригинале б-ьа,! <« вместо „сходящееся' (сопчегкеп!е) напечатано .расходящееся" (б!чегйеп!е), что, по-видимому, является опечаткой. — Прим, перев.) 237 ГЛ. Нп УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Упр. 236 $6. БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА Упр. знр Т (() = и ').
Для того чтобы существовало такое расходящееся с<э отображение У числа а в себя, что У(1) < 1 для всякого Е для которого 0 ( $ < и, необходимо и достзточно, чтобы существовало такое же отображение числа р в себв. о) Вывести из а), что для существования расходящегося отображения у числа с««в себя, обладающего свойством: у($) < $ для О( <; $ < и„, необходимо и достаточно, чтобы финальный характер числа и, был равен иь (если и„— регулярное ординальиое число > сс„ определить индукцией строго возрастающую последовательность (Ч„) при помощи условий: ч, 1, чп+, — наименьшее ординальиое число Е такое, что для 1>~( у(1) ) чп).
в) Пусть «с — финальный характер числа и„(упр. 1б); показать, что если а ) 0 и У вЂ” такое отображение числа и, в себя, что У(Е) < 1 для всякого Е для которого 0 « , 'е„, то существует Л„такое, что множество решений уравнения у($)=1« имеет кардинальное число, равное и-. в 24) а) Пусть Я вЂ” такое множество частей множества Е, что для всякой части Абгз выполняется сагб(А)=сагб (ьр)=в>н,. Показать, что в Е существует часть Р, такая, что Сагб(Р) =а и никакое множество из $ ие содержится в Р. (Если а=и„, определить трансфииитиой индукцией два инъективиых отображенйя 1-ь у($), 1-ь л (,') числа и«в Е, такие, что множества Р= у(е«) и О = я(«с„) ие пересекаются, ио каждое из них пересекается с каждой частью А б 8.) б) Предположим, кроме того, что для всякого подмножества 1 множества Я, такого, что Сагб(Е) < а, дополнение в Е объединения ыножеств А ба имеет кардинальное число за; показать тогда, что в Е существует такая часть Р, что Сагб(Р)=п и для всякого А6 Г Сагб(Р ДА) < а (метод аналогичен).
с)( 25) а) Пусть Я вЂ” покрытие бесконечного множества Е; степенью разделения покрытия 5 назовем наименьшее кардинальное число с, такое, что с строго иреемшает кардинальные числа Сагб (ХПУ) для всякой пары различных множеств Хб аз и Тб ат. Если Сагб(Е) = и, Сагй Я) = Ь, показать, что Тс (а' (заметить, что часть множества Е, имеющая кардинальное число с, не может содержаться более чем в одном множестве из В). б) Пусть ь„— начальное ординальное число, Р— такое множество, что 2 ( 1« = Сагб(Я) < н„; пусть Š— множество отобрзжеиий отрезков числа и„отличных от и„, в Р; тогда Сагб(Е) (р"".
Для всякого отображения У числа и„в Р пусть Ку — часть множества Е, образованная сужениями отображения У на отрезки числа ею отличные от и„. Показать, что множество $ частей Ку есть тзкое покрытие множества Е, и что Сагб($) = р, и степень разделения его равна и„.
в) Пусть Š— бесконечное множество с кардинальным числом а и пусть с и р — два таких кардинальных числа ) 1, что Р < с, ры < и для всякого гп < с и а= ~ч~, р~. Вывести из б), что существует по«« < с крытие $ множества Е, образованное множествами с кардинальным с ) Если т продолжить на ОЗ условием р(8) =и предыдущие условия будут означать, что Т непрерывно, когда О' и О' наделены топологиями а $ (О„) и 5 (Ор) (.Общая топология', гл. 1, б 1, упр.
3), числом с, степень разделения которого равна с, и такое, что Сагб (Гу) =р'. В частности, если Е счетно и бесконечно, существует покрытие зу множества Е, образованное бесконечными множествами, такое, что Сагб($) =2"', и пересечение двух произвольных множеств из В конечно. 1[ 28) Пусть Š— бесконечное множество, (Уг), г < т — конечное разбиение множества 5«(Е) частей множества Е, иыеющих л элементов.
Показать, что существует индекс 1 и бесконечная часть Р множества Е, такие, что всякая часть множества Р, имеющая и элементов, принадлежит к дбь (Рассуждать индукцией по и: для всякого а р Е показать, что существуют индекс ! и бесконечная часть М множества Š— (а), такие, что для всякой части А множества М, имеющего и — 1 элементов, (а) () А принадлежит к Хр) 27) Говорят, что упорядоченное множество Е удовлетворяет условию микималькости, если всякое непустое подмножество множества Е обладает минимальным элементом.
з) Показать, что если А и  — две части множества Е, удовлетворяющие условию минимальности, то А()В также удовлетворяет условию минимальности. б) Лля того чтобы упорядоченное множество Е удовлетворяло условию минимальности, необходимо и достаточно, чтобы всякий интервал ) с-, а( множества Е удовлетворял условию минимальности. в) Предположим, что Е удовлетворяет условию минимальности. Пусть и — буква, Т'(и) — терм. Показать, что существуют множество () и отображение у множества Е на (1, такие, что для всякого хбЕ выполняется у(х) = Г) г(ю), где через уы1 обозначено отображение интервала ) <-, х (, на у () и-, х (), совпадающее на этом интервале с у; кроме того, этим условием (1 и У определены однозначно. г) Предположим, что Е удовлетворяет условию минимальности и что всякая конечная часть множества Е обладает в Е нижней гранью.
Показать, что если Е обладает наибольшим элементом, Е есть полное сетчатое множество ($1, упр. !1); если же Е не обладает наибольшим элементом, то полным сетчатым будет множество Е', полученное добавлеиим к Е наибольшего элемента (б 1, предложение 2). 28) Пусть Š— сетчатое множество, удовлетворяющее условию минимальности (упр. 27). Показать, что всякий элемент а множества Е может быть представлен в виде зпр (е„..., е„), где элементы ег(1(1(п) иеприводимы ($4, упр.
7; показать сначала, что существует неприводимый элемент е, такой, что а=акр(е, Ь), если а неприводимо). Обобщить иа Е упр. 7б) й 4. Обобщить также упр. 8б) и 9б) б 4 иа дистрибутивные сетчатые множества, удовлетворяющие условию минимальности. 1( 29) Пусть! — фяльтрующееся вправомножество(Е„)„б1 — семейство сетчатых множеств, удовлетворяющих условию минимальности (упр. 27). Длз всякой пары (а, 8) индексов из 1, такой, что а (8, пусть — возрастающее отображение множества ЕЭ в Е„и пусть эти отображения удовлетворяют условию (1Р) из й 1, п' 12. Лля всякого а б 1 пусть О, — непустая часть множества Е„удовлетворяющая следующим условиям; 1' двз различных элемента из О, ие сравнимы; 2' для а (8 справедливо у„з(06) = О„; — 1 3' длз а (8 и дла всакого х„б О„полный пРообРаз У„р(х„) имеет в Ер наибольший элемент М«р(х,); $ З.
БЕСКОНЕЧНЪ|Е МНОЖЕСТВА Упр. Упр. ГЛ. П|. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖРСТВА 4' для« й, если Иэ — такой элемент множества Ез, что существует узбОз, для которого уд<Из, то для всякого х„бОР такого, что х'„~ у„э (иэ) существует хэ й О, такой, что хэ я, иэ и ха у„э (хг). При зтвх условиях показать, что проективный предел семейства (О„)«Е1 даи сужений отображений У„Э иа ОЭ не пуст (см. ф 1, упр. 32). Это можно проделать следующим образом: а) Пусть 1 — конечная часть множества 1; семейство (х,),~1, где х«б О, для всякого л Е 1, называется когерентнмм, если оно удовлетноряет двум следующим условиям: 1) если лб Э Р Еу,л~(р х« = 1«Р(хЭ)| 2) для всякого элемента Т множества 1, мажорирующего 1, существует х, Е О, такой, что х«=у«„(х„) для всякого або.
Показать, что для ла — 1 всякого элемента ТЕ 1, мажорирующего 1, множество 1 1 у«„(х«) обла«Рг дает наибольшим элементом, равным 1п( (М«(х«)); кроме того, пере«Ег «а -1 сечение множества О„и ! 1 У,т(х,) есть множество (по предположению "Ег непустое) тех у|Е О, которые мажорированы элементом |п( (М„„(,г«)) аб| (использовать условие 1'). б) Пусть 1 — произвольная часть множества 1; семейство х|— (х,)„гг, где х«й 0«для ай у, называется когерентнмм, если всякое конечное подсемейство семейства хг когерентно.
Если 1 ~ 1 и б Р! — 1, показать, что существует хЗРОР такой, что семейство х =(х«), когеревтно. (Для всякой конечной части Р множества у ег() (з) показать, йспользуя а) и условие 4; что если Т является мажорантой ла -1 множества Р() (3), то уа, ~01П 1 1 г„т(х„)) есть (не пустое) множе- аЕР ство тех Уа Е Ор котоРые мажоРиРУютса элементом УМ / |н( (М, (х«) )) 1а4Р Используя тот факт, что Е. удовлетворяет условию минимальности, показать затем, что существуют конечная часть Ро множества ! и мажоранта Т, множества Ро() (й), такие, что для всякой конечной части Р множества 1 и всякой мажоранты Т множества Р()(3) выполняется 1ог (М«„(х«))) |и! (М„~ (х,)). доказать тогда, что всякий элемент «ЕР алг«1 «Го х) й Ор мажорированный элементом ущ Г 1п! (М«(х«))), является искомым.) в) Закончить доказательство, показав, что существует когерентное семейство, множеством индексов которого является любое целое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
