Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(У1) на Х существуют комплексная структура ! н 2-форма м, удовлетворяюшне условиям (т) и иквариантные отиоснтельно 6 ('т. е. на Х сушествуег 6-ннвлрнантпая кэлерова структура,). (Для доказательства (п)~(!!1) положить 54 6(Н)с н Х Хо(5); показать с помощью упражнення 12г), что каноническое отображенне Н'(6/Л) Н'(6/Н) сюръектнвно, н вывести отсюда, что Х=Н. Эквнвалептность (!О) н (!У) следует нз упражнения 8 к 4 4. Для доказательства (!!1) ы. (У1) построить невырожденную ннпвариантную эрмнтову форму на Я/Е (Н) н рассмотреть ее мннмую часть; нспользовать упражнение 11а).) $ Т 1) Пусть 6=0 (и, С) н Т вЂ” подгрунпа диагональных мнтрнц; для 4 б!ай(гь ..., ! ) нз т н! ~!~(п положнм ею(!)=1,.
Обозначпм через о тождественное представленне 6 в С". а) Для группы Х(Т) еь ...,е. являются базисом; показать, что каждый элем й! Е -~-гр г * мент 2[Х (Т)) имеет внд е ' " Р(е ',...,е*'), где Ф вЂ” целое число, а Р— симметрический многочлен с целыми коэффициентами от л переменных. б) Показать, что представлення /х'о (1(г(~л) непрнводнмы. в) Показать, что гомоморфпзм и:Х[Хь ...,Х][ХТ'[ К(6).
для которого и (ХО [/х' о[, является нзоморфнзмом. 2) Пусть 6=90(2!+1, К) с 1,л1; сохраним обозначения упражнення 2 к й 4. Обозначнм через о представление 6 в Смт', получающееся нз тождественного расширением поля скаляров. а) мь ..., м~ ь 2мь а также зь ...,ег являются базнсом 2-модуля Х(Т). с, -х б) Обозначпм через Ч~ элемент е '+е ' в 2 [Х (Т)[. Показать, что каждый элемент нз 2[Х(Т)[ запнсываетсп в впде Р(чь ..., Яг), где Р— снмметрнческнй многочлен с целымн козффнцнептамн от ! переменных.
в) Показать, что представлення /х' о (г(2!+!) непрнводнмы. Доказать прн г(! равенство СЬ(Л'о)=з. (Чь -, ЧО+(! — г+2) з.-э(ць —, Ш)+-. ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ где зг — элементарные симметрические многочлены от 1 переменных. г) Показать, что гомоморфиэм и: 2[ХО ..., Х~]-'ь Е (б), для которого и(Х~) =[Л' о], является нзоморфнзмом. 3) Пусть б = $0 (21, 8) с 1~ )2; используем обозначения упражнения 2 к 4 4.
Обозначим через о представление б в Сз', получающееся из тождественного расширеннем поля скаляров. а) В 2-модуле Х(Т) еь ...,з~ являются базисом. б) Обозначим через тр элемент е '+е ' в 2 [Х(У)] и через б — элемент П "- — е (е'-е '). Показать, что всякий элемент из 2[Х(Т)]~ записывается в виде С-1 Р (т1ь ..., Ги)+ 1] (Пь ..., Тп) б, где Р и Π— снмметричесние миогочлены от 1 переменных с коэффициентами в (1/2) 2.
в) Показать, что представления Л' о непрнводимы прн гчь1; представление Л'а является прямой суммой двух представлений т~ н т со старшимн ассами Згп и 2шг 1 соответственно (см. гл. Ч1П, 4 13, упражнение 1О). г) Показать, что при г(1 элемент С)1 (Л' о) дается формулой из упражнения 2в) и что Сйт+ — (б+Сп Л'о), Сит .= (-6+СЕ Л'о). 1 2 2 д) ' Показать. что гомоморфнзм и: 2[ХО,..,ХЕ У]- Е(0), для которого л (Х) =[Л' о] и и (У) =[те], сюрьекти вен н что его ядро порождается элементом вида У' — УХ~+А, где Агп2 [Хь ...,Х~) 4) Пусть Š— комплексное векторное пространство,и пустьТР(Е) — пространство тензоров типа (Р, д) над Е (А1л., сйар. Ш, р, 63) . Обозначим через Нег(Е) подпространство вТР (Е), образованное симметрическими (т. е, принадлежащими абраху в Т ~г (Е) пространства ТЯ" (Е) 9ТЯ г (Еч)) тензорами, аннулируемыми всеми свертываниями с', длн 1ш41, р), )шкр+1, р+41 (А)л., сЬар.
П1, р. 64). а) Показать, что Нг(С") устойчиво относительно ОЕ(л, С) и, следовательно, $41(л. С); обозначим через т] возиикакинее таким образом представление для $4) (л, С). б) Показать, что тг г— неприводимое представление, старший вес которого (в обозначенннх упражнении 1 к 4 4) равен рт1+дш„ в) Всякое иеприводимое представление группы $0 (З,С) нзоморфно одному нз представлений тг.
г) Пусть (х), ж <„— канонический базис в С" и (у,), <,<„— сопряженный базис. Показать, что Нг(С") отождествляется с пространством многочленов Рсе еаС [хь ..., х„, Ш, ..., у„] однородных степени Р по к; н степени 4 по рь лля которых дз )з г'= 1 5) Пусть й — поле характеристики нуль, У вЂ” векторное пространство над й и Ч' — невырожденная квадратичная форма на У. Форма Ч' (соотв. обратная к Ч' форма) определяет элемент ГсеЯ'(У*) (соотв. Г'гнЯ'(У)).
Обозначим через Г) зндоморфизм 8 (У), задаваемый умножением на Г*, через б — зндоморфизм 8(У), задаваемый внутренним умножением на Г, н через л — зндоморфнзм 8 (У), который иа 8'(У) смдмгся к умножению иа — я/2-г. УПРАЖНЕНИЯ 1Б! а) Если (к),,жл — ортоиормироваииый базис в г', то () (Р) (1/2)( ) к!з) Р. Ь(Р)=(1/2) ~ — длп Р 8(Р). Х с!Э Р бхэ ! б) Доказать бюрмулы (Л„Ц)= -Л, (Л, Ь)~2Л(Л, 6)= -2(). в) Пусть Н, — пространство элемеитов 8'(Р), аииулируемых Ь (лодиородиые гармонические миогочлевы степени г»). Вывести яз б) разложение в прямую сумму, инвариантное относительно 0 (Ч'): 8 (Р)=Н,ЕОН,-эфЦ'Н,-,Е... г) Показать, что представление Н, иеприводвмо (ср.
гл, гГШ, $13, и' 3(117)). д) Пусть Л = С, г' = С" с обычной квадратичной формой (л ) 3). В простравстве Н, возникает иеприводимое представление т, группы БО (а, В); показать, что в обозиаченияк упражпеипя 2 к $4 старшим весом т, является гш ь е) Пусть à — элемент Казимира группы 6, получаемый из формы Киплинга. Деказать формулу Гв (у) ~ — 4йЛ+(Н+ — Л (Н+(2 — Я~. 1 / а и в(У) 2„ 2 2 )' Вычислить Г(т,) и вывести отсюда значение формы Ог (предложеиве 4). б) Предположим, что группа О почтя проста.
Показать, что 6 допускает точное иеприводимое представлемие всегда, за исключением случая О Ьр)п(4Л, В) при Л„л2. 7) Пусть т: 6 -л $0(л, В) — вещественное унитарное представлевие О; обозначим через е: Бр!п (и, В) — 80 (а, )4) каноническое лвулистное ивкрытие. Говорят, что т — сяинорное представление, если существует морфизм т: О -л Бр!п (я, В), для которого и т=т. а) Пусть Š— такое подмножество в Р (Т, т), что Е О( — Е)= Р (Т, т) и Е()( — Е) !с1; обозиачвм через мх сумму элементов из Е.
Класс ш элемента и в Х (Т)/2 Х (Т) не зависит от выбора Е. Доказать, что т — спи норпое представление тогда н только тогда, когда т =О. б) Доказать„что ргн х (т) тогда и только тогда, когда присоединенное представлеиие явлиется спииорвым. 8) Пусть Π— группа Ли с компактиой алгеброй Ли и с конечным числом свяэ. иых компонент. Показать, что оиа обладаег точиым линейным представлением в коиечномериом векторном пространстве (записать 6 в виде полупрямого произведения компактной группы К иа векторную группу Н; выбрать точное представлеиие К в конечномерном векторном пространстве !Г и представить О как подгруппу в вффинной группе пространства йгЩН).
1) Пусть 6= 80 (2, С) и о — тождествевиое представление 6 в Сэ. а) Непряводимые представления Π— это представлеяив т"==8 "а для в>0. б) Пусть еь е, — каиоиический безас в С', показать, что коэффициенты тл в базисе (е', е" ')еж,.<„ имеют вид ( 1 ! тл (я) и~+1-л 21-~Рл ()м!3) ГЛ. 3Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ ц! где а=! Ее6, а Р!(!)= — [!" '(! — !)[ («многочлены Якоби»).
т, — ф а/ и'!! в) Вывестн нз б), что функцнн (л+1)6~~ ! ) т,".. для целых й /, л ~ П(л — !)!) с условнямн 0<!<н, 0<!<л образуют ортонормнроаанный базис в Е'(6). г) Для и= !) ~ш6 пусть и=!О»е '(т"Рчмз. 0=(! — !)Ы»е'!т епз, ~ — р,к где 0< ! ~ 1, О < в< 2я, 0 <ф < 2п. Показать, что нормализованная мера Хаара на 6 равна (4я') 'ЦгбчбФ д) Пусть а, Ь|я(1/2) 2 таковы, что а-Ьщ2.
Вывести нз г), что многочлены Р«ут „,з ь(!) для нелых л той же чегностн, что н 2а, я~шах(2а,2Ь), образуют ортонормнроваиный базяс в Ь»([0, 1[) относительно меры ! «()-Г)' б!. 2) Пусть [ — функция класса С" на 6 с комплекснымн значениями. Доказать, что существуют две таяне комплекснозначные функции я н р класса С на 6, что р центральна н )=пмр. 3) Пусть и — непрнводнмое представление 6 со старшнм весом Х. Для хсей обозначим через х единственный злемент нз С, сопряженный с х с помощью Аб (6). Доказать равенство [[н(х)[! =!Ь(Х)(х)[. 4) Вмберем на й невырождениую положнтельную квадратичную форму 6, ннвараантную относительно Ай(6).
Длн хсе! положим 0«(х)= у е м (г! а) Показать, чтоỠ— функцня класса С" на ! н что существуег такая фуннння б~ класса С на Т, что 01 ехрг 0«. б) Показать, что существуег едннственная центральная функция б на 6 класса С, ограничение которой на Т совпадает с Фь Для любого макснмальнога торн 3 в 6 н любого хшй (5) справедливо равенство 0(ехрх)= ~ е О!»Ч "! «мг!3! в) Пусть А — альков в г, «(х — мера Хаара иа ! н Ь вЂ” локально интегрируемая функцня на г, я~вариантная относнтельно аффннной группы Вейля йу; (4 5, п' 2). Доказать равенство Ь (т) «!х= — ~ Ь (х) е О!"!(т (х)) ' бх.
ю (6), »Ь« г) Дляхщй положим Ц(х)=Х (х)е О!(о(ехрх)) ', где д (х)=бе! з айх (4 6, и' 3). Показать, что 1 — функция класса С ка й н что если р — мера Хаара на й, то образ при отображения ехро меры ср является мерой Ха ар а на 6 (использовать в), а также следствне 2 теоремы ! и яредложенне 4 (4 б, пп' 2 н 3)). 1 д) доказать формулу Фа(х) гл ~ ехр(Ь(Х)(х) — Ц'(б(Х))) ллн хшг, тле Амз !Г) 4 6' — квадратичная форма на !с, обратная к квадратнчной форме иа !с, задаваемой 6, а Ач — константа, которую можно вычнслнть (нспользовать формулу Пуассона, УПРАЖНЕНИЯ ср.
Спектр. теор., гл. П, $1, и' 8). Вывестн отсюда равенство б(1)= =щ ~ е-Оха!44У4!' для гщ7. А м Х(Г! 5) а) Пусть У вЂ” вещественное векторное пространство, ) — ненулевой линейный функционал на У и Н вЂ” его ядро. Для того чтобы функция а класса С на У обращалась в нуль иа Н, необходимо н достаточно, чтобы она записывалась в виде /р', где и' — функция класса С на У. б) Пусть У вЂ” вещественное векторное пространство и (й). 4 — конечное семейство ненулевых функционалов, для которых подпростраиства Н~=Кег й попарно различны. Для того чтобы функция и класса С иа У обращалась в нуль иа объединении Н„необходимо н достаточно, чтобы она записывалась в виде ф П )ь гат где ф — функция класса С на У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
