Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ГЛ. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЦЩСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ 142 а) Показать, что Нз полупроста; если 0 односвязна, то Н связна (свести к слу- чаю, когда 0 почти проста, а Ф циклическая, и применить теорему 1 (п' 3) н гл. ЧП1, $6, упражнение 13), б) Предположим, что 6 почти проста. Показать, что если 6 — типа Азз(1~1) и Ф вЂ” порядка 2, то Нз — типа Вз! если 6 — типа Яз! — ! (1) 2) и Ф вЂ” порядка 2, то Нз — типа Сз! если 0 — типа Рз(1)4) н Ф вЂ” порядка 2, то Нз — типа В! если 0 — типа Р, и Ф вЂ” порядка 3 или 6, то Нз — типа 6з, если 6 — типа Ез и Ф вЂ” порядка 2, то Нз — типа Рз.
В каждом случае вычислить группы н,(Н), 1=0, 1 (ср. упражнение 3). в) Доказать, что подгруппа Нз — главная ($ 4, упражнение 18). г) Доказать, что полупростая группа типа Вз или Яз содержит главную под- группу типа 0з (использовать б) и 4 4, упражнение 20). 6) Предположим, что группа 6 почти проста; пусть Н вЂ” связиан замкнутая главная подгруппа в 6 ($4, упражнение !8). Обозначим через Ф группу автомор- физмов и группы 6, сохраняющих Н. и через Š— подгруппу элементов 6, непод. вижиых относительно Ф.
а) Показать, что существует разметка 0, инварнантная относительно Ф. б) Показать, что имеет место один нз следующих случаев: (!) Н4 Вз! (й) 0 — типа Вз, Н вЂ” типа 6з и Ф сводится к единице; (й!) 6 — типа Аз, Н вЂ” типа 6з и Ф имеет порядок 2. (Использовать упражнение 4 н упражнение 20 к $4.) $ 6) Предположим, что 0 одиосвязиа. Пусть р — простое число и й — элемент из С(0) со свойством йз=е. а) Показать, что существуют такие элементы кщТ и мщ йг, что (1) ы (и) и ! = 83! (й) (й!) и'=е, если р~2; и"=е или 8, если р=2, (Пусть А — альков в т; для ! =О, 1, ..., р — ! вмберем хзее А так, что ехр хз= 8'. Взять в качестве и элемент ехр х, где х — центр тяжести грани А с вершинами хз, а в качестве ю — такой элемент йт, что м(А)=А — х.) б) Доказать, что существуют такие иге Т и егеНО(Т), что (!) Рнз ' и ! =й! (й) е"=е, если рФ2, и оз=е или й, если р=2; (Гй) и'=е, если рФ2, и и"=а или й, если р=2.
(Используя конструкцию а), поднять ю до н„, как в упражнении !2 к 4 4! поло- жить Р=а" +, если р~2, и о=а, если р=2.) +! 7) Пусть р — простое число. Показать, что следующие условия эквивалентны: (!) р ие делит порядок подгруппы кручения в н! (6); (й) для каждого элемента йзм 6 порядка р централизатор 8 в 6 связеи; (!6) всякая подгруппа в О, изоморфиая (Х/рХ)з, содержится в максимальном торе.
(Для доказательства (1) ~(п) использовать упражнение Зв), для доказательст- ва (й!)~-(1) использовать упражнение 6.) 8) Пусть 0=30(8, Т(У(~1з), обозначим через(сз)! азазтакойбазнс в В(0, Т), что а!, аз н а, не ортогональны аз (гл. Ч1, таблица 1Ч). Пусть А — подгруппа в Т, образованная такими 1знТ, для которых а! (1)=аз(1)=аз(1), а! (1)'=аз(1)'=1. 143 тпражнения Показать, что А иэоморфна (Х/2Е)г н что ее централиэатор в С вЂ” конечная некоммутативная группа. 9) Пусть Я вЂ” неприводнмая система корней, Я вЂ” дуальиая система, В— базис в Я и м — наибольший нореиь в Я (относительно В). Положим -=Х рй-'-Х эр' Эмп эмп пусть т(Я)= зпр лэ.
а а а) Показать, что интервал 41, т(Я)) в М является объединением 1 и чисел лэ лдя рщВ (положим аз=а; пусть (аь ..., аг) — такая последовательность различных элементов из В, что их не ортогонален их ~ при!=1, ..., 4, л„=т(Я) и 4 ивляется максимальным с этими спойствами; показать, что и =!+1 для ! 1, ..., 4). к~ б) Пусть р — простое число. Показать, что следующие три свойства энвивалентны: (!) р<ч(Я); (й) существует РщВ, для которого р ле, (й!) существует РщВ, лля которого р делит лэ.
В этом случае говорят, что р является простым числом кручении лля Я. в) Для каждого типа неприводимых систем корней вычислить величину т (Я) и простые числа нручення. Показать, что множество чисел пэ и множество чисел лэ совпэданп во всех случаях, кроме Сз. г) Пусть Я' — замкнутое симметричное подмножество в Я, неприводимое как система корней. Показать, что ч(Я')~т(Я). 1О) Пусть Я вЂ” система норней, р — простое число.
Показать, что следующие свойства эквивалентны: (!) р — простое число кручения для непрвводимой компоненты Я (упражнение 9б) ). (и) существует замкнутое симметричное подмножество В и Я, отличное от Я н максимальное с этими свойствами, для которого (()(Я): Ц(ЯД) р (через С (Я ) обозначается к-модуль, порожденный дуальнымн корнями для Я, а через () (Я~) — подмодуль, порожденный норнями а для мщЯ~); (й!) существует замкнутое симметричное подмножество В в Я, для которого подмодуль р-нрученнй в Ц (Я )/С (Я~) отличен от нуля. (Для доказательства (!)а (й) использовать упражнение 4,из гл.
Ч1, $4; для доказательства (!й)~(!) использовать упражнение 9г).) В этом случае говорят, что р — простое число кручения длл система Я. 11) Пусть р — простое число. Говорят, что р — и!китсе число кручения для С, если существует такая связная замннутая подгруппа Н максимального ранга в С, что подгруппа р-кручении в п~ (Н) нетривиальна. Положим Я=Я(С, Т). а) Простые числа кручения для С являются простыми числамн кручения для Я (упражнение 10) и простыми делителями порядка подгруппы кручения группы п~ (С). б) Показать, что всякое простое число кручения для С делит ы/В, где м— порядок группы йг, а 1 — ранг полупростой группы В (С) (использовать гл. Ч1,4 2, п' 4, предложение 7).
гл, !х, комплктныи внщнственнык группы ли 144 в) Пусть!гмТ н вен й таковм, что!'щС(6). Пусть Й~ — множествотек ащЙ, двя которых а(!)=1, н гл — порядон подгруппы кручения группы () (Й )/г) (Ю (ср. упражнение !О). Доказать, что каждый простой делитель яг делит л (свести н случаю, когда 0 почти проста н односвязна). г) Предположим, что 6 односвязна. Пусть йя0 нлщй) таковы, чтой" щС(0) и никакое число кручения для 6 не делит и. Доказать, что производная группа центрэлнзатора й односвязиа. д) Пусть йгм6 и р — простое число, дли которого йг=е, ие являющееся простим числом кручения длн 6. Показать, что цеитралнзатор Х(й) свяэеи и что р не является простым числом кручения для 2(й).
е) Предположим, что 0 односвязна н Р— простое число кручения для 6. Доказать, что существует такой элемент й порядка р в 6, что я~ (Я (й)) — циклическая группа порядка Р (использовать упражнение 10 н упражнение 4 из гл. Ч1, 4 4). 12) Пусть Р— простое число. Показать, что следующие условия эквивалентны; (1) р ие является простым числом кручения ддя 0; (й) для любой подгруппы Р в О, изоморфной (Х/РХ)" (для яеэ Р(), цеитралнзатор Р в 6 связен; (и') для любой подгруппы Р в 6, изоморфной (Х/рл)', цеитрализатор Р в 6 свнзен; (!В) всякая подгруппа в 6, изоморфная(Х/РХ)" для некоторого и, содержится в максимальном торе; (!и') всякая подгруппа в 6, изоморфиая (л/Рл)э, содержится в максимальном торе. (Для доказательства (!)ч~(!1) использовать упражнение 1!д),для доказательства (п))=-(!) использовать упражнение 11е) н 7,) 1) Пусть Й вЂ” приведенная система корней в вещественном векторном пространстве Ч.
Снабдим Ч сккляриым произведением, ннвариантным относительно йу(Й), н продолжим это скалярное произведение естественным образом на 3(У)(ЕЧТ, сйар. Ч, р. 30); таким образом, для хо ...,х„рь „у„из Ч справедливо равенство (х, ...х„(у! ...у„) ~ (х!)у,(!1) ...(х„!р,(,)). чав Выберем камеру С для Й; положим У=Сагам(Й+), р (!/2) ) а н ю(Й)= йял =Сага Ф'(Й).
Пусть Р означает элемент Ц а в 8 (У). амл а) Показать, что Р— з (ю) (юр) (ср. гл. Ч1, 4 3, п' 3, 311 эа !Л) предложение 2). б) Вывести отсюда равенство (Р)Р) ю(Й) Ц (р!а). аул+ ! ! в) Доказать, что (Р!Р)=2 "ю(Й) Ц т<! 11 (и(а)=2 "Ц (ю,+ 1=! ьюйт г-! 145 УПРАЖНЕНИЯ +!)! П (а1а), где юь ., лн — показатели йг()1) (попользовать упраухненне 3 нз «ей гл. ЧШ, 4 9). т( 2) Пусть 1' — вещественное конечномерпое гильбертово пространство. Снабднм пространство 8 (У') миогочлепов на У скалярным произведением, определенным в ЕУТ, сйар.
Ч, р. 30 (ср. упражненне! ). Обозначим через у каноннческую гауссову меру на У (Ингегр., гл. 1Х„4 6, пп' 4 — 6); еслн (х,.)! м,.<„— ортонормнровапный базнс в У*, то ду(х)=(2я) "Гз е (Ы")' бхь..бх,. а) Пусть д — элемент 8' (У), задающий скалярное пронзведепне в У*, н пусть *:8 (Уь) 8 (У') — операция внутреннего умножения на д (А 12., свар.
Ш, р. 163). Показать, что для любого ортонормнрованного базиса (х)! ж,.ц„в У* н любого з многочлена Рты 8(У') справедлнво равенство йР=(1/2) ~ д Р(дх,. ю ! б) Для Рты 8 (У*) положим Р'=Р у так что Р' (х)=~Р(х — у) оу(У) для ха щ У. Доказать равенство дз )з Р*= ~~ — — е Р. п1 э=о (Свестн к доказательству аналогнчиого равенства для функцнк хн. е!(х)ч), где игиУ.) в) Доказать формулу ~ Р'()х) О*((х)бу(х)=(Р19) для Р, О из пространства 8 (Уь) (отождествленного с подпРостРапством в Вс((УЕ!С)')). г) Если Р— однородный многочлен на У, для которого АР=0, то ~ Р(х) бт(х)=(Р)Р).
У д) Пусть йà — конечная группа автоморфизмов У, порожденная отраженнямн; обозначнм через Н множество отражений )р. Для А е Н определим езщ У я!за Уч так, что й (х)=х+(А (х) еь. показать, что многочаен Р= Ц )А обладает свойством лмя йР 0 (попользовать гл. Ч, 4 5, п'4, предложенне Б). 3) Пусть р — мера Хаара на адднтнвной группе в. а) Существует единственная мера Хаара ро на 6, обладающая следующим свойством: еслн мп н м — ннварнантные дифференциальные формы степени и на з 6 н 0 соответственно, дла котоРых ззо(е) м (О) н 1м 1 И, то (ио)=ко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
