Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Птедложеиие 3. Лредположим, что р неприводимо. а) р есть представление вещественного типа тогда и только тогда, когда существует ненулевая билинейная симметрическая форма В на йт, инвариантная относительно 6. В этом случае форма В невырожденна; множество т', состоящее из таких элементов Ге ен И', что Н (и>, х) = В (>в, х) для любого х~ йт, является К-структуройна Ф", инвариантной относительно 6. б) р есть представление комплексного типа тогда а только тогда, когда не существует ненулевой билинейной формы на В', инвариантной относительно 6.
в) р есть представление кватернионного типа тогда и только тогда, когда существует ненулевая знакопеременная билинейная форма на Ит, инвариантная относительно 6; таком 4юрма обязательно невырожденна. Для ОяНогп >ь>(%', Ф) и х, уеийт положим Вь (х, у)=Н(йх, у), Тогда Вь — билинейная форма на Ит, инвариантная относительно 6 и не- вырожденная, если гомоморфизм О ненулевой. Обозначим через М(йт)~ пространство билинейных форм на М7, инвариантных относительно 6; отображение О Р-~ Вв нз Ного >ь>(%', йт) на ДГ (%')о есть нзоморфизм с > векторных С-пространств.
Отсюда, в частности, вытекает утверждение б). Пусть О есть С~~-изоморфизм пространства Ят на )е, такой, что Оий=аз, для а~( — 1, +1) (предложение 2); поскольку пространство М (йт)~ имеет размерность 1, то существует такое число е ГАС, что Вв(у, х)=ЕВв(х, у), какими бы ни были х, у из ЯГ. Повторно используя зто свойство, получаем Вь (у, х)=ЕВР (х, у) = =е~ВР(у, х), откуда аз=! и ееи( — 1, +1). Кроме того, для х из !1' 125 ДОПОЛНЕНИЕ Н. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Н (Ох, Ох)=ВВ (х, Ох)=еВв (Ох, х)=еН (ОВО (х), х)=ваН(х, х), откуда еа)0, поскольку форма Н положительна, т.
е. В=а. Но тогда утверждения а) и в) спедуют вз предложения 2. Обозначим через йд меру Хаара на группе б с полной массой 1. ЛеммА1. Пуств Иà — надпространство е ИГ, состоящее из элементов, о инеариапгпых относительно О. Эндоморфизм ~ р(у) йу пространства Иг есть проектор на надпространство ИГ", пгргстаноеочный с действием группы О. В частности, йпп ИГ~=) Тг р(у) йд. о Положим р=~ р (у) йу; тогда для любого йвв 0 е р(й) р=~ р(!)у)йу=~ р(у)йу=р, е в аналогнчно р, р (й) р. Таким образом, эвдоморфнзм р перестановочен с действием группы О, н его образ содержится в Иго.
Если !си ИГВ, то р(гс)=~ р(у) и! йу ю, что доказывает лемму. Лемма 2. Пусть и — эндоморфизм конечномерного векторного пространства Е над полем К. Тогда Тг и'=Тг 8'(и) — Тг Дв(и). Пусть Х„(Х) = П (Х вЂ” а!) — разложение на лннейные множители ! ! характеристического многочленв экдоморфнзма и в подходящем расшнреннн поля К.
Тогда Тг и~=~ аг, Тг гх (и)= ~ св,аг Тг 8~(и)= ~ а,а !(/ (см. А!у., СЬар. Ч!1, р. 37, сот. 3), что завершает доказательство. ПРедложенне 4. Предположим, что представление р неприеодимо. Для того чтобы р было вещественного (соотв. комплексного, соотв. кватгрнионного) типа, необходимо и достаточно,чтобы интеграл ~ Тг р(уг) йу был равен 1 (соотв. О, соотв. — 1).
Обозначим через р представленне, контрагреднентнор к представленню р в пространстве Итв (определяемое равенством р(у)='р(д ')). !26 ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН Применяя лемму 2 к представлению р (я) и интегрируя по группе б, полу- чаем Тг р(у~дя=1 Тг 'р (я ~х(й=~ Тг8х(р(а)) г(й — ~ Тг Дт(р(д)) дя, о откуда ввиду леммы 1 Тгр(ДИу *бпп(8~)Р'*)о б1гп(л')р*)о. Но 8'ИГ" (соотв.
Л'ИГ~) отождествляется с пространством симметрических (соотв. знакопеременных) билинейных форм на ЯГ. Теперь предложение следует непосредственно из предложения 3. УПРАЖНЕНИЯ 1) Пусть 6 — связная коммутативиая коиечномерная комплексная группа Ля и У вЂ” ее алгебра Лн. в) Отображение ехра. У- 0 является сюръектнвиым гомоморфвэмом; его ядро à — дискретная подгруппа в У. б) 6 — компактна тогда н только тогда, когда à — решетка в У; в этом случае 6 называют комллекскым тором.
в) Пусп à — дискретная подгруппа в С', порожденная элементамн ез (1, 0), ез=(0, 1),гз (у2, 1); положим О=С'/Г, Н=(Г+Сез)/Г. Показать,что Н иэоморф- иа С*, что 6/Н вЂ” компленсный тор размерности 1. но 0 ие содержит ненулевого комплексного тора. г) Всякая связная коиечиомерная комплексная компактная группа Лн является компкексным тором (см. гл. П1, $6, и' 3, предложение 6). 2) Пусть Н вЂ” множество комплексных чисел т, для которых 1ш т) О.
ат+б / а э~ а) Показать, что формула ут — для тзиН н ~ /! уев31(2,Х) сз+з( ~с з(/ определяет левое аналитическое действие дискретной группы 3Е(2, Х) на Н. б) Для тщН обозначим через Т, комплексный тор С/(Х+тХ). Покаэатгь что отображение ть Т. определяет при переходе к факторогображенню бнекцию мно- жества Н/ЬЬ(2, Х) на множество классов изоморфизма одномерных комплексных торов.
3) Пусть 0 — интегральная подгруппа в О (п), тождественное представление которой в й" непрнводнмо. Доказать, что 0 замкнута (записать 0 в виде К)( Н, где К компактна, а Н коммутативна, и показать, что аВпз Й(1), 4) Показать, что эквивалентные условия из предложения 3 (п' 3) эквявалеитиы также каждому нз следующих условий: (!!') Группа Ад (6) относительно компактна в Ап!(6(6)). (!!") Группа Аб (6] относительно компактна в Епд (Е (6)). (т) В любой окрестности единичного элемента ещ 6 содержится окрестность, ннварнантная относительно внутренних автоморфнэмов.
(Ср. Ингггр., гл. )зП, $3. и' 1, предложение 1.) б) Пусть А — замкнутая подгруппа в ОЕ(3, Н), состоящая нз матриц (ав) со свойствамн а„=О прн !)А ас=! для 1~!<3, аззщХ, аззщХ; пусть  — под- группа в А, выделяемая условиямн ам=ага=О, а|зщяХ, н пусть 6=А/В, а) Показать, что 0 — одномерная группа Лн с компактной алгеброй Ли. б) Показать, что С(6)=Р(6)=6з и что Оз — максимальная компактная пож руина в 6, в) Показать, что О.не является полупрямым произведением Оз иа некоторую подгруппу.
6) Покаэатзь что для компактности (вещественной) алгебры Лн необходимо н достаточно существование такого базиса (ез), хщ(., для которого структурные константы узм антиснмметрнчны по индексам )ьр,ч (т. е. узы=-уы, -уз„з). 128 гл. !х. компхктиып веществвнныв гпхппы ли У) Ияволютиэиоя алээброд Ли извивается (вещественная) алгебра Лн в, сиэбженнзя эвтоморфизмом з, аблалающпм свойствам з з=! . ОФюнэчым через в+ (соагв. и ) собственное надпространство для з в и с собственным значением +1 (саагв. — 1). а) Показать, чтой+ — подалгебрэ ни, з й нвляется в+-модулем; справедливо включение [й, В ]~"'и+, н пространства и+ н и ортогоиальнм относительно формы Киплинга.
б) Показатгь что следующие условия эквнввлентнм: (!) в+-модуль П прост; (й) в+ — максимальная подалгебрэ в и, отличная от й. Если этн условия выпал ненм н если алгебра Ли В+ не содержит никакого ненулевого ндезлэ алгебры Ли В, та говорят, что ннвалютивна я алгебра Лн (В, з) нелривадими. в) Предположим, что в полуп роста.
Показать, что следующие условия эквивалеитым: (1) едннстзеннммы ыдеаламн в и, устойчнвмми относительно з, являются (О) н и; (й) В либо проста, либо является суммой двух простых идеалов, переставляе. ммх з. Показать, что этн условны выполняются, когда (и, з) неприводима (зэметнтгь что П является прямой суммой з-устойчивых идеалов, н проверить (В)). г) Предположим теперь, что в полуп рости н компэктнэ. Показать, чта инвалютпвнэя алгебра Ли (В, з) непрнводимз тогда и толька тогда, когда з — нетожде. ственкое преобрззовзние н (П, з) удовлетворяет условиям пункте в) (пусть р— подмодуль в й+-мадуле В н « — ега ортогональное дополнение относительно формы Кнллингэ; зэметнтгь что [р, «]=О, н вывести отсюда, чта э+ [э, р] — идеал в в).
д) Доказать, что и является прямой суммой семейства Цз<, „з-устайчивых идевлов, тэк что вэ состоит нз з-неподвижных точек, з (йь заид — непрнводимые инволютнвнме алгебры Лн прн 1<!<я. 8) Пусть 6 — компактна я палупростэя группа Лн, и — ее звтомарфнзм порядка 2, К вЂ” связмаи компонента еднннцм в множестве меподвнжных точек для и и Х вЂ” многообразие 6/К (в этом случае однородное пространство Х называют симметрическим ) .
а) Показать, что если 6 почти проста, то К вЂ” макснмальнвя связная замкнутая подгруппа в 6, отличная от 6; иначе говоря (гл. !П, $3, упражнение 8), действяе С яэ Х примитивно. В этом случае говорят, что симметрическое пространство Х иевриэадимо. б) Предположим, что многообразие Х односвязно; показать, чта оно тагдэ нзоморфпо п роязведенню многообразий, каждое из которых нзоморфно либо группе Лн, либо непрнваднмому симметрическому пространству. 9) Пусть а — иеществеыиэя нлн комплексная алгебра Лм н 6 — компактная подгруппа в Ап1(а). Показать, что а обладает 6-устойчивой падэлгсброй Леви (гл.
1, $6, и' 8, определение 7) (свестн к случаю, когда радикал а коммутативен, н использовать Иягегр., гл. ЧП, $3, п' 2, лемма 2). 22 1) Пусть С вЂ” компактная связная группа Лн н 2 — се элемент. а) Показать, что существуег целое число л ~) 1, такое, чта централнзатор Е (и") связеы (доказить. что длп подходящего в замкнутая цодгруппз, порожденная й", является тором). УПРАЖНЕНИЯ б) Предположим, чтп размерность пространства Кег (Аб й" — 1) не зависит от л (при я э1). Показать, что 2(у) связен.
в) Если элемент й" регулярен при всех л~!, то 2(у) связен. 2) Показать, что всякая связная комплексная группа Ли является полупрямым произведением своей производной группы на некоторый тор (если Т вЂ” максимальный тор в 6, заметить, что ТДВ (6) является тором). 3) Пусть 6 — компактная группа Ли, Я вЂ” ее алгебра Ли и э — подпространство в й, которое вместе с любыми тремя элементами х, у, х содержит [х, [у, г)) Пусть .2' — совокупность коммугативных подалгебр в П, содеРжащихся в э. Показать, что связная компонента единицы стабилизатора э в 6 действует транзитивно на множестве максимальных элементов в 2' (рассуждать, как в доказательстве теоремы 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
