Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Следствие 3. Предположим, что пространство Х паракомпактно. Существуют вещественное гильбертово пространство Е, непрерывное унитарное ~) представление р группы г)и 0 в пространстве Е и погружение ф: Х- ЕклассаС',такие,чтоф(йх)=р(у)ф(х)длллюбогоу~Оилюбого хснХ. Пространство Х/6 локально компактно (Общ. топ., 1969, гл. Ш, 4 4, и'5, предложение 11).
Его связные компоненты суть образы связных компонент пространства Х, которые являются пространствами, счетнымд в бесконечности (Общ. топ., 1968, гл. 1, $9, и' 1О, теорема 5); следовательно, и сами они счетны в бесконечности, что влечет за собой паракомпактность Х/6 (там же). Стало быть, существуют локально конечное покрытие ((/')„ыт пространства К/О открытыми относятельно компактными множествами и такое покрытие (т",)„ь что (т;с(/; для любого ахи еи т' (Тор. уеп., сйар.
1Х, р. 48, сот. 1 э) ); тогда для прообраза Х получаем два локально конечных покрытия ((/,)„, и ()т,),, открытыми относительно компактными устойчнвымн относительно 6 множествами, такими, что 'т', с О для любого а ен Е Для любого аы) существуют представление р„группы 6 в конечно- мерном вещественном векторном пространстве Е, и морфизм ф,еи ы 'и' (Х; Е ), согласованный с действием группы О и такой, что его ограничение на (/, есть погружение (теорема 1).
Для любого аеи/ пусть ив чисаовая функция на Х класса С', равная 1 на )т и О вне И, (Мн., Св. реэ., 5 36). Положим Ь,(х)=~ а,(ух) дд для хснК. Функция Ь„есть функция о класса С', инвариантная относительно О ($6, и' 4, следствие 2), равная 1 на т'„и О вне Оы Снабдкм каждое Е гильбертовым скалярным произведением, ннварнантным относительно 6 ($1, п' 1), а (1 канонической гильбертовой структурой. Пусть Š— пространство, являющееся гильбертовой суммой семейства (Е„~(4)„ь и пусть р — представление группы 0 в Е, полученное из представлений р, и тривиального действия группы О на й.
Для любого хенХ положим ф(х)=(Ь (х) ф,(х), Ь,(х)),, Тогда ф — морфнзм класса С' из Х в Е, согласованный с действием группы 6. Аналогично тому, как это было сделано в доназательстве предложения 4 (и' 1), проверяется, что ф есть погружение. Это н завершает доказательство следствкя. О То есть (ТЬ. грег.) непрерывное линейное представление (Интегр.. гл. УП1, $2, и' 1); такое, что операторы р(у) унитарны лля всех у<вС. т) Сы. также Общ. топ., !975, гл. 1Х, $4, и' 3.— Прим. иерее. По гп.
ж. ком я Гх комплктные Вещественные ГРуппы пи л. Трубки и трансверсалм Леммх 4. Пусть Н вЂ” компактная группа Ли, и: Н -ь 61. (У) — ее непрерывное (а значит, аналитическое) представление в конечномерном вещественном векторном пространстве и йт — окрестность начала координат в У. Существуют открытая окрестность начала координат В, содержащаяся в йт и устойчивая относительно Н, и аналитический изоморфизм и: У -ь В, согласованный с действием Н и такой что и (0) =0 и Ои (0) = 1д н Выберем скалярное произведение на У, инвариантное относительно Н (4 1, п' 1). Существует такое вещественное число г) О, что открытый щар В радиуса г содержится в йт; очевидно, что этот шар устойчив относи- тельно Н.
Для любого оеиуположнм и(о)=Г(г'+!!о)!У) ы о; тогда и— бнективное аналитическое отображение нз У в В, согласованное с действием группы Н, а обратное к нему отображение шьь г(гт — ()ш1!У) ытш аналитична. И, более того, и(0)=0, а Пи(0)=1йн Пгедложение 5. Пусть Н вЂ” компактная группа Ли, (И,х)~ Их— закон левого действия класса С' группы Н на Х и х — точка в Х, неподвижная относительно действия группы Н.
Тогда группа Н действует линейными преобразованиями на векторном пространстве Т= Т„(Х), и существует открытое погружение йп Т-ь Х класса С', согласованное с действием группы Н и такое, что ~р (0) =х, а Ть (ф) есть тождественное отображение пространство Т. Пусть(У, ф, Е) — такая карта на Х в х, что область У устойчива относительно Н (п' 2, лемма 3) и что ф (х) =О. Отождествим Е с Т при помощи Т,(ф) и положим ф»(у)=~И.ф(И-'у) йИ д и У, где йИ есть мера Хаара иа Н с полной массой !. Тогда (4 6, п*4, следствие !) ф» — морфизм класса С' из У в Т, согласованный с действием Н и такой, что ф» (х)=0, а й„ф»=1бг. Стало быть, существуют открытое множество У'с: У, содержащее х, и открытая окрестность У точки 0 в Т, такие, что ф» индуцирует нзоморфизм 0: У' — Р У.
Уменьшая в случае необходимости У' и У, можно предпо. лагать, что они устойчивы относительно Н и что существует изоморфизм и: Т вЂ” У, согласованный с действием группы Н (лемма 4). Таким образом, достаточно взять»=0 ' и. Напомним (Мн., Св. рез., 6.5.!), что если 6 — группа Ли, Н вЂ” подгруппа Ли в 6 и У вЂ” многообразие, на котором группа Н действует слева, то через 6 Х "У обозначается фактормногообразие произведения многообразий 6Х У по правому действию ((у, у), И) Рь (йИ, И ' у) группы Н; это многообразие, иа котором группа Ли 6 действует справа естественным образом; проекция 6 Хну- 6/Н является расслоением со слоем У. 3 э э. депствия ХОмпАктных ГРупп ли ИА мнОГООБРАзиях !!! Кроме того, если у — конечномерное векторное пространство, на котором группа Н действует линейными преобразованиями, то 6>("у наделено естественной структурой векторного О.расслоения с базой 6(Н (Мн., Св.
рез., 7.10.2). Пусть 6 — группа Лн, собственно ') действующая на многообразнн Х (Общ. топ., 1969, гл. 1П, $4, п' 1, определенне 1) так, что закон действия (й, х)»» йх принадлежит классу С'. Тогда для любой точки х из Х орбита Ох точкн х — замкнутое подмногообразне в Х, нзоморфное однородному пространству Лн 6/О„где 6„— стабилизатор точки х в 6 (см. гл. 1П, $1, п' 7, предложение 14 (!!), н Общ. топ., 1969, гл.
П1, $4, п'2, предложение 4), яаляющийсн компактной группой Лн (там же). ПРедлОжение 6. Предполозним, что многообразие Х паракомпактно. 77 усть х — точка в Х и О, — ее стабилизатор. Существуют конечномерное аналитическое линейное представление т: О, — О$.
(Ф) и открытое погружение а; 6)ч ' йг — Х класса С', перестановочное с действием еруппы 6 и отобразнающее «ласс элемента (е, 0)еп 6 Х йу в точку х. Положим Т=Т,(Х). Пусть йг — надпространство в Т, устойчивое относнтельно действня 6„ н дополннтельное к надпространству Т,(Ох) в Т (например, ортогональноедополненне к Т,(Ох) относительно 6„-ннварнантного скалярного пронзведення на Т). С другой стороны, пусть ф: Т -» -» Х вЂ” морфнзм, обладающнй свойствамн нз условии предложения 5 (относительно И=О,).
Рассмотрнм морфнзм йя ОХ йт-» Х, определяемый формулой Х (й, гв)=уф(п>). Он индуцирует прн переходе к фактормногоо, образням морфнэм Н: 6>с * йт-» Х класса С', перестановочный с действнем группы 6 н отображающий класс г элемента (е, О) в точку х. Покажем, что морфнзм р этален в точке г. Имеем й!ш(6 Х "(Р)= й!ш(6)+ й!щ((т) — й!щ(6„)= й!ш(Ох)+ й!ш(йт) й!ш (Т), н, стало быть, достаточно показать, что >с есть субмерсня в точке г нлн что А есть субмерсня в точке (е,0).
Но касательное отображение Тгд Р>(й): Т, (6) ® йг -» Т совпадает с отображением Т, (р (х)) + 1, где р (х) — орбитальное отображенне й» ух, а ! — каноннческое вложение (Р' в Т. Поскольку !т Т, (р (х)) = Т, (Ох), то отображенне Тгв Р> (А) сюръективно н морфнзм Н этален в г. Мы покажем, что существует открЬ>тая окрестность О множества Ог о, в О >ч ' йт, устойчивая относительно О н такая, что и нндуцнрует нзоморфнзм множества Я на открытое подмножество в Х. Отсюда сразу вытекает предложенне: действительно, прообраз множества (1 в байт устойчнв относительно 6 н, стало быть, имеет внд 6 Х В, где  — открытое подмножество в йт, содержащее начало коордннат н устойчивое относнтельно 6„.
Уменьшая в случае необходимости 11, можно предположять, что существует изоморфнзм и: %'- В, перестановочный с действием группы 6, (лемма 4). Очевидно, что компознцнн морфнзмов 0 Си. прннечвние на стр. 21.— Орам. перев. 112 ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ а: ОХ *)т — ''-"- ОХ 'В -Ф Х удовлетворяет условиям предложения. Теперь предложение вытекает из следующей леммы Леммл 5. Пусть Х вЂ” отделимое многообразие класса С', наделенное законом левого действия гп1 Оэс2 Х класса С', и рл1 Х Х вЂ” морфизм (класса С~, перестановочный с действием еруппы Ли 6. Пусть г ~ Х и х = р (г). Предположим, что морфиям р этален в г, а стабилизатор точки г в 6 совпадает со стабилизатором О„точки х. Тогда существует открытая окрестность Я орбиты 6г, устойчивая относительно 6 и токая, что р задает изоморфизм Я на открытое подмножество в Х.
Поскольку морфизм р перестановочеи с действием группы 6, ои этален во всех точках орбиты Ог. Так как каноническое отображение 6/6„- -~- Ох является гомеоморфизмом, то отображение Ог в Ох, задаваемое морфнзмом р,— также гомеоморфизм. Тогда из предложения 2 из и' 1 следует существование такой открытой окрестности 6 орбиты Ог в Х, что р задает открытое погружение множества 6 в Х. Поскольку группа 6 собственно действует на Х, то существуют открытая окрестность У точки х н компактное подмножество К в О, такие, что дУДУ= йэ дпя КАК (Общ. топ., 1969, гл. 1И, $4, и' 4, предчоженне Т), и, в частности, еее К.
Множество $'1 таких точек уев, что Кус К открыто в Х: действительно, 2-%', есть образ замкнутого множества (КХ )АХ) — гп '(6) при собственной проекции рг11 КэАс — ьХ. Положим %"= =%'1 Др ' (У); это — открытое подмножество в Х, содержащее г и удовлетворяющее следующим условиям: (!) КВ'<:0 и, в частности, йГс6; (й) 11 (йг) ~ У. Положим Я Ойт и рассмотрим ограничение р на Я. Это этальный морфизм, так как любая точка нз Я сопряжена при помощи группы О с некоторой точкой из 6.
Покажем, что это ограничение инъективно: пусть д, Ь вЂ” такие элементы из 6 и и, о — такие элементы нз йт, что р (ди) =р (Гго). Положим й=у ' й; тогда р (и)=й р (о), откуда, согласно (й), йем К. Но ввиду (1) йо ни принадлежат 0; следовательно, и= йо, поскольку ограничение р на У инъективно. откуда уи = до. Таким образом, ограничение и на Я ннъектнвно и, значит (Мн., Св., рез., 5.7.8), является изоморфизмом на открытое подмногообразие в Х, что завершает доказательство леммы. В условиях предложения б образ а есть открытая онрестность Т орбиты А точки х, наделенная структурой векторного расслоения с базой А, для которого нулевое сечение — это сама орбита А.
Такая окрестность называется линейной трубкой (вокруг рассматриваемой орбиты). Для каждой точки аыА слой У, этого векторного расслоения есть подмногообразне в Х, устойчивое относительно стабилизатора О, точки а н такое, что мор- 4 физм из ОХ 'у, в Х, отображающий квасс элемента (у,у)щОХУ ч 1 э. дкиствия комплктных гттпп ли их миогооэтхзиях ПЗ с. в ууемХ, задает изоморфизм класса С' между 6 Х ' у, и Т.
В этом случае говорят, что У„есть трансверсаль в точке а к трубке Т. Заметим, что касательное пространство в точке а к У, каноническим образом изоморфно У, и что оно является дополнительным подпространством к Т„(А) в Т, (Х); векторное расслоение Т с базой А, следовательно, каноническим образом изоморфно нормальному расслоению над А в Х (Мн., Св. рез., 8.1.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
