Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 19
Текст из файла (страница 19)
3) Пусть т: 6 — б1 (У) — неприводимое представление. Существует такой элемент у из Х (С (С)), что т(з) о т (з) и для э~С(6), орн У: действительно, т (С (6)) содержится в коммутапте т (6), который равен С*.1у (А(и.. сйар. ЧП1, $3, и' 2, Сь 1). Для любого веса !р представления т ограничение Д на С(6) совпадает с у. 4) Определенна и результаты из гл. Ч1П, $7, пп'2 — б.
без труда обобщаются иа данный случай; мы предоставляем сделать это читателю. Птедложение 1. Пусть т: 6 - бб (У) — неприводимое представление группы Ли 6 со старшим весом й~Хьь. Пусть ш — целое число Е ()р, Кр), и пусть шр — такой элемент группы Вейля, что юр ()7+)= я, =)7 (гл. Ч1, $1, и' б, следствие 3 предложения 17). Имеет место один из трех случаев: а) сер (А)= — А и число ш четно. Тогда существует инвариантная относительно 6 невырожденная симметрическая билинейная форма на У; т— представление веществеюшго типа (дополнение П). б) сер(А)чь — 1,.
Любая инвариантная относительно 6 билинейная форма на У равна нулю; т — представление комплексного типа (там ясе) . в) сер(А)= — )р и число пр нечетно. Существует инвариантная относительно 6 невыропсденная знакопеременнал билинейная форма на У; т— представление кватернионного типа (там же). Если ограничение представления т на С(6)р нетривиально, то имеет место случай б) . Билинейная форма В на У инвариантна относительно 6 тогда н только тогда, когда она инвариантна относительно йс (гл.
1П, $6, и 5, ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН следствие 3). Если группа Ли 6 полупроста, то доказываемое предложение следует иэ предложения 12 из гл. Ч!И, $7, п'5, и из предложения 3 дополнения И. В общем случае положим С (6)А=В и огождествнм Х (Т/Б~ с подгруппой в Х(Т) (ииварнантной относительно МГ). Если т(3)=[!у[, то т индуцирует прн переходе к факторпредставлению представление т". 6/Ю-» -ь б!.(У) со старшим весом А; в этом случае предложение следует из вышесказанного, примененного к 6/5. Предположим, что т (3) чь[1У). Тогда существует ненулевой элемент ч из Х (В), такой, что т (з) =т (з)у для любого з щ5 (замечание 3).
В этом случае т есть образ элемента А при гомоморфизме ограниченна Х (Т) -ь -ь Х (2). Поскольку группа йг действует тривиально на Х (3), равенство Ва(А)аа — А ВЛЕЧЕТ За СОбОЙ таа — т, Чтс ИЕВОЭМОжНО; СЛЕдОВВТЕЛЬИО, ва (А)Ф вЂ” А. С другой стороны, если  — билинейная форма иа У, инвариаитиая относительно 6, то для к, у иэ У н з из 3 В (ч (з) к, т (з) у) В (к, у) = т (з)т В (к, у), откуда В=О, и предложение доказано.
Пуст~Б Й(6) — множество классов иеприводнмых непрерывных представлений группы 6 в конечномерных вещественных векторных пространствах. Из предложения 1 и результатов дополнения И получаем бнекцню Ф: И++/Х - 9„(6), где через Х обозначается подгруппа «1, — вз) в АН1(Х(Т)). Более точно, пусть ДшИ++, и пусть Е,— представление группы Ли 6 со старшим весом Х; тогда Ф((л,— вэ(х)))=е, 1„1, если Ать — вз(х) или если ~ ()ь к„) 1ь2х, а~а „ Ф([А,— вам))=ЕЕ если А — вэ(Х) и ~ (гь К„) щ2Х, ама+ где Е! является !1-структурой иа Еь инварнаитной относительно 6. 8. Кольт[о )т (6) Пусть)7 (6) — кольцо классов (непрерывных коиеч номерных комплексных) представлений группы 6 (А(у., сйар. ЧШ, $10, и б).
Если т — представление группы Лн 6, то через [т[ будем обозначать его класс в В (6). Еспн т и т' — два представления группы Ли 6, то по определению [т[ + [т'[ =[тФт'[. [Т[[т'[= [т®т'[. Поскольку любое представление этой группы Ли полупросто, Х-модуль А) (6) свободен и допускает в качестве базиса множество классов иеприводимых представлений группы Ли 6; зто множество отождествляется прн помощи теоремы 1 с И++. Отображение т ьь Е (т)ю! индуцирует гомомор- Ю ! т. нвпгиводимые пэедстлвлення ггтпп ли Еб фнзм ! кольца )1(6) в кольцо М(пс) представлений алгебры Ли йс (гл. Ч(П, $7, и'6). Пусты: 6 -1- 6!. (У) — представление группы Лн 6.
Рассмотрим градуировку (У (Т)) х т! векторного С-пространства У. Обозначим через СЬ (У) нли через Со (т) характер градуированного векторного пространства У (гл. Ч1!1, 4 7, и' 7). Если через (е ) „„> обозначить канонический базис кольца 2 [Х(Т)] =2!"'~!', то по определению Сп(т)= ~ (б!ш Ух(Т)) е~. хих<т> Тем самым определен (там же) гомоморфизм колец, также обозначаемый через СК из )7 (6) в 2 [Х(Т)]. Если группа Ли 6 полупроста, то имеет место коммутативная диаграмма !7(6) — 2 [Х(Т)] сь (1) Я(пс) сь 2(Р) где через Р обозначается группа весов системы !х (йс, !с), а через 6— гомоморфизм, полученный из 6. Группа Вейля йт действует автоморфизмами в группе Х (Т) и, следовательно, в кольце 2 [Х(Т)) Согласно предложению б из $4, и'3, образ гомоморфизма СИ содержится в подкольце 2 [Х (Т)]~, состоящем нз элементов, иивариантных относительно группы Мт.
Пэвдложение 2. Гомоморфизм Сй индуцирует изоморфизм кольца )1(6) на 2[Х(Т)]~. Для ЛщХэ+ обозначим через [Л] класс в )1 (6) непрнводимого представления со старшим весом Л. Поскольку семейство ([Л])„х образует базис 2-модуля А'(6), достаточно доказать следующее утверждение: Семейство (СЛ [Л])х х образует базис 2-модуля 2 [Х(Т)] и, Для любого элемента и= ) аке" из 2 [Х(Т)] назовем максимальными членами элемента и такие ахе~, что Л вЂ” максимальный элемент множества тех реиХ(7), для которых а„~О. Из теоремы 1 вытекает, что элемент Сп [Л] обладает единственным максимальным членом, э именно е'. Теперь предложение вытекает из следующей леммы: Леммк 3.
Для каждого ЛенХч.+ обозначим через Сс элемент из 2 [Х (Т)] и, имеющий единственный максимальный член е". Тогда семейство (С,)хмх образует базис в 2 [Х(7)] +э Доказательство проводится так же, как доказательство предложения 3 из гл. Ч1, $3, и'4, с заменой А на 2, Р иа Х(Т) н РПС на Х++. Пусть 9 (6) (соотв. 9 (Т)) есть С.алгебра непрерывных представляющих функций на 6 (соотв.
Т), и пусть 26 (6) (соотв. 8 (Т) и) — подалгебра, гл. ~х. комплктныв ввщвстввнныв гттппы ли состоящая из центральных (соотв. инвариантных относительно йу) функций из 9(6) (соотв. 9(Т)). Отображение ограничения 9(6)- 9(Т) индуцирует гомоморфизм колец г: ЕВ (6) - 9 (Т) и. С другой стороны, отображение, которое представлению т ставит в соответствие его характер (т.
е. функцию уь Тг т(у)), продолжается да гомоморфизма С-алгебр Тг: С® х й (6) - 29 (6), который, согласно Тй. зрес., является иэоморфизмом. Аналогично из канонического вложения Х (Т) — 0 (Т) получаем изомарфизм С-алгебр ы С [Х (Т)[ -+-9 (Т), который индуцирует изоморфизм в'. С [Х(Т)] -~ 9(Т)~. Диаграмма СЭ Ю(6) С [Х(Т)[ (2) тсф 1с 29 (6) — -~ 9 (Т) коммутагиена: действительно, для любого представления т. '6-ь ОЕ(т) и любого 3тпТ Тг т(1)= ~ (гйщ т' (Т)) Е(1)= (Сит) (1), хм21г1 т.
е. (г~Тг) [т[ =(г е СЬ) [т[. Теперь из предложения получаем следующий результат. Слвдствнт. Отображение ограничения г. '29(6)- 9(Т)~ есть биекцил. 4. Формула характеров В этом пункте группа Х(Т) считается мультипликативной, а ее элементы рассматриваются как комплекснозначные функции на Т. Туредлолагается, что элемент р из Х (Т) ® ь) иринодлежиг Х (Т). Через Е'(Т) обозначим гильбертово пространство классов комплексных функций, квадратичпо интегрируемых на Т, а через 9 (Т) — надпространство, состоящее из непрерывных представляющих функций. Согласно ТЛ.
зрес., Х (Т) образует артонормированный базис в Е' (Т) и алгебраичесиий базис в 9 Щ. Для [щ Ез (Т) и и щ $'обозначим через ) элемент нз Е~ (Т), определяемый равенством "[(1)=[(ю '(1)). Тогда для ЬщХ(Т) имеем "Е=ю(Е). Обозначим через е: )г — [1, — 1) сигнатуру (единственный гомомарфизм, такой, что г (г)= — 1 для любого отражения з). Для [епйз(Т) положим у([)=Х Если ЛгпХ++, то все характеры "(1р) разлкчпы; в самом деле, достаточно доказать, что (Ер) Ф Ер для любого в те 1. Однако это следует из леммы 1 (и' 1) и из соотношений (Ер, К„) = (Е, К ) +1)Одлялюбогополажительною корня а. В качестве следствия получаем 1 т.
нептиводимые птедстьвления гттпп ли !! l (Лр) !! т = С а г б ( Иг) = и (0). Говорят, что элемент ) ~ ьт (Т) антиинвариантен, если 1=-е (и) 1 для любого ю ы йт (т. е, если *1= — (для любого отражения з). Покажем, что — У вЂ” ортогональный проектор пространства Е (Т) на надпространство 1 т ы (б) антиинвариантных элементов. Действительно, пусть ), 1' — элементы из ь~(Т), причем 1' антиннвариантен; тогда элемент У()) антиннварнантен н <Г,Т())>= ~.
е(ю)<(', )>= ~„< Г, !>= Доказательство проводится так же, как доказательство предложения 1 из гл. Ч!, $3, п' 3. Согласно предложению 2 из гл. Лг1, 4 3, п'3, '()= П('-" ')= 'П( — ): >о а)0 (3) следовательно, У(р) У(р)=п (и — 1). (4) Отсюда ввиду следствия 2 теоремы ! (4 6, п' 2) получаем такой результат: Леммх4.
Если у и ф — две центральнь»е непрерывные функции на О, то имеет место формула тй)ф(у)ду= (б) ~(ц(г)т(р)(г))(ф(г)т(р)(т))йд 1 Для любого ЛяХ».ь обозначим через Хг характер неприводнмого представления группы 6 со старшим весом Л. Теотемь 2 (Г, Вейль). Для любого Л~Х» и справедливо равенство Т(р)х !Т-Т(Лр) Функция'У(р)ул!Т антиинварнантна относительно йт н является линейной комбинацией с целымн коэффициентами элементов из Х (Т). Тогда, согласно предложению ! из гл. ЪЧ, $3, п'3, она запнсываетси в виде Пгедложенне 3. Элементы Т(Лр)Яю(0), где ЛеиХ» +, образуют ортонормированный базис надпространства антиинвариантных элементов в ь' (Т) и алгебраический базис надпространства антиинвариантных элементов в 9 (Т). ГЛ.
[Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ вв а„г(рр), где р пробегает Хь+ и где аь — целые числа, из которых лишь Е ° конечное число отлично от нуля. Поскольку ~ !ХА(й)! йй=! (Тл грег.). о из предложения 3 н леммы 4 получаем равенство~ (аь) = 1, откуда полут чаем, что все а„равны нулю, за исключением одного из них, равного 1 или — 1.