Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли

Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 19

Файл №947353 Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики) 19 страницаБурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353) страница 192013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

3) Пусть т: 6 — б1 (У) — неприводимое представление. Существует такой элемент у из Х (С (С)), что т(з) о т (з) и для э~С(6), орн У: действительно, т (С (6)) содержится в коммутапте т (6), который равен С*.1у (А(и.. сйар. ЧП1, $3, и' 2, Сь 1). Для любого веса !р представления т ограничение Д на С(6) совпадает с у. 4) Определенна и результаты из гл. Ч1П, $7, пп'2 — б.

без труда обобщаются иа данный случай; мы предоставляем сделать это читателю. Птедложение 1. Пусть т: 6 - бб (У) — неприводимое представление группы Ли 6 со старшим весом й~Хьь. Пусть ш — целое число Е ()р, Кр), и пусть шр — такой элемент группы Вейля, что юр ()7+)= я, =)7 (гл. Ч1, $1, и' б, следствие 3 предложения 17). Имеет место один из трех случаев: а) сер (А)= — А и число ш четно. Тогда существует инвариантная относительно 6 невырожденная симметрическая билинейная форма на У; т— представление веществеюшго типа (дополнение П). б) сер(А)чь — 1,.

Любая инвариантная относительно 6 билинейная форма на У равна нулю; т — представление комплексного типа (там ясе) . в) сер(А)= — )р и число пр нечетно. Существует инвариантная относительно 6 невыропсденная знакопеременнал билинейная форма на У; т— представление кватернионного типа (там же). Если ограничение представления т на С(6)р нетривиально, то имеет место случай б) . Билинейная форма В на У инвариантна относительно 6 тогда н только тогда, когда она инвариантна относительно йс (гл.

1П, $6, и 5, ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН следствие 3). Если группа Ли 6 полупроста, то доказываемое предложение следует иэ предложения 12 из гл. Ч!И, $7, п'5, и из предложения 3 дополнения И. В общем случае положим С (6)А=В и огождествнм Х (Т/Б~ с подгруппой в Х(Т) (ииварнантной относительно МГ). Если т(3)=[!у[, то т индуцирует прн переходе к факторпредставлению представление т". 6/Ю-» -ь б!.(У) со старшим весом А; в этом случае предложение следует из вышесказанного, примененного к 6/5. Предположим, что т (3) чь[1У). Тогда существует ненулевой элемент ч из Х (В), такой, что т (з) =т (з)у для любого з щ5 (замечание 3).

В этом случае т есть образ элемента А при гомоморфизме ограниченна Х (Т) -ь -ь Х (2). Поскольку группа йг действует тривиально на Х (3), равенство Ва(А)аа — А ВЛЕЧЕТ За СОбОЙ таа — т, Чтс ИЕВОЭМОжНО; СЛЕдОВВТЕЛЬИО, ва (А)Ф вЂ” А. С другой стороны, если  — билинейная форма иа У, инвариаитиая относительно 6, то для к, у иэ У н з из 3 В (ч (з) к, т (з) у) В (к, у) = т (з)т В (к, у), откуда В=О, и предложение доказано.

Пуст~Б Й(6) — множество классов иеприводнмых непрерывных представлений группы 6 в конечномерных вещественных векторных пространствах. Из предложения 1 и результатов дополнения И получаем бнекцню Ф: И++/Х - 9„(6), где через Х обозначается подгруппа «1, — вз) в АН1(Х(Т)). Более точно, пусть ДшИ++, и пусть Е,— представление группы Ли 6 со старшим весом Х; тогда Ф((л,— вэ(х)))=е, 1„1, если Ать — вз(х) или если ~ ()ь к„) 1ь2х, а~а „ Ф([А,— вам))=ЕЕ если А — вэ(Х) и ~ (гь К„) щ2Х, ама+ где Е! является !1-структурой иа Еь инварнаитной относительно 6. 8. Кольт[о )т (6) Пусть)7 (6) — кольцо классов (непрерывных коиеч номерных комплексных) представлений группы 6 (А(у., сйар. ЧШ, $10, и б).

Если т — представление группы Лн 6, то через [т[ будем обозначать его класс в В (6). Еспн т и т' — два представления группы Ли 6, то по определению [т[ + [т'[ =[тФт'[. [Т[[т'[= [т®т'[. Поскольку любое представление этой группы Ли полупросто, Х-модуль А) (6) свободен и допускает в качестве базиса множество классов иеприводимых представлений группы Ли 6; зто множество отождествляется прн помощи теоремы 1 с И++. Отображение т ьь Е (т)ю! индуцирует гомомор- Ю ! т. нвпгиводимые пэедстлвлення ггтпп ли Еб фнзм ! кольца )1(6) в кольцо М(пс) представлений алгебры Ли йс (гл. Ч(П, $7, и'6). Пусты: 6 -1- 6!. (У) — представление группы Лн 6.

Рассмотрим градуировку (У (Т)) х т! векторного С-пространства У. Обозначим через СЬ (У) нли через Со (т) характер градуированного векторного пространства У (гл. Ч1!1, 4 7, и' 7). Если через (е ) „„> обозначить канонический базис кольца 2 [Х(Т)] =2!"'~!', то по определению Сп(т)= ~ (б!ш Ух(Т)) е~. хих<т> Тем самым определен (там же) гомоморфизм колец, также обозначаемый через СК из )7 (6) в 2 [Х(Т)]. Если группа Ли 6 полупроста, то имеет место коммутативная диаграмма !7(6) — 2 [Х(Т)] сь (1) Я(пс) сь 2(Р) где через Р обозначается группа весов системы !х (йс, !с), а через 6— гомоморфизм, полученный из 6. Группа Вейля йт действует автоморфизмами в группе Х (Т) и, следовательно, в кольце 2 [Х(Т)) Согласно предложению б из $4, и'3, образ гомоморфизма СИ содержится в подкольце 2 [Х (Т)]~, состоящем нз элементов, иивариантных относительно группы Мт.

Пэвдложение 2. Гомоморфизм Сй индуцирует изоморфизм кольца )1(6) на 2[Х(Т)]~. Для ЛщХэ+ обозначим через [Л] класс в )1 (6) непрнводимого представления со старшим весом Л. Поскольку семейство ([Л])„х образует базис 2-модуля А'(6), достаточно доказать следующее утверждение: Семейство (СЛ [Л])х х образует базис 2-модуля 2 [Х(Т)] и, Для любого элемента и= ) аке" из 2 [Х(Т)] назовем максимальными членами элемента и такие ахе~, что Л вЂ” максимальный элемент множества тех реиХ(7), для которых а„~О. Из теоремы 1 вытекает, что элемент Сп [Л] обладает единственным максимальным членом, э именно е'. Теперь предложение вытекает из следующей леммы: Леммк 3.

Для каждого ЛенХч.+ обозначим через Сс элемент из 2 [Х (Т)] и, имеющий единственный максимальный член е". Тогда семейство (С,)хмх образует базис в 2 [Х(7)] +э Доказательство проводится так же, как доказательство предложения 3 из гл. Ч1, $3, и'4, с заменой А на 2, Р иа Х(Т) н РПС на Х++. Пусть 9 (6) (соотв. 9 (Т)) есть С.алгебра непрерывных представляющих функций на 6 (соотв.

Т), и пусть 26 (6) (соотв. 8 (Т) и) — подалгебра, гл. ~х. комплктныв ввщвстввнныв гттппы ли состоящая из центральных (соотв. инвариантных относительно йу) функций из 9(6) (соотв. 9(Т)). Отображение ограничения 9(6)- 9(Т) индуцирует гомоморфизм колец г: ЕВ (6) - 9 (Т) и. С другой стороны, отображение, которое представлению т ставит в соответствие его характер (т.

е. функцию уь Тг т(у)), продолжается да гомоморфизма С-алгебр Тг: С® х й (6) - 29 (6), который, согласно Тй. зрес., является иэоморфизмом. Аналогично из канонического вложения Х (Т) — 0 (Т) получаем изомарфизм С-алгебр ы С [Х (Т)[ -+-9 (Т), который индуцирует изоморфизм в'. С [Х(Т)] -~ 9(Т)~. Диаграмма СЭ Ю(6) С [Х(Т)[ (2) тсф 1с 29 (6) — -~ 9 (Т) коммутагиена: действительно, для любого представления т. '6-ь ОЕ(т) и любого 3тпТ Тг т(1)= ~ (гйщ т' (Т)) Е(1)= (Сит) (1), хм21г1 т.

е. (г~Тг) [т[ =(г е СЬ) [т[. Теперь из предложения получаем следующий результат. Слвдствнт. Отображение ограничения г. '29(6)- 9(Т)~ есть биекцил. 4. Формула характеров В этом пункте группа Х(Т) считается мультипликативной, а ее элементы рассматриваются как комплекснозначные функции на Т. Туредлолагается, что элемент р из Х (Т) ® ь) иринодлежиг Х (Т). Через Е'(Т) обозначим гильбертово пространство классов комплексных функций, квадратичпо интегрируемых на Т, а через 9 (Т) — надпространство, состоящее из непрерывных представляющих функций. Согласно ТЛ.

зрес., Х (Т) образует артонормированный базис в Е' (Т) и алгебраичесиий базис в 9 Щ. Для [щ Ез (Т) и и щ $'обозначим через ) элемент нз Е~ (Т), определяемый равенством "[(1)=[(ю '(1)). Тогда для ЬщХ(Т) имеем "Е=ю(Е). Обозначим через е: )г — [1, — 1) сигнатуру (единственный гомомарфизм, такой, что г (г)= — 1 для любого отражения з). Для [епйз(Т) положим у([)=Х Если ЛгпХ++, то все характеры "(1р) разлкчпы; в самом деле, достаточно доказать, что (Ер) Ф Ер для любого в те 1. Однако это следует из леммы 1 (и' 1) и из соотношений (Ер, К„) = (Е, К ) +1)Одлялюбогополажительною корня а. В качестве следствия получаем 1 т.

нептиводимые птедстьвления гттпп ли !! l (Лр) !! т = С а г б ( Иг) = и (0). Говорят, что элемент ) ~ ьт (Т) антиинвариантен, если 1=-е (и) 1 для любого ю ы йт (т. е, если *1= — (для любого отражения з). Покажем, что — У вЂ” ортогональный проектор пространства Е (Т) на надпространство 1 т ы (б) антиинвариантных элементов. Действительно, пусть ), 1' — элементы из ь~(Т), причем 1' антиннвариантен; тогда элемент У()) антиннварнантен н <Г,Т())>= ~.

е(ю)<(', )>= ~„< Г, !>= Доказательство проводится так же, как доказательство предложения 1 из гл. Ч!, $3, п' 3. Согласно предложению 2 из гл. Лг1, 4 3, п'3, '()= П('-" ')= 'П( — ): >о а)0 (3) следовательно, У(р) У(р)=п (и — 1). (4) Отсюда ввиду следствия 2 теоремы ! (4 6, п' 2) получаем такой результат: Леммх4.

Если у и ф — две центральнь»е непрерывные функции на О, то имеет место формула тй)ф(у)ду= (б) ~(ц(г)т(р)(г))(ф(г)т(р)(т))йд 1 Для любого ЛяХ».ь обозначим через Хг характер неприводнмого представления группы 6 со старшим весом Л. Теотемь 2 (Г, Вейль). Для любого Л~Х» и справедливо равенство Т(р)х !Т-Т(Лр) Функция'У(р)ул!Т антиинварнантна относительно йт н является линейной комбинацией с целымн коэффициентами элементов из Х (Т). Тогда, согласно предложению ! из гл. ЪЧ, $3, п'3, она запнсываетси в виде Пгедложенне 3. Элементы Т(Лр)Яю(0), где ЛеиХ» +, образуют ортонормированный базис надпространства антиинвариантных элементов в ь' (Т) и алгебраический базис надпространства антиинвариантных элементов в 9 (Т). ГЛ.

[Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ вв а„г(рр), где р пробегает Хь+ и где аь — целые числа, из которых лишь Е ° конечное число отлично от нуля. Поскольку ~ !ХА(й)! йй=! (Тл грег.). о из предложения 3 н леммы 4 получаем равенство~ (аь) = 1, откуда полут чаем, что все а„равны нулю, за исключением одного из них, равного 1 или — 1.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,32 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее