Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следовательно, существует такая числовая функция Ь на (6/Т)ХТ, что (ес)(и, С)=6(и, С) а (и)Л< (С) Теперь заметим, что для Ья 6, ия 6/Т, Ы Т имеем 1(Ст. и, С) = (!п! 6)1 (и, С). Из иивариантности формы ес относительно внутренних автоморфизмов получаем, что 6 (Ьи, С) =Ь (и, С) и, следовательно, 6 (и, С) = =6(в, С).
Обозначим через р:  — В/! отображение перехода к факторалгебре, а через ф: В/С - и — отображение, определяемое формулой ~р(р(Х))=(АЬ С ')Х вЂ” Х для Х~п; напомним ($5, п' 4, лемма 4), что касательное отображение ТСко(1): Т.(6/Т)ХТ (Т) Т (6) переводит (г, С/С) в С(~р(г)+/С) лля губ/С, Ня!. ПУсть гь ..., г„,— элементы из б/! н Нь ...,Н, — элементы нз.
К Тогда 1" ас (в, Т) (гь ..., г„„СНь - СН.) =аа(С)(йр(г~), ..., йр(г,-,), СНь ..., СН,) (согласно определению) = аа(в)(р(г ), ..., ф(г„,), Нь ..,, Н) (поскольку ес инвариантна) =матт(е)(Сир(г1), — рф (г.— )) ат(е)(Нь ..., Н)(п' (, лемма !) = бе! (р р) а сгт (е) (го ..., г„,) е т (в) (Н „., Н ) = =Ьс(С) аагт(е)(гь ..., г„,)ет(С)(СНь ..., СН) (поскольку ет инвариантна) = =Ьс(С)( агтЛат)(е С)(гь ..., г„„СНь ..., СН), откуда 1"ас(е, С)=бс(С)(асгтЛат)(е, С) н, следовательно, 6(е, С)=бс(С). Предложение доказано. Зь вв гл, ж компьктныв вещественные гнтппы лн Снабдим многообразия О, Т н б/Т ориентациями, определяемыми формами ва, ет н ватт соответственно. Тогда зти формы определяют инвариантные меры на О, Т и О)Т (гл.
Ш, $3, и'!6, предложения 55 и 56), также обозначаемые через ва, вт и вот~ Ламма 2. Если во=ватт вт, то $" =1- '1 а атт т Обозначим через я канонический морфизм б в О/Т. Пусть лепб, н пусть 1б, ..., 1,, — элементы из т„~ 1(О/т) Отождествим слой я б(я(й))=дТ с Т прн помощи сдвига т(я).
Тогда соотношение ва= ° ватт вт влечет за собой равенство (Мн., Св., рез., 11А.б) еа С (1 -'! — ) (ватт(1 ° - 1 - )) ет. т 1~ () б) „, бл, б б ., бб.ббб я во= ~ )еа )вт ° ~ ватт (Мн., Св. рез., 1!.4.8). атт б т атт Лнммь 3. Прообраз на (б/Т)Х Т, при локальном гомеоморфизме 1', (Ннтегр., гл. У, 9 6, и' 6) меры йй на б, есть мера !б®ба й1, где ив единственная б-инвариантная мера на О/Т с полной массой 1. ВыбеРем ииваРнаитнУю ДиффеРеициальнУю фоРмУ е т (соотв. ватт) на Т (соотв. О)Т) максимальной степени так, чтобы мера, определяемая формой вт (соотв. ватт),была равна й1(соотв. р).
Положим во — — ватт вт. Из леммы 2 вытекает, что мера, определяемая формой ва, равна йя. Пусть Π— такое открытое подмножество в (О/Т)ХТ„что гомеоморфизм 1, индуцирует нзоморфнзм подмножества б на открытое подмножество У в О,. Пусть бр — непрерывная функция с компактным носителем, содержащимся в У. Обозначим по-прежнему через бр продолжение р на б„ обращающееся в нуль вне множества У. Имеем Ф йв ~ бу во в'~ (брб(б)тб (бьа) ~(~о/,) еаттЛ6а ет (преджмкеиие 1) -1(Ф 1,)йр 6041. Лемма доказана. ГЛ. 1Х.
КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ Обозначим через р: 6/ТХТ- Т проекцию иа второй сомиожитель. 1 Тогда ф ь 1=(~р1Т) р; кроме того, образ меры р ® бе д1 при отображеи (6) 1 нии р есть мера бв дг. Теперь следствие вытекает из теоремы 1 этого пункта и из теоремы 1 из Ннтегр., гл. Ч, $ б, и'2, примененных к двум собственным отображениям / и р. Ни ~ е(й) дй= ~ ~р(й) бе1 (Адгт»(й) — 1) д1Г. о м (6) (Т) Действительно, функция и ь ф(й) де1 (Абгт»(п) — 1) — центральная функция на Н, ограничение которой на Т имеет вид 1»ь ГУ (1) бо(1) бн (1) Теперь следствие вытекает из следствия 2, примененного к группам 6 и Н.
Замечания. 1) Если в следствии 3 положить ~р = 1, то получим формулу ~ де1(Ад»1»(1») 1) дй=щ (6)/Ге (Н) (8) и, в частности, бв (1) д1 ьу (6). 2) Пусть ч — мера на факторпространстве Т/УР, определяемая формулой ф (т) дч (т) = ~ ф (и (1)) бе (1) д!, ттв т где через п обозначается каноническая проекция Т на Т/(Р'. Иэ следствия 2 вытекает, что гомеоморфиэм Т/Ут- 6/1п((6) Ц 2, и'5, следствие 1 предложения 5) переводит меру ч в образ меры ду при канонической проекции 6 -~ 6/!п1(6). 3) Предположим, что группа 6 односвязна.
Пусть А — альков в 1 и дх — мера Хаара на 1, такая, что ~ де=1. Тогда мера т является также образом при гомеоморфизме А — Т/УР ($ б, и' 2, следствие 1 предложения 2) меры Ц ч Гйп я а (х) дх на А. е <о,т> Следствие 3, Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа в 6, содержащая Т, и пусть (! — ее алгебра Ли, а дй — мера Хаара на Н с полнои массой 1. Пусть ~р — интегрируемая центральная функция на 6 со значениями в некотором банаховом пространстве или в м. Тогда функция Ь ь-ь р (й) де( (Ад 1» (Ь) — 1) центральна и интегрируема на » о.
интегрйровьние в компьктных ггтппьх ли Пример. Возьмем в качестве б группу Б!) (2, С), а в качестве Т— подгруппу диагональных матриц ($3, и' 6); отождествим ! с (! прн помощи выбора базиса «Н) в ! (там же). Положим А =)О, я(; это альков в !. Отрезок А =(О, и) отождествляется с пространством классов сопряженныхх элементов в группе Ли б, причем элемент 0 из А соответствует классу элементов, сопряженных элементу ~ !.
Пусть д0 — мера Лебега 0 е (О, и); из предыдущих рассуждений получаем, что мера на А, образ меры 2 э Хаара на группе Ли 6, совпадает с — гдп 0 д0 8. )хнтегрирование в алгебрах Ли Предложение 2. Пусть Н вЂ” (вещественная) группа Ли равмерносри т и « — ее алгебра Ли. Пусть мв — правоинвариантная дифференциальная форма степени тп на Н, и пусть м» вЂ” дифференциальная форма степени рп на «, инвариантная относительно сдвигов и совпадающая в начале координат с мн(е). Тогда (ахун) дее Х» м», (! О) где Х» — функция на «, инвариантная относительно действия Аб (Н) и такая, что дн ддд с од*))д * д.
»,рэо Од+ ) Пусть х, хд, ...,х — элементы из «. Имеем (ехрь мп),(хь ...,х„г=(ме (ехр х))(Т,(ехр) (х,), ..., Т„(ехр) (х„)). Обозначим через гп(х): «-ь «левый дифференциал экспоненциального отображения в точке х (гл. Ш, $3, п' (7, определение 8); согласно определению, Т,(ехр) (у) (ехр х) '=пг (х)у для любого уон«. Ввиду того что форма одн левоииварнантна, получаем (ми (ехр х)) (Т, (ехр) (х,), ..., Т (ехр) (х )) д ' же (е) (пг (х) х ь ..., щ (х) х ) = =(дегщ(х)) в»(хь ...,х ), н, следовательно, ехр' ме — — ь» м» для д»(х)=дегщ(х)=де!'"" " (гл. !П, $6, и'4, предложение (2). Пусть понН; поскольку Ад й — автоморфиэм алгебры Ли «, ГЛ. )Х.
КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ аб ((Аб й) (х)) = Аб й»Ад х»(А б й) откуда Аь((АЙ й)(х))=))ь(х). Таким образом, функция )»ь инвариантна относительно Аб (Н), чем завершается доказательство предложения. Замечание. Рассмотрим функцию йе ассоциированную с компактной группой Ли б. В силу теоремы 1 из $2, п' 1, для вычисления ))» достаточно знать ее значения нв 1. Однако для любого «епт зндоморфизм аб х алгебры Ли В полупрост и допускает в качестве собственных значений 0 (с кратностью г) и 6(а) (х) лля любого ая)! (б, Т) (с кратностью !). Отсюда сразу получаем формулу ,ь(.)(.) АА б(и)(«) я (х)' аая(о, т) ь где б (х)=бе(ехрх) и я (х)аа П 6(а)(«)=бе!ай „(х). чае (о, т) Пусть аогг — инвариантная дифференциальная форма на'С/Т степени и — г и ь», — дифференциальная форма степени г на 1, инвариантная относительносдвигов.
Вобозиачениях п' 1 пустьао)т а~ — единственная дифференциальная форма а, степени н на В, инвариантная относительно сдвигов и такая, что а»(0)=магг(е) а,(0). Наконец, обозначим через ф: (С/Т) Х ! -» И морфизм, полученный факторизацией из отображения (у, х)»» (Аб у) (х) из СХГ в В. ПРедложение 3. Пусть а, аь ао)г — инеариантные дифференциальные формы соотеетстеенно на у, (, б/Т степени н, г, и— — г. Если а»=ао!г -аь то Ф* а» аоГГЛ "» а» где и — функция на 1, определяемая формулой и (х)аа Ц б(а)(х).
аая(О,Т) Обозначим через ао (соотв, аг) инвариантную дифференциальную форму максимальной размерности на б (соотв. Т), совпадающую в начале координат с а» (соотв. а,). Рассмотрим коммутативную диаграмму (С/Т)Х14- и ) ((ц»»тт) (»*Рь (б/Т)Х Т вЂ” С Принимая во внимание предложение 1 из п' 2 и соотношение ехртат=аь получаем равенство ф» ехр»оао аогтЛ6»ае » 1 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ В КОМПАКГНЪ|Х ГРУППАХ ЛИ Тз Согласна предложению 2, »Р» ехр' Го =(ф')ч) ф'мк Поскольку функция А инвариантна относительно Ай(С), имеем бэ (х) (ф» Х )(й), х)=Х (х) для йенС/Т, хее1. и (х) ОтсюДа следУет, что фоРмы ф» ма (й, х) и и аут (й)Ц и (х) м, (х) совпада- ют в тех точках, где функция 6, (х) не равна нулю, т.
е. совпадают на аткры. том платном подмножестве (С/Т)Х1,. Следовательно, формы ф»ма(й, х) н ма т(й)Т) п,(х) м,(х) совпадают всюду. Предложение доказана Выберем инварнантные дифференциальные, формы максимальной сте. пенн |ьа на С н мт на Т, такие, что)мв( йй и !мт)=йй Обозначим через м, (саотв. и,) инвариантную относительно сдвигов дифференциальную форму на В (соотв. 1), совпадающую с ма(е) (соотв. с мт(г)) в начала координат, а через йх (соотв.
йх) — меру Хаара )м ) (соотв. )и)(). Рассуждая пш1айз Гпп(апй(з, как в п'2, получаем следующее предложение: 1 Пэедложение4. Мера йх на й есть обрил мера йй® и,йх ири собственном атабразсении (й', х))-ь(Ай й)(х) из СХ1 в й. Мы предоставляем читателю самому сформулировать и доказать аналоги следствий с 1 по 3 и замечаний с 1 по 3 из и' 2. Например, пусть ф— интегрируемая функция на я (со значениями з некотором банаховом пространстве или в й), тогда 1 ° )) ш* 1) 1»))А)»))))»») А) ) ш . 6 (12) и, в частности, если )р инвариантна относительно Ад(С), то ~ )р ( ) й = — ~ ф ( ),( ) й Ю | (13) й. Интегрирование сечений векторного расслоения В этом и следующем пунктах через Х обозначается вещественное многообразие класса С' (1(г~, оо) локально конечной размерности. Пусть у — многообразие класса С". Если г( оо, рассмотрим отображение!)-»у'(1) из в'(Х; У) в в (Х; Р(Х, У)) (Мн., Св рез., !2.37).
Прообразз относительно этого отображения топологии компактной сходимости на в (Х; у'(Х, У)) называется топологией компактной С'-схааимости на Ф' (Х; У); эта есть верхняя грань топологий равномерной С'-сходимости на К (МН„Св. рез., 12.3.10), когда К пробегает все компактные подмножества вХ. Если г= оо, то топологией компактной С -сходимасти на в (Х; У) называется верхняя грань топологий компактной С'-сходимости, или, ГЛ.!Х.
КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН 74 другими словами, самая слабая из топологий, в которых непрерывны канонические вложения о (Х; У)-»'Р~(Х; У) для 0(й~оо. Пусть Š— вещественное векторное расслоение класса С' с базой Х, и пусть У" (Х; Е) — векторное пространство сечений класса С' расслоения Е. В этом пункте будем считать, что пространство ~'(Х; Е) наделено топологией, иидуцированиой топологией компактной С'-сходимости на 'в'(Х; Е), вновь называемой топологией компактной С'-сходимости. Эта топология превращает ~'(Х; Е) в полное отделимое локально выпуклое топологическое векторное пространство (см. Мн., Св. рвз., 15 3 1 и Тй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
