Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Отсюда получаем Следствие 2. Пусть Н вЂ” замкнутая подгруппа в б. а) Каноническое влоясение И (6/Н)о - И (б/Н) есть гомотопизм. б) Комплекс И (6/Н) отоясдествляется с подкомллексом в АН (9), состоящим из элементов в из АН (9), инвариангных относительно присоединенного представления группы Н и таках, что!(Ц в=О для любого $ев еп Ь (Н). Если, кроме того, группа Н связно, го этот подкомллекс состоит из таких форм ваАН (9), что 8 (5) в=О и! (8) в=О для любого реп Ь (Н). $7. Непрпподимые представления связных компактных групп Ли ~) Обозначения $ б сохраняются. Представлением группы Ли б называется любой непрерывный (следовательно, аналитический) гомоморфизм группы Ли 6 в группу Ли 61.
(У), где Р— комплексное векторное пространство конечной размерности. Любое представление группы Ли 6 полуприсев!! ($1, п' 1). Выберем 'камеру С в! ($5, п'2) и полански Г (Т)++=СПГ (Т). О В этом к следукеиех параграфах ссылка Тй. зргс, означает еосеящеипую линейным ерехстаелеиняи компактных групп глазу французского издания книги «Тееог«гз Бресиа!езз, которая готовится к печати. гл. ~х. компактные вещественные гэтппы ли У. Домимаитмыа аеоа Обозначим через Хь множество элементов Х нз Х(Т); такнх, что (Ц к) ~0 для любого кыГ Щь+, т. е.
таких, что лннейная форма б(Ц: !с ~- С отображает камеру С пространства ! в !!1+. Наделнм Х (Т) структурой упорядоченной группы, для которой положнтельнымн элементамн являются элементы нз Хь. Положим Кь= =тг(б, Т) ()Х+ н Р = — йь. Элементы нз йь называются полохситгльными корнями, а элементы нз Я вЂ” отрицательными корнями.
Любой корень является либо положительным, либо отрицательным (гл. Ч1, 4 1, п'6, теорема 3). Положительный корень, который не является суммой двух положительных корней, называется простым. Любой положнтельный корень является суммой простых корней (там зсг). Простые корнн образуют базнс подгруппы в Х (Т), порожденной корнями. Эта подгруппа отождествляется с Х(Т/С(б)) ($4, п'4). Отражения относительно простых корней порождают группу Вейля В'= Яуо(Т) (гл.
Ч1, $1, п' 5, теорема 2). Лемма 1. Пусть Х вЂ” элемент из Х Щ. Следующие условия эквивалентны: (!) Х вЂ” ю (Ц~О (соотв. >О) для любого шя йе, такого, что ш~1; (й) для любого шея 57, такого, что ю ~ 1, Х вЂ” ю (ь) есть линейная комбинация простых корней с неотрицательными (соотв. неотрицательными, нг равными одновременно нулю) коэффициентами; (й!) (Ц К,) ь О (гоств. ) 0) для любого полохитгльного корня а; ((т) (Ц К ) >О (сиота. - 0) для любого простого корня а. Эквивалентность ()й) н (!т) очевидна.
Поскольку множество всех К, отождествляется с дуальной к К(6, Т) системой корней ($4, и" 5), то эквивалентность утверждений (!) н (!й) вытекает нз предложения!8 н след. стеня нз гл. Ч1, 4 1, п'6. Имплнкацня (й) ь(!) тривиальна, а обратная нмплнкацня также вытекает нз гл. Ч), $1, и'6. Обозначим через Х++ множество элементов нз Х(73, таких, что (Ц К„) >О для любого положительного корня а. Элементы нз Х+ь называются доминантными.
Они образуют фундаментальную область для Му в Х(Т) (гл. Ч1, 4 1, п' 10). Имеем Хьь~Х+. Если группа б односвязна, то для каждого простого корня а существует элемент пг„нз Х (Т), такой, что (и!ь, К,) =,б,ь для любого простого корня(),т.е.
г,(пз )=тп — а,зз(п1„)=тп длялюбогопростогокорня(!~а. Элементы от, называются фундаментальными доминантными весами. Онн образуют базнс коммутативной группы Х Щ н коммутативного мононда Хьь; другими словами, любой элемент Х нз Х(Т) записывается в виде й =~ (Ц К.> тп.. а Обозначим через р такой элемент нз Х(Т)®(г, что 2р= у а. чей т 1 т. нкпьиводимыв пьедстьвлвния гьтпп ли В! Тогда (р, К ) =!для любого простого корняа (гл. Ч1,$1, и'10, предложение 29).
Если группа Лн О односвязна, то р есть сумма фундаментальных доминантных весов. 2. Старгаий вес иеириводилгога представления С любым представлением т: О-ь ОЕ(У) ассоциируется гомоморфизм ь(т)1с! С-алгебры Лн йс в пространство Епб (У), продолжающий линейное представление 1. (т) алгебры Ли и в вещественном векторном пространстве, лежащем ниже У (гл. 1П, $3, п' 11). Согласно предложению 7 из 6 4, и' 3, отображение 6 нз Х (Т) в Нощс(1с, С)=ф бнективно отображает множество весов представления т относительно Т на множество весов пРедставлении 7.(т)<с1 относительно подалгебРы КаРтана 1с в йс.
Лкммь 2. Пусть у — линейное представление комплексной алгебры Ли Пс в комплексном векторном пространстве У конечной размерности Лля существования представления т группы Ли О в пространстве У, тако.го, что !. (т)1с! — — <р, необходимо и достаточно, чтобы ф было полупросто, а веса модуля У относительно подалгвбры Каргана 1с принадлежали 6 (Х (7)). Если существует представление т группы Ли О, такое, что 1. (т)1с1= =р, то представление ~р полупросто, так как О связна, представление т полупросто (гл.!11, $6, п' 5, следствие 2 предложения 13), а веса модуля У относительно 1с принадлежат образу отображения 6. Таким образом, необходимость доказана; докажем достаточность.
Если ф полупросто, У есть прямая сумма пространств У„(1с), где р пробегает множество весов модуля У относительно 1с (гл. Ч! 1, $2, п' 4, следствие 3 теоремы 2) . Если все веса принадлежат образу отображения 6, то существует такое представлЕние тт тоРа Т в пРостРанстве У, что !. (тт)<с! У~!с: действительно, достаточно положить тт(1) о=1 о дляггиТ н ощ Уьпг(ег).
Таким образом, лемма следует нз предложения 8 из $2, п'6. Тиотемь 1. а) Пусть т: О -ч- б1. (У) — нгприводимое представление группы Ли О. Тогда множество весов представления т (относительно Т) имеет максимальный элемент Х вЂ” старший вгс, который является доминантным весом, и пространство Уь(Т) одномерно. б) Для того чтобы два неприводимык представления группы Ли О были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их сгаришг веса были равны.
в) Для любого доминантного элемента Х из Х (Т) существует неприводимов представление группы Ли О со старшим весом Х. Согласно лемме 2, классы эквивалентности иепрнводимых представлений группы Лн О биективно соответствуют классам непрнводимых 82 ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН конечномерных представлений алгебры Лн 6 со старшнмн асса ма, прннадлежащнмн б(Х(Т)).
Обозначим через Фйс центр, а через йгйс — производную алгебру алгебры Лн йс, так что йс='6'йс® йгйс. Для любой лннейной формы !А на 1сП Фйс обозначим чеРез Е (Р) пРостой йгйсмодУль, введенный в гл. У1П, $6, и'3. Для любой линейной формы т на ейс через С(т) обозначим ассоцннрованный ейс-модуль размерности ! над С. Тогда йс-модулн С (У)®Е (и) просты, и, согласно следствию 2 теоремы 1 пз гл. Ч1П, $7, и' 2, и .41п., сйар. Ч111, $11, п' 1, Оь 1, любой простой конечномерный йс-модуль нзоморфен йс-модулю вида С(ч)й!Е(р); кроме того (том же), модуль С (ч)® Е (р) имеет конечную размерность тогда н только тогда, когда чнсла р (Н,) целые и положнтельные для любого простого корня а.
еслн через У+я обозначить линейную форму на Ес, которая нндупнрует форму У на 66с н форму р на 1сП йгйо то (ч+ р) (н ) =р (н ); кроме того, веса модуля С (У)8 Е(р) имеют внд У+А, где А пробегает веса модуля Е(п),т.е. Нмеютвнд у+и — О, где Оенб(Х+) (гл. У!11,$6, и'2,лемма 2), Отсюда заключаем, что 6-модуль С (У) Э Е (!ь) нмест конечную размерность тогда и только тогда, когда числа (т+п)(Н ) целые н неотрицательные для любого простого корня а, а его веса принадлежат 6(Х (Т)) тогда н только тогда, когда у+ р прннадлежнт 6 (Х (Т)). Объеднненне этнх двух угловнй означает, что ч+р прннадлежнт б(Х++); вэтом случае ч+р— старший вес модуля С (ч)ЧВ Е (и). Тем самым для любого домннавтного элемента Х нз Х (Т) построено непрнводнмое представление группы Лн б со старшим весом А, а также получены, с точностью до эквнвалентностн, все непрнводнмые представлеаня этой группы Лн.
Так как векторы веса У+ р нз С(ч)Э Е(р) образуют подпространство размерностн 1, то теорема доказана. Следствне Груннп Ли б имеет точное шнейное иредстооление (конечной размерности). Сначала заметим, что любой элемент нз Х(Т) равен разностн двух доминантных элементов: более точно, пусть ш — такой элемент нз Х.Р+, что ( ш, Х„) >О для любого простого корня а; для любого ХаеХ (Т) существует такое целое положительное чнсло н, что (й+яш, )(,) )О для любого простого корня а, т. е. (и' 1, лемма 1) А+нш сяХ++. Отсюда следует, что существует конечное семейство (Ч,, элементов нз Хч.
ч, порождающее Х-модуль Х (Т). Для 1еп( обозначим через т; непрнводнмое представление группы О со старшим весом )ч (теорема 1) . Пусть т — прямая сумма представленнй ть По построенпю множество Р(т, Т) весов представления т (относнтельно Т) порождает Е-модуль Х (Т). Тогда нз предложення 6 нз $4, и' 3, вытекает, что гомоморфнзм т ннъектнвен, и следствне доказано. Замечания. 1) Пусть и+ — подалгебра в йс, являющаяся суммой 6" для а)О. Пусть т: 6 - О1.
(У) — непрнводнмое представленпе со стар- $7. НЕПРИВОЛИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ 83 шим весом )ррнХэ ю а т'.пс- 8! (У) — представление, полученное из т. Тогда Уь(7) — надпространство, состоящее из тех векторов оы У, для которых т'(х) Р=О для любого хрип<.. В самом деле, это следует из соответствующего утверждения для пс-модулей С (У)® Е (р) (гл. Ч1П, $6, и' 2, предложение 3). 2) Пусть В (6) — алгебра непрерывных представляющих функций на 6 со значениями в С (А1й., сЛар. Ч1П).
Пусть группа Ли 6 действует на 9 (6) левыми и правыми сдвигами. Для каждого ДеиХ++ обозначим через (Уь т ) неприводимое представление группы 6 со старшим весом Л (теорема 1), а через (У1, ть) — контрагредиентное представление (гл. П!, $3, и' 11). Тогда; согласно ТЬ. зрес., представление группы Ли 6 Х 6 в проостранстве 9 (6) изоморфно прямой сумме представлений (УГЭ У1, тьЙ!ть), где А пробегает Хэ+. Из замечания 1 получаем следующее утверждение. Пусть йрн Хт т, и пусть Еь — надпространство в 9 (С), состоящее из таким непрерывных представляющих функций!'на 6, что!(йг)=ь(1) '((й) для любого дя 6 и любого Ген 7, а !эх=О для любого хгеп = 9 й . Тогда я<0 пространство Ех устойчиво относительно левых сдвигов, представление еруппы 6 в Еь при помощи левых сдвигов неприводимо и имеет старший вес ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
