Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Эти различные действия согласуются с морфизмами 1, ф и фл! для и та я С /Т, ! тм Т, х я 1, у а А, ю а йг, ы ы йу,', !г т= Нд !((и, 1) ю) = ! (и, 1), ер ((и, х)ль) = ф (и, х), фл ((и, у) й) = фл (и, у). Леммх 4. Пусть ден 6, !еТ, и пусть у — образ элемента у в 6/Т. Отождествим касательное пространство к С/Т (соотв. Т, соотв. 6) в точке у (соотв. 1, соотв, у(д ') с й/1 (соотв. 1, соотв, й) при помощи левого сдвига у(д) на элемент д (соотв. 1, соотв.
у(у '). Тогда линейное отобра- жение, касательное к 1' в точке (д, 1), отоясдествляется с отображением Г'! (й/1)Х1-+ й, определяемым следующим образом: если гснй, хя1 и ес- ли г обозначает образ в й/1 элемента г, то /' (г, х) =(Аб у! ') (г — (Аб 1) г+ х). Пусть г — такое отображение из СХТ в Т, что г" (д, !) у1у '.
По- скольку г" (у (у), 1бт)=1П1 деР, то Т <г П(Г) (уг, 1х) = Т~ (1 п1 д) Тв О (г") (г, 1х), Согласно предложению 46 из гл. 1П, $ 3, и' !2, То, о (г) (г, !х) = 1 ((Аб 1 ) г — г)+ !х = 1 ((АЙ 1 ) (г — (Ай 1) г+ х)), и в качестве следствия получаем Тоь о (г") (уг, гх)=д(у ' ((Ас! у1 ') (г — (Ай 1) г+х)). Доказательство леммы вытекает из этой формулы прн переходе к фактор-группам. ПРедложение4. а) пусть уяС, гет, хен1, и пусть д — образ элемента у в С/Т.
Следующие условия эквивалентны: (!) 1яТ, (соотв. хя1,). (! Ь!Е) Элемент ) (у, 1! (соотв. ф(у, х)) регулярен в 6. (й) Отображение !' ('соотв. ф) является субмерсией в точке (у, 1) (соотв. (д, х)). (й )йз) Отображение 1 (соотв. ф) этально в точке (д, 1) (соотв. (д, х)). б) Отобраясение 1, (соотв. фо соотв. фл) превращает (6/Т)Х Т, (соотв. (6/Т)Х1„соотв. (6/Т)ХА) в главное накрытие множества 6, с группой (т' (соотв. )т",, соотв. Нл).
а) Эквивалентность (!) и (! Ь!Е) очевидна. Эквивалентность (й) и (й Ь!з) следует из соотношений й!ш ((С/Т)Х Т) = гйгп ((С/7) Х1) = = й!ш (6). Согласно лемме 4, отображение 1 является субмерсией в точке (у, 1) тогда и только тогда, когда й =1+1ш (Ай ! — 14); зто означает, что элемент 1 РегУлЯРен. Наконец, посколькУ ф=! (!бегтХехРт), то отобРажение ф зтально в точке (д, х) тогда и только тогда, когда отображение 1 этально в точке (д, ехр х); это, согласно предыдущим рассуждениям, означает, что х принадлежит 1,. ГЛ. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН б) Таким образом, морфнзмы )„ф„ух этальны.
С другой стороны, группа Яг действует свободно на 6/Т н а 1ог1юп( на (6/Т) 'г( Т. Пусть для у, у'нз СНТ,Т'наТ,выполняется((у, 1) )(у', р);тогда1п(у 'у'переводит 1' в Т н, сзедовательно, нормализует Т, поскольку Т= Х (Г)з=х (р)г, а класс гг элемента д ' у' в (г переводит (у, 1) в (у'. У). Отсюда следует, что),— главное накрытне с группой МГ; это в свою очередь означает, что ~р,— главное накрытне с группой (г"'„н прн помощи ограннчення на связную компоненту (С/Т)ХА множества (С/Т))сб получаем, что Вя — главное накрытне с группой НА.
Замечания. 1) Согласно предложению 3 нз 4 2, и' 4, многообразне (6/Т) ХА односвязно. Отсюда следует, что ех — универсальное накрытне группы 6,. Поскольку группа л, (6,) каноннческн нзоАТорфна л~ (С) (и' 1, предложение 1, н Тор. угп., сЬар. Х1), то группа л~ (6) отождествляется с НА (т, е, с Г (Т)/Н(6, Т)). 2) Ограничение отображения уя на 1Р)сАГ=(6/Т) )сА превращает Яг)4А в главное накрытне множества Т, с группой НА. Таким образом, мы вновь получаем следствие 1 предложения 2 нз и' 2. 3) Обозначим через В, прообраз множества 6, прн экспоненцнальном отображении, н пусть в.
'в, — 6, — отображение. полученное нз ехро. Отображенне (у, х) Гь (Ад д) (х) нз С Х 1, в В, определяет и рн факторнзацнн отображение тр,: (6/т)хг, -~- в,. имеем е ф, = е,. пусть гг я Яг, тя аГ(Т) н ыя ЯГ'. таковы, что ы(г)=ы(г)+т для любого гяц имеем ф, ((у, х) ы) = ф, (у, х) — (Аб у) (т), где у гн 6, х тн Т„так что ф, ((д, х) ы) = =ф, (у, х) тогда н только тогда, когда 7=0. Отсюда следует (см. Тор.
йгп., с)тар. Х1), что ф, — главное накрытне над В, с группой йу, а в: В, — ~- 6,— накрытне, ассоцннрованное с главным накрытием е„со слоем, нзоморфным Яг';множеству ИГ,'/Ф'. $6. Интегрирование в компактных группах Ли В агом параграфе сохраняются обозначения из $4; пояохсим ы (6)= =Сагд ( Иго(Т)). Обозначим через йу (соотв. Ж) меру Хаара на группе Ли 6 (соотв. Т) с полной массой 1, а через п (соотв. Г) — размерность группы Ли 6 (соотв. Т). г. Произведение липнопереягениых иолпяииеймыл форм Пусть А — коммутатнвное кольцо н М вЂ” некоторый А-модуль, Для каждого целого числа г РО через Ай ' (М) обозначим А-модуль знакопеременных г-лннейных форм на М.
Этот модуль отождествляется с сопряженным к А-модулю Д'(М) (А1у.. ЕЬар. 1И, р. 80, ргор. 7). Пусть иенА11*(М) н оевАй'(М); напомним (А1у„с(тар. Ш, р. 142, ех. 3), что внешним пронзведеннем и н и называется элемент пап нз Ай'+'(М), определяемый формулой $6. иитВГРиРОВАиие В компАкткых ГРуппАх ли (и Л О) (Хо ..., Хт Ьк) г(г аа и (Хе П1' '" ' Хе О1) О (Хе гть и' "' Хю О ! П) аое,, где б,,,— подмножество в симметрической группе 8,чн состоящее из перестановок, ограничения которых на (1, з) и на (з+1, з+г) являются монотонно возрастающими.
Пусть теперь О-РМ'-РМ с-М"-РΠ— точная последовательность свободных А-модулей рангов г, г+ з и з со- ответственно. Лемма 1. Существует А-билинейное отображение из АН*(М")Х Х АН' (М') в АН'ь' (М), которое обозначается через (и, о) Р+ и и Н характеризуется каждым из двух следующих свойств: а) Обозначим через и ~ еп АН' (М) форму (х,, ..., х,) Р и (р (х1), ..., р (х,)), и пусть о1 ы АН' (М) — такая форма, что о ~ (! (х1), ..., ! (х~)) = о (хп ..., «) для хь ...,х( из М'.
Тогда и Р=и,ЛРП б) Пусть хп ..., х, принадлежат М, а хь ..., х, 'принадлежат М'; тогда (и о)(хь ...,х.,!(х;), ...,!(х,'))=и(р(х,), ..., р(х,)) о(х(, ..., х',). (1) Отображение НИ АН'(Мп)ЛААН'(М')- АН'т'(М), такое, что <р(иЭ Эо) и о, есть изоморфизм свободных А-модулей ранга один. Существование формы оь удовлетворяющей условию а), следует из тога, что Л'(г) порождает нэоморфнзм Л' (М') на подмодуль, выделяющийся прямым слагаемым в Л'(М) (А!у., сЬар. И1, р. 78). Пусть о~— такая форма; положим и о=и~ЛРР тогда равенство (1) выпал. няется, поскольку если положить !(х()=х,тг для 1~у(г, то единственным элементом о из Я, „таким, что р(х Ю)ФО для 1<1~а, будет тождественная перестановка.
С другой стороны, формула (!) определяет и о единственным образом: действительно, пусть (е(, ...,е,')— базис в М', ((1', ..., Т,") — базис в М" и (ь ..., 1, — такие элементы из М, что рф)=(У для 1(!(з. Тогда ()и ..., )„!(е(), ...,!(е ))— базис в М (А!д., сЬар.
11, р. 27, ргор. 21) н формула (1) записывается в виде (и. Р)((ь ..., )„!(е()...,!(е!))=и(ту, ...,/ ) Р(е!,...,е), (2) т. е. элемент из АН'ь'(М) определяется своим значением на некотором базисе. Из предыдущих рассуждений получаем, что каждое из условий а) и б) определяет единственным образом произведение и о. Очевидно, что это произведение билннейно. И наконец, последнее утверждение леммы следует нз формулы (2).
И. Бурвьхв ГЛ. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ 2. Формула иитегрироиииия Г. Вет!ля Пусть е — единичный элемент в группе Ли О и е — класс элемента е в О/Т. Отождествнм касательное пространство к 6 в точке е с в, касательное пространство к Т в е с 1 и касательное пространство к О/Т в е с й/1. Обозначим через (и, о)ьв-и п 4(-билинейное отображение (вветт мт)(е)=шатт(е) ° мт(е)- Наконец, напомним, что через 1: (О/Т)ХТ- О обозначается морфизм многообразий, полученный при факторизации из отображения (у, 1)ьв.игу ' из ОХТ в О ($5, п'4).
Если а и р — дифференциальные формы иа 6/Т и Т соответственно, то через а /Т р обозначим форму рту а Ц Л ргт р на (6/Т) Х Т. Для 1впТ обозначим через Аб,л(1) эндоморфизм пространства й/1, полученный из Ад Г прн факторизации. Положим бо(1)=бе( (Абвтв(1) 1) П (1 1)' (3) вмлпь Г1 Пусть квп1 н а вн)! (6, Т): обозначим через а элемент (2вп) ' б (а) иэ 1', так что ((ехр к) — 1) ((ехр к) — 1)=(е~а( ) — 1) (е ~ав ) — 1) =4з)пэпа(к). Если через Л+ (О, Т) обозначить множество положительных корней систе- мы в((6, Т) относительно базиса В, то (в/1) ХАи' (1) -' Аи (й) определенное в и' 1. Напомним (гл. 1П, 4 3, п' 13, предложение 50), что отображение м в-Р м (е) осуществляет изоморфнзм векторного пространства левоииварнантных дифференциальных форм степени и (соотв.
Г) на О (соотв. Т) на пространство АИ"(В) (соотв. АИ'(1)). Заметим также, что де1Абу= 1 для любого учи О ввиду того, что любая связная компактная подгруппа в (Ив состоит лишь из единичного элемента. Тем самым левоиивариантные дифференциальные формы степени я на О являются также нравонивариантиымн н иивариантнымя относительно внутренних автоморфизмов (гл. 1П, $ 3, п' 15, следствие предложения 54); в дальнейшем мы будем говорить просто об иивариантных дифференциальных формах иа О. Кроме того, из предложения 55 гл.
!11, 4 3, и' 15, н из предыдущих рассуждений вытекает, что отображение а в ы (е) осуществляет нзоморфизм пространства О-ннварнантных дифференциальных форм степени и — г на О/Т на пространство АИ" ' (и/1). Если мэтт есть 6-ннваРнантнаЯ диффеРенциальнаЯ фоРма степени и — г на О/Т и мт — инвариантная дифференциальная форма степени т на Т, то через ыатг ытобозначим единственную инвариантнуюдифференциальную форму степени л на 6, такую, что Ь ь интеггитовьние в компактных гетппьх ли 6с (ехрг) = П 4сйп яи (к), аее+(с, т1 откуда, в частности, следует, что Ьс(С))0 для любого Со=.Т,. Заметим также, что Ьа(С)=бс(С ) для СыТ.
Пеедложение !. Пусть ас, аатт и е„— инвариантные дифференциальные формы на 6, 6/Т и Т соответственна степеней н, н — г и г. Если ее=матт ан то 1*(еа)=есгтЛЬает Очевидно, можно считать формы еагт и ат ненулевыми; тогда дифференциальная форма (и, С)ь еагт(и)Лат(С) степени н на (6/Т)ХТ всюду ненулевая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
