Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Урес.). Пусть И вЂ” группа Ли и аы НХХ-» Х вЂ” закон левого действия класса С! положим Лх = тп (Л, х) для й оп Н, хе Х. Пусть Š— векторное Н расслоение с базой Х класса С' (гл. 111, $1, и' 8, определение 4). Для вы 4.: —.У'(Х; Е) и Ля И обозначим через "з сечение х»»й.з (Л ' х) расслоения Е; отображение (Л, в)»» "з задает закон действия группы И на пространстве ~'(Х; Е). Леммл4. Закон действия НХ~'(Х; Е) — » ~'(Х; Е) непрерывен. Принимая во внимание определение топологии в ~'(Х; Е) и теорему 3 из Оби4. топ., 1975, гл. Х, $3, п' 4, достаточно доказать, что для лк» бого целого числа й(г отображение 1: НХХХо(Х; Е) — » 7" (Х; Е), такое, что!(й, х, з)=)л("в), непрерывно.
Для ЛГПИ обозначим через тл (соотв. Ол) автоморфизм х — »Лх многообразия Х (соотв. расслоения Е). Определим отображения (~. 'ИХХ -л. / (Х, Х), )о. Н ХЕ -л. 7~ (Е, Е), йп И Х Х Х ~л (Х; Е) — » 74 (Х, Е) по формулам ) ~ (Л, х) = /' (тл), 74 (Л, в) = )~ (Ол), и (Л, х, з) =)ы~ (з). Тогда 1(й, х, в)=14(й, з(й ', х)) о п(й ', х, з) 1 (Л ', х) и, стало быть, ввиду Мн., Св. рез., 12.3.6, достаточно доказать непрерывность отображений !"ь 1о и д. Но д есть композиция отображений Н Х Х Х ~ ' (Х; Е) — ''— ' Х Х ~ ' (Х; Е) -~ — '-' -». ХХЖ (Х; 7" (Х, Е)) -» Ул(Х; Е), где е (х, и) =и (х). Ввиду непрерывности отображения е (Оби4. топ., 1975, гл.
Х, 4 3, и' 4, следствие 1)п непрерывно. Пусть (Ло, хо) ГЕН Х Х; докажем, что отображение 1, непрерывно в точке (Лол хо). Существуют карты ((7, ф, Е) и (У, д, Е') иа Х и открытое подмножество Я в Н, такие, чта хо оп К ЛАЛИ и тп (ОХ О)с У. ИспользУЯ выРажения для 7" (Х, Х) в этих картах, приходим к доказательству для !к 1. й непрерывности в точке (Ло, хо) отображеяня (Л, х)»» Л'„(тл) яз ОХ т 1 а интеГРиРОВАние В компАктных ГРуппАх ли 75 Х0 вр~(Р; Р),гдей',(ть)(в)= —,0'ть(х) одкя вчнР (Мн.,Св.ргз.,!22). но 0'ть (х) есть не что иное, как 1-я частная производная по х от гп (й, х), непрерывная по предположению; следовательно, и отображение /~ непреРывно.
Аналогично доказываетсЯ непРеРывность Гт, что завеРшает доказательство леммы. ПРндложвнив 5. Пргдполоъсии, что группа Н компактна, и пусть йй — мера Хвора на Н с полной массой 1. Пусть з — сечение расслоения Е класса С'. Для хзнХ обозначим через з» векторный интеграл ~ "з йй.
Тогда з» есть сечение расслоения Е класса С', инвариантное относительно Н; для любого хтХ имеем з» (х)=~ йз(й ' х) ййгиЕ Зндоморфизм зг з» пространства ~'(Х; Е) есть проектор на надпространство Н-инвариантных сечений. Рассмотрим отображение йг-~."з из Н в ~'(Х; Е); согласно лемме 4, оно непрерывно. Поскольку пространство ~'(Х; Е) полно и отделимо, интеграл з ~=~ "з дй нрияадлежит 9" (Х; Е) «Ннтггр., гл. 111, $3, и' 3, следствие 2). Так как линейное отображение з Рч з (х) из ~'(Х; Е) в Е, непрерывно, то з» (х) = ~ "з (х) йй для любого х чн Х.
Очевидно, что з» инвариантноо относительно Н. Если з есть Н-инвариантное сечение, то з = з, откуда следует последнее утверждение предложения. Слвдствив 1. Пусть Р— банахово пространство, р: Н- 01.(Р)— линейное аналитическое представление и ген и ' (Х; Р). Для ген Х полоигим (х) =~ р (й).1(й 'х) йй. Тогда 1» есть морфизм класса С' из Х в Р, пгргстановочный с действием группы Н. Для любого х~Х й„(»=~(р(й) й, ) Т,(т„,)) ййчи~(Т„(Х); Р), (14) где чгргэ ть обозначается автоморфизм х>-ь йх многообразия Х.
Первое утверждение вытекает нз предложения 5, примененного к расслоению ХХ Р, на котором действие группы определяется по правилу (й; (х, ()) Р (йх, р (й).1). Второе утверждение следует из предложения 2 из Интегр., гл. 111, и'2, если к векторному интегралу Г'» применить гомоморфизм й„: 'у' (Х; Р) -Р. ~ (Т„(Х); Р), непрерывный по определению топологии компактной С'-сходимости. Слздствив 2. Пусть Р— банахово пространство и ~ы М'(Х; Р); положим гл.
эх. комп«ктиыв вешкстввннык гетппы лн 76 (х) ~ 1(йх) т(А для хщХ. Тогда функция 1» принадлежит классу С' и для хщХ, )э«п щ Н справедливо равенство 1» (!эх) =Т» (х). Слкдствив 3. Пусть г" — банахово пространство, р — целое число ~0 и "И«(Х; Р) — пространство дифференциальных форм на Х степени р со значениями в Р, принадлежащих классу С" (2 = 6+ 1 « 'г). Для и «и еи«Я«(Х; Р) полохсим «э№=~ тумб)э.
Тогда отображение мь«.м» есть проектор в «Я«(Х; г), образ которого является подпространстеом Н-инвариантных форм. Для любой формы мтп«И«(Х; Р) справедливо равенство д (и №) (дм) №. Первое утверждение вытекает нз предложения 5, примененного к векторному Н-расслоению Ай'(Т(Х); Р) (гл. П1, $1, п'8, примеры). Для доказательства второго утверждения достаточно, учитывая предложение 2 из Интегр., гл. П1, $3, п'2, проверить. что отображение д: «И«(Х; Р)- ' 'Я'+'(Х; Р) непрерывно при условии, что первое (соотв. второе) пространство наделено топологией компактной С'-сходнмостн (соотв. С' '-сходимости).
А это легко следует из определения этих топологий при помощи полунорм (ТЬ. ерес.) и из того, что д есть дифференциальный оператор порядка ( ! (Мн., Св. рез., 14.4.2). $. Ииварпантиатв дпффвреицшггтаныв формы Пусть. Х вЂ” вещественное многообразие класса С локально конечной размерности, н пусть (у, х) э-ь ух — закон левого действия квасов С связной компактной группы Лн 0 на Х. ДляутпС обозначнм через те автоморфнзм хэ ух многообразия Х. Пусть Я (Х) — алгебра вещественных дифференциальных форм класса С на Х (Мн., Св. рез., 8.3.1). Для любого элемента $ из 0 обозначим через В«соответствующее ему векторное поле на Х (гл. 111, 6 3, п' 5), а через 0 (с), э (5) соответствующие операторы на Я (Х), так что справедливы следующие формулы (Мн., Св.
рез., 8.4.5 и 8.4.7): 0 (5) оэ =д (э'(5) ьэ) +э (5) э(ы, (! 5) — (т,„пм) =т,*„, (О (5) ьэ). (! 6) Дифференциальная форма мщИ(Х) инвариантна, если тем м для любого ус= 0; согласно формуле (16), это также означает, что 0 (5) и =0 для любого 5ыа. Обозначим через И(Х) надпространство инварнантных дифференциальных форм на Х, Если мепИ(Х)~, то ймщИ(Х)~, и, стало быть, И(Х) есть подкомплекс комплекса (И(Х), а).
гл. пс компактные вещественные гвтппы ли получаем изоморфизм пространства О (6) на градуированную алгебру АИ (8) зиакопеременных полилинейных форм на 8. Отождествим 1г (6) с АК (8) при помощи етого изоморфизма. Тогда оператор д задается формулой (гл. П1, $3, п'14, предложение 51) дв (а ь ..., ар+,) = = ~ ( — 1) +' в ([аь а1) аь ..., а, ь а + ь ..., а; и а>+ ь ..., ар+,) $(1 для в из Айт(0) и аь ..., ар+~ из я, Для $чпй обозначим через 14 соответствующее ему левоинвариантное векторное поле (определяемое при помощи действия группы 6 на себе араеыми сдвигами, см. гл.
Ш, $3, п' 8). Операторы 8 (ЕД, 1(1ч) коммутируют с действием группы 6 на Я (6) при помощи левых сдвигов н, стало быть, индуцируют операторы 8 ($), 1 (з) в подпространстве и (6)о, которые ввиду отождествления 1г(6) с Ай(8) действуют по формулам (Мн., Се. рез.„ 8.3.2, и 8.'4.2) (0$) в)(ап ..., а )= — ~ в(ап..., а,. п$,а~) а ч и ..., ар), (1 ($) в) (а ь ..., ар,) = в Й, аь ..., ар,) для в из Айг(8) и аь ..., ат из 8. Подкомплекс ~И (6) биинеариантнык (гл, 1П, 4 3, п' 13) форм отождествляется с подкомплексом Ай (0) знакопеременных полилннейных форм на 8, инвариантных относительно присоединенного представления (т. е. таких, что 0 $) в=О для любого алый). Тогда имеем коммутативную диаграмму комплексов о11 (6)о 11 (6)о 42 (6) Ай(,)о- Ай(8) (18) где горизонтальные стрелки обозначают канонические вложения, а вертикальные стрелки — изоморфизмы, нндуцированные отображением в> в(е). Следствии 1.
а) В диаграмме (18) асе морфизмы являются гомотопизмами. б) Пусть в~ Ай (8). Для того чтобы в принадлежала,Ай (8)о, необходимо и достаточно, чтобы Ив=О и Н(1($) в)=О для любогоячпй. Дифференниал комплекса Ай (8) равен нулю. в) Градуированное векторное пространство Н (Я (6)) изоморфно Ай (0)о.
79 $7. НепРИВОдимые пэндстхвленин ГРупп лн Из теоремы 2, примененной к действию группы б на 6 левыми сдвнгамн (соотв. к действию ((у, й); к) ьь ухй ' группы 6)с б на 6), вытекает, что каноническое вложение И (6) — И (6) (соотв. Я (6) — И (6)) есть гомотопизм. Отсюда, принимая во внимание А18., сйар. Х, р. 34, сот., получаем а). Докажем б). Согласно предложению 51 из гл. 111, $3, и 14, имеем да = — йа, т. е. да =О, для любой одновременно левоинварнантной н правоинварнантной дифференциальной формы а на б. Если в~Ай (9)о, то йв = О н, следовательно, й (1 ($) в) =8 ($) в — ! ($) йв = О. Обратно, если доз = О н д (! (5) в) = О; то 8 (5) в = О.
Утверждение в) следует из а) и б), Замечание. Рассмотрим подкомплексы Х(И(б)) и В(И(6)) в И(б) (А)д., сйар. Х, р. 25). Из формулы, задающей дифференциал произведения двух форм (Мн., Св. рез., 8.3.5,), следует, что Х (И (6)) — подалгебра' в И (6), а В (И (6)) — ндеал в Х (И (6)); стало быть, внешнее произведение индуцирует на Н(И(6)) структуру градуированной алгебры. Тогда нз сказанного выше получаем нзоморфнзм градуированных алгебр А! ()в Пусть Н вЂ” замкнутая подгруппа в 6; применим теорему 2 к Х = б/Н. Согласно следствию 1 предложения 17 нз гл. Ш, $1, и' 8, 6-инварнаитные дифференциальные формы на б/Н отождествляются с Н-ннварнаитными элементами в АН (Т,(6/Н) ), нлн, что то же самое, с Н-иивариантпжмп элементами в АН (9), которые аннулируются операторамн 1(5) для любого реп Е (Н).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
