Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Но коэффициент при Х в ХА! Т равен 1 (теорема 1); следовательно, коэффициент при )[р в Х (р) х, (Т) также равен 1 (глЛ(, $3, и' 3, замечание 2), откуда ам 1, и теорема доказана. Следствие!. В обозначения» и'3 в кольце 2 (Х(Т)) имеем [[ )о[[!=! [[ 'д б [ х Это следует нз теоремы и из коммутативности диаграммы (2) (и' 3). 'Следствие 2. Для любого ХыХь+ и любого регулярного элемента )изТ ~ г(м) Х(мг) р(мг) хл(!) = г(м) Р( Г) где суммирование оба раза ведется по всем элементам ю из (Р Действительно, функция ) (р)(Г) ненулевая ввиду регулярности элемента Г (формула (4)). Если [р — центральная функция на б, то ограничение [р на Т инвариантно относительно Ят, и„значит, )(р)ц[!Т антиннвариантно относительно Чт. Кроме того, согласно Тй.
грес. и теореме 1, семейство(ХЕ)А» является алгебраическим базисом пространства центральных представляющих функций на б и ортонормированным базисом пространства Я(.~ (б) классов центральных квадратично интегрируемых функций на б. Из предложения 3 н теоремы 2 получаем Следствие 3. Отображение, которое ко»сдай центральной непрерывной функции [р на б сопоставляет функцию гг(б) ытг(р)([р!Т), задает изоморфизм пространства центральных представляющих функций на б на пространство антиинвариантнь[х элементов в б (Т).
Это отображение продолжается по непрерывности до изоморфизма (гильбертовых пространств) из 2).т (б) на надпространство антиинвариантны» элементов в (.т щ. Следствие 4. Пусть [р — центральная непрерывная функция на б. Тогда 0 е непРВВодимые пРедстАВления ГРупп ли Егв( Ч( в=')ПАП ((- вг)в(( -1(в((в((((в(((а. «>0 т Действительно, согласно лемме 4 н теореме 2, ХА (3) (Р (К) ((3(= (б) ~ ХА (Г) У (Р) (ф ((Р (Г) У (Р) (Г)) с(Г 1 = — ~ 7(3р)(Г) ф(Г) 7(р)(1) ~. ~ 7(Хр)(1) р(Г) 7(р)(Г) б(=~ Кр Щ р(1) 7(р)(1) а.
Наконец, ввиду формулы (3) имеем р())/(р)(1) Ц (1 — а(г) '), чем «>О н завершается доказательство следствия. Замечоиил. 1) Для любогоэлемента п(внйт положим р = р/р; тогда Х ( ) -- П ( — ') «« ' П (-- ). (б) а>0 а>0 Еслн à — регулярный элемент в Т, то нз формулы (5) получаем ) в(м)~А(бр (б ~ в(м)~А(бр«(б х. (()— Е - П Ю «>О Отметим, что функция р есть линейная комбннацня корней с целымн коэффнцнентамн, т. е.
принадлежит Х (Т), даже еслн бы мы н не предполагалн, что рвнХ (7). Отсюда следует, что формула (7) справедлнва без предположения, что рыХ(Т): действительно, заменяя в доказательстве группу Лн б иа соответствующую связную накрывающую, прнходнм к случаю следствия 2. 2) Аналогично первое равенство следствня 4 остается в силе без предположения, что р~Х (Т). 3) Теорему 2 можно получить нз ее внфнннтезнмального аналога (гл. Ч!11, $9, п' 1, теорема 1); это также справедливо для теоремы 3 нз следуюшего пункта (которая является аналогом теоремы 2 нз гл. Ч111, $9, п' 2). Но функция 1Р« (р (Г)! (р) (1) антнннварнантна, а функция — 7 ()(р) есть 1 м ((7) ортогональная проекция 1(р на подпространство антнннварнантных эле-„ ментов в 7'(7); сзедовательно, Гл ьт. кОмпАктные вещественные ГРуппы ли 90 Я.
Размерности ненрнводимызс Представлений Вернемся к аддитивной записи группы Х (Т) и не будем больше предполагать, что р принадлежит Х(Т). Теоеемь 3. Размерность пространства неприводимого представления группы Ли 6 со старшим весом Л задается формулой <А+Р, Ка> ХА(Е)аа П айе Положим у=(1/2) ~ К„, тогда 6(а)(у) 2ш' для любого простого а>О корня а (гл. Ч1, $1, и' 1О, предложение 29). Прямая йу не принадлежит ни одной гнперплоскости Кег 6 (а), а следовательно, ехр (гу) — регулярный элемент в 0 для любого достаточно малого ЕОПК". Для любых рен ОиХ(Т) и гав справедливо равенство 1 (р) (ехр (гу)) ~ з (ю) е' ам и Используем следующую леыму, доказательство которой приведем ниже: Леммь 5. Справедлива формула Т(р)(ехр(гу))=ему«нт1 Ц (1 — е " "), «>О Поэтому функция т'(р)(ехр (еу)) есть произведение функции„стремящейся к 1, когда г стремится к О, н функции ен Ц 6(р)(К„)=(2п<г) Ц (р, К ), а>0 «>О где А< = С а г 6 Ю е, Предположим сначала, что рОНХ(Т); тогда, применяя следствие 2 теоремы 2, видим, что при е, стремящемся к О, ХА(еу) стремится к Ц <'+'К->/Ц <'К >' «>о а>0 в этом случае теорема доказана.
В общем случае достаточно заметить, что в доказательстве теоремы 3 всегда можно заменить группу 6 на подходящую связную накрывающую и свести доказательство к предыдущему случаю. Теперь докажем лемму 5. Пусть ещ С. Обозначим через Чь отображение нз Т в С-алгебру Арр (Х (Т), С) отображений из Х (Т) в С, которые элементу Ощг ставят в соответствие отображение 1 т. ивптиводимык п«здстлвлвння г«тпп ли 91 ф, (Н): р «-«р (ехр гН) = е ' с«1 ВП.
Тогда ~р,(Н+Н') ~С,(Н)~р,(Н'), так что существует гомоморфизм колец ф,: 2 (» Крр (Х (Т), С), такой, что ф«(е") (и)=е*ьы1'в1. с другой стороны, согласно предложе- нию 2 нз гл. Ч1, $3, п'3, в Х(» справедливо соотношение е(ю)е т е«П (1 — г ) «а Я' «>О Применяя гомоморфизм ф, и принимаи во внимание формулу ф«(е ') (и) = е *ь '"1 < «1= г««1 ' «) Ю получаем доказательство искомой формулы. Следствив 1. Пусть 11 11 — норма в Х(у)®м. Длл любого ленХ «+ обозначим через д (к) размерность пространства неприводимого представ- ленин группы Ли 6 со старигим весом Х. а) Справедливо неравенство зар д(й)/112+р11~<со, еде М= тжх (1/2) (б)ш 6 — б(ш Т).
б) Если 6 полупроста, то ш( д(к)/1)к+р11)0. емх „ а) Для любого аеирь существует такое число А„) О, что 1( Л+ +р, К )1~ А 113+9)1, откуда д(«)/11«+р11~~ (П А /(р, К«). «>ь б) Предположим, что 6 полупроста; обозначим через йь ..., й, простые корни н положим Ф;=К«. Тогда П П ! ! ' ~ ! ! так как (Х+р, Ф;) ) (р, У,) =1, то д (Ц) зпр)(й+ р, У;) 1. ! Если 6 полупроста, то отображение х~зпр1(х, М~)1 задает норму в Х (Т)Э и, обязательно эквивалентную заданной норме, откуда вытекает б). Следствие 2.
Предположим, что группа Ли С полупроста и д.— целое число. Тогда множество классов ее представлений размерности ~д конечно. ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН Из следствия 1б) вытекает, что множество Хг элементов Х нз Хь ь, таких, что а (А)(й, конечно. Для любого А из Хг пусть УА — яепрнводныое представленне со старшим весом А. Любое представленне размерности ~д нзоыорфно прямой сумме 9 1Г," с пь(д, что н доказывает Апхг следствие.
б. Элементы Казгьнира Согласно предложенню 3 нз $1, п' 3, на й существует невырожденная отрицательная симметрнческая билинейная форма, ннварнантная относительно йб (6) (если 6 полупроста, то, например, можно взять форму Киля инга алгебры Лн у) . Пусть Р— такая форма. Напомним (гл. 1, $3, п' 7), что элементом Казнинра, ассоцннрованныи с г", называется такой элемент Г, прннадлежащнй центру уннверсальной обертывающей алгебры 6(й), что для любого базиса (е,) в В, удовлетворяющего условию Р(еь е~) = — бц, ныееы Г= — ~ е, На протяженнн этой главы элементами Казимира группы 6 будем называть элементы из 6 (й), полученные исходя из невырожденной ннварнантной сныыетрической н отрицательной билинейной формы на й указанным выше способом. Если à — элемент Казнмира группы Лн 6 н т'.
6 - 61. (У) — непрнводныое представление этой группы Лн, то гомоиорфнзы ГУ пространства У является гомотетней (А1д., СЬар. УШ, $3, п' 2, Рш 1), коэффициент которой ыы будем обозначать через )ч (т). Птедложение4. Пусть à — элемент Казимира группы Ли 6. а) Если т — неприводимое представление группы Ли 6, то число )ч (т) вещественно и неотрицательно. Если т ие является тривиальным представлением, то, более того, Г(т))0. б) Существует единственная квадратичная форма Яг на Х(7)ЭК такая, ч го для любого неприводимого представления т группы 6 выполняется равенство Г (т) = () г(Х+ р) — () г (р) где й — старший вес представления т. Форма 6г невырожденна, пололси- тельна и инвариантна относительно йт. Пусть Р— невырожденная отрицательная сныыетрнческая билинейная форма на й, определяющая Г.
Пусть т: 6- 61.(У) — пеприводнное представление группы Лн 6, и пусть (, ) — гильбертово скалярное пронзведенне на У, ннварнантное относительно 6 ($1, п'1), н (ед— базне в у, такой, что Р(еь е~) = — бгь Тогда для любого элеыента о нз У, не ннварнантного относнтельно 6, получасы 1 т иепвиводимык пввдстлвлзиия ги»пп ли Г(т) (и, и) =(и, Г„(и)) — ~ (и,(е!>»и> = (, (ер' (ер > = ! ((е!>» и, (е)» и ) ) О, откуда следует а). Пусть  — форма на 1', обратная к ограничению иа т билинейной формы на йо полученной из г" расширением поля скаляров.
Согласно следствию предложения 7 из гл. Ч111, $6, п'4, имеем !) Г(т)= =В (Ь (ь), 6(а+2Р)). ПРодолжнм отобРаженне б: Х (Т)-!- тзс до Д-линейного отображения из Х(Т) ® К в тз, н пусть Ц„-квадратичная форма х!-о » В(б(х),б(х))наХ(Т) Ф Гс;она иевырождеипа,ннварнантнаотносительио й», и имеют место равенства Г(т>=В(б(Д+Р), б(Д+Р>) — В(б(Р), б(Р>)-Цг(Д+Р> — ()„(Р>. Теперь покажем, что форма ()г полезен»елена. Действительно, если хш си Х (Т) ® и, то элемент Ь (х) нз 1' принимает чисто мнимые значения на т н, стало быть, вещественные значения иа й.
Используя неравенство г (р, р)~зО для репй, завершаем доказательство. Нам остается доказать условие единственности из пункта б). Пусть нвадратичная форма на Х Щси(1, удовлетворяющая требуемым условиям, и пусть Ф (соотв. Фг) — билинейная форма, ассоциированная с Ц (соотв. !ег). Для ь, ршХ(7)т+ справедливы равенства Ф ( р) =((> (Ь+р+р) — Е (р»-(Е (Д+ р) -() (р>)-((> (р+р) — () (р»- =Фг(з р) Так как Х(Т)т+ порождает векторное и-пространство Х(Т)®К то Ф = Ф откуда Я = Рг Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
