Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 23
Текст из файла (страница 23)
рез., 5.7.8, »р' — изоморфизм. На протяжении этого пункта будем предполагать, что гФы. Пгедложвние3. Пусть А — компактное подмножества в Х. Множество ~ морфизмов»реи'У'(Х; У), являющихся погружениями в окрестности подмножества А, открыто в в' (Х; У) в топологии компактной С'-сходимости (э 6, п*4). Очевидно, что предложение достаточно доказать для г= 1.
а) Покажем сначала, что подмножество 1 в и» (Х; У), состоящее из морфизмов, являющихся иммерсиями во всех точках множества А, открыто. Рассмотрим отображение )л'. 'в'(Х; У))сА — !'»(Х, У), такое, что /л(»р, х) /»(»р) (Мн., Св. рез., 12.1). По определению топологии в в» (Х; У) отображение )л. '»р» /л(р,.) из Ф» (Х; У) в 'й' (А; 7' (Х, У)) непрерывно; тогда из Общ. топ., гл. Х, $3„п' 4, теоРема 3, следУет, что отобРажеиие 1л непРеРывно. С другой стороны, пусть М вЂ” множество струй 1 из !» (Х, У), для которых иасательное отображение Т(1): Т,»;»(Х) -ь Ть»!»(У) (Чн- Св рез" 12.3.4) инъективио. Множество М открыто в 1»(Х, У): действительно, достаточно проверить это утверждение для случая, когда Х вЂ” открытое подмножество конечномерного векторного пространства Е, а У вЂ” открытое подмножество банахова пространства Р, т.
е. (Мн., Св. рез., 12,31) доказать, что множество ннъектинных непрерывных линейных отображений открыто в Я' (Е, р), а это следует из предложения 16 из Тп. зрес„с(»ар. П1, 4 2, п'7. Из сказанного выше вытекает, что множество )л (М) открыто в у» (Х; У))сА; стало быть, его дополнение згзамкнуто. Поскольку А компактно, проекция рг» . 'в» (Х; У) ХА — в» (Х; У) является собственным н. ГЛ. 1Х.
КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН следовательно, замкнутым морфнзмом. Тогда множество о', совпадающее с 9'(Х; У) -рго (У), открыто в йт' (Х; У). б) Пусть Н вЂ” подмножество в г ХА ХА, состоящее яз такнх элементов (1, х, у), что 1(х)=~ (у). Ясно, что Н содержит /ХЬ, где а обозначает днагональ в произведеннн А)сА. Покажем, что множество Н'=Н-(1)сй) замкнуто в г ХА )с А. Так как ж есть дополненне в У к образу множества Н' прн собственной проекции рг~ ', г )(А)СА -о- о', то отсюда будет следовать доказываемое предложение.
Топология в в ' (Х; У) тоньше топологии компактной сходнмостн; поэтому отображенне (у, х) Р у (х) нз в ' (Х; У) ХА в У непрерывно (Общ. топ., гл. Х,4 3, п' 4, следствне 1); отсюда получаем, что Н замкнуто в уХАХА. Тем самым достаточно показать, что УХП открыто в Н нлн, другими словами, что длн любого 4оомг' н любого хопА существуют окрестность оо точки у в 1 н окрестность В точки х в Х, такие, что длн любого морфнзма ф нз оо ограничение ф на А()В инъективно.
Такнм образом, предложенне вытекает нз следующей леммы: Леммх 2. Пусть х — точки многообразия Х и ~р: Х-ь У вЂ” морфизм класса С', являющийся иимерсией в точке х. Существуют окрестность о) точки ф в У' (Х; У) и окрестность В точки х в Х, такие, что для любого орщ() ограничение ф на В иньективно. Пусть (Т вЂ” относительно компактнан открытая окрестность точки х, изоморфнан конечномерному векторному пространству н такая, что у ((7) содержится в области определения карты У. Множество о)о морфнзмов фщчт'(Х; У), таких, что ор(0)су, открыто в в'(Х; У), а отображение ограничения йо — 9" (ГГ; У) непрерывно; тем самым мы свели доказательство леммы к случаю Х= П н У=У, т.
е. с самого начала можно предполагать, что Х вЂ” конечномерное векторное пространство, а У вЂ” банахово пространство. Выберем нормы в пространствах Х н У. Линейное отображение Ру(х): Х- У ннъектнвно; пусть д — его ко. норма (ТИ. зрес., сйар. П1, $2, и'6). Тогда по ойределенню конормы ЦРу(х) ТЦ ~>ЧЦ1Ц длн любого ТщХ. Пусть зон й таково, что 0<о<у/2, н пусть  — такой замкнутый шар с центром в х, что Ц Рф (и) — Р р(хД ~ о для любого ищВ. Обозначим через о) подмножество в в' (Х; У), состоящее нз таких морфнзмов ф, что Ц Рор (и) — Р~р (и)Ц (о длн любого и оп В; оно открыто по определению топологии в в ' (Х; У).
Лля орон ос положим фо=ф — Рор(х). Имеем ЦРфо(и)Ц ~2о для любого ищВ, н, стало быть, Цфо(и) — фо (е)Ц <2ЕЦи — УЦ длн произвольных и и и нз В (Мн., Св. рез., 2.2.3). Отсюда получаем Цф(и) — ф(о)Ц ~ ЦР~р(х). (и — о)Ц вЂ” Цфо(и) — фо(в)Ц ~)(д — 2Е)Ци — еЦ.
Следовательно, ограннченне ф на В ннъективно, н лемма доказана. Птедложение 4. Пусть А — компактное подмножество в Х. Существуют комечнвмерное векторное пространство Е и морфизм уоп'в' (Х; Е) (тчь Фм), являющийся погружением в окрестности подмножества А. з 4 з. двпствия комплктных ггтпп ли нл многоовщзнях 107 Пусть (К, 4х, Е~),, — конечное семейство таких карт на Х, что их области определения покрывают А. Можно продолжить 9~ до отображения из Х в Е~ (также обозначаемого через о), полагая щ(х)=0 для хф ф К.
Пусть (У,),, — покрытие множества А открытымн множествами из Х, такими, что У;сК для всех 1гп! (существование такого покрытия вытекает нз следствия 1 из Тор. уеи., спар. 1Х, р. 48 ~), примененного к компактному пространству Х', полученному из Х присоединением бесконечно удаленной точки, н к яокрытию пространства Х' открытыми множествами К (1щ() и ХсА). Для любого 1~7 пусть я~ — числовая функция на Х класса С', равная 1 во всех точках множества К и с носителем, содержащимся в К (Мн., Св. рез., 5.3,6). Рассмотрим отображение йи Х - Щ (Е;Е !4), определяемое формулой !оl ~р (х) =(я,(х) ~р,(х), я, (х)), Для любого ггн1 отображение я; 1з принадлежит классу С' (поскольку его ограничения на У~ и на дополнение к носителю я~ принадлежит классу С'), а его ограничение на К есть погружение.
Отсюда следует, что ф — морфизм класса С', являющийся иммерсней во всех точках множества А. Покажем, что ограничение а на А ннъективно. Пусть х, у — такие две точки из А, что у(х)=~р(у), и пусть 1щ( — такой индекс, для которого хеи чн Уь Тогда я; (х) =1, и, стало быть, я~ (у) =1, что влечет за собой ущ К, но, кроме того, р (х)=~9(у), откуда х=у ввиду того, что ~р индуцирует погружение множества К в Е,. Можно доказать з), что любое втделниое счетное н бесконечности чистое многообразие размерности и можно погрузить з йз"; менее сильный результат си, в упрзжненнн 2.
л. Теорема об вквмвариаитном погружении В этом пункте предполагается, что гФы. ЛнммлЗ. Пусть б — комиактная тоиологическая груииа, непрерывно действующая на тоиологическом иространстве Х, А — иодмножество в Х, устойчивое относительно б, и йт — окрестность подмножества А. Тогда существует открытая окрестность У иодмнолсества А, устойчивая относительно б и содержащаяся в йт, Положим Г=Х-йт ') и У=Х-бг". Тогда множество У открыто (Общ.
тои., 1969, гл. Ш, $4, п' 1, следствие 1), устойчиво относительно б и А с Ус 67. Тногвмл 1. Пусть б — комиактнаи груииа Пи, (у, х)ь ух — закон левого действия класса С' группы б на Х и А — компактное подмножество ') См. также Общ. тоь., 1975, гл. 1Х, $4, и' 3.— Прим. иерее. з) См. 1УЬ11неу Н. Тье зен-1н1егзеспоп о1 в зюооул и-ывнбо14 1н 2и-зрзсе.
Анп. о! Ма!6., ч. 45, 1944, р. 220 — 246. ') 1Р— внутренность множества Ит, си, Общ. тьь., 1908, гл. 1, $1, и' 6.— Прим. верее. 108 гл. ~х, компьктныв вещвстввнные ггтппы ли в Х. Существуют аналитическое линейное представление р группы б в конечномерном векторном пространстве Е, морфиям р.' Х- Е класса С', согласованный с действием группы б, и открытая окрестность И'подмножества А, устойчивая относительно действия группы б, такие, что огракичение у на У есть погружение. Заменяя А на компактное подмножество 6А, мы приходим к случаю, когда А устойчиво относительно б.
Пусть Еь — такое конечномерное векторное пространство, что существует элемент из в" (Х; Еь), являющийся погружением в окрестности множества А (п' 1, предложение 4); тогда множество .9' морфизмов, обладающих этим свойством, открыто и непусто в е'(Х; Еь) (и' 1, предложение 3). Рассмотрим непрерывное линейное представление компактной группы О в пространстве ег' (Х; Еь) ($6, п' 4, лемма 4). Согласно теореме Петера — Вейля (ТИ. зрес.), объединение коиечномерных надпространств, устойчивых относительно О, плотно в чг'(Х; Еь) Тогда существует такой элемент ~рь из 3', что отображения хьь ~рь(йх) для всех йги 6 порождают конечномерное векторное надпространство Ег в Я" (Х; Еь), которое очевидным образом устойчиво относительно действия группы б. Возьмем в качестве Е пространство Ногп е(Еь Еь), в качестве р представление группы О в пространстве Е, индуцированное действием б на Еь и в качестве р: Х вЂ” Е отображение, которое точке хенХ ставит в соответствие линейное отображение ф ~ ф (х) из Е~ в Е,.
Это морфизм класса С', для хгпХ, йги О н греиЕ~ гь (йх) (ф) = ф (йх) = ~р (х) (ф т (д)) =(р (д) ф (х)) (ф), где через т(й) обозначается автоморфизм х~ йх пространства Х. Пусть оп Ногае(Еь Еь) — Еь — линейное отображение иг и(~рь), тогда пьер = фь, так что ~р — погружение в окрестности множества А ввиду того, что отображение фь обладает этим свойством. Таким образом, существует такая открытая окрестность У множества А, что ограничение р на У есть погружение; кроме того, согласно лемме 3, окрестность 0 можно выбрать устойчивой относительно действия группы О, что и завершает доказательство теоремы.
Следствие !. Предположим, что Х компактно. Существуют аналитическое линейное представление р группы б в конечномерном векторном пространстве Е и погружение ~р: Х- Е, такие, что ~р(йх)=р (й) ф(х) для йгиб, кеХ. Следствие 2. Пусть Н вЂ” замкнутая подгруппа в б. Существуют аналитическое линейное представление группы Ли О в конечномерном векторном пространстве Е и точка оеиЕ, стабилизатор которой совпадает с Н. Применим следствие 1 к каноническому действию группы Ли б иа компактном многообразии б/Н. Тогда мы получим аналитическое линей- г 4 э. деиствия компактных ггтпп ли нх многооввхзнях 109 ное представление р: 6-~61.(Е) и такое погружение ф: О/Н- Е, что ф (кх) р (к) ф (х) для да 6, ха О/Н. Пусть ее 6/Н вЂ” класс элемента етмО и о р(е) — его образ. Для любого бы 0 р (у) о = о чь ф (уе) = ф (е) чь уе в чь д си Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
