Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1) Пусть 6 — связная компактная группа Ли, действующая иа себе внутренними автоморфизмами. Стабилизатор элемента х в 6 есть не что иное, как централнзатор Х (х) элемента х в 6; он содержит любой максимальный тор, содержащий х. Отсюда следует, что наибольший орбитальный тип т есть класс сопряженности максимальных торов в группе Лн 6.
Открытое подмножество 6<н состоит из вполне регулярных элементов группы Ли 6 ($5, и'1, замечание). Предположим, что 6 односвязна. Тогда 6<О совпадает с множеством 6, ее регукярных элементов ($5, и' 2, замечание 2); если А — альков лодалгебры Картана 1 алгебры Ли 9=1(6), то отображение, являющееся композицией отображений и: А — Р 6, - 6,/1п1 (6), есть изоморфизм аналитических многообразий. В самом деле, это гомеоморфизм ($5, и 2, следствие 1 предложения 2). Пусть ашА; положим 1=ехр а и отождествим П (6) с в лри помощи сдвига у(1). Тогда касательное отображение Т,(я) отождествится с отобра- ! дополнение <, стнэктэпх компхктнь<х ггтпп 117 женнем, являющимся компознцней канонического вложения 1-ь й и отображения перехода к факторгруппе и- и/(ш (Ад< ' — 1).
Поскольку элемент ! регулярен, Т,(я) есть нзоморфнзм, откуда получаем искомый результат (Мн., Св. ргз., 5.7.8). 2) Пусть Š— вещественное аффннное евклидова пространство, ю— множество гнперпдоскостей в Е н %7 — группа преобразований пространства Е, порожденная ортогональнымн отраженнямн относнтельно гиперплоскостей нз (э. Предположим, что множество Э устойчиво относительно Ж', а группа Ф; наделенная дискретной топологией, естественным образом действуег в пространстве Е. Можно применять сказанное выше к действню группы йу на Е. Стабилизатор точки к нз Е является подгруппой в (Р, порожденной отражениями относительно гнперплоскостей нз гэ, содержащих точку к (гл.
Ч, $ 3, п' 3, предложенне 2). Следовательно, нанбольшим орбитальным тяпам т явля- „ ется класс подгруппы (18 <), а Е<,> — объединение камер в Е. Отметим, что в этом случае накрытне Е<,> -~ Е<.>/ ЯГ тривиально, н, в частностн, множество Е<,> несвязно, если множество 9 непусто. ДОПОЛНЕНИЕ 1 Структура компактпык групп г. Погружеппе комп<астмой группы в произведение групп Лп Пгедлох<ннив 1. Любая компактная типологическая группа 6 изоморфна замкнутой подгруппе в произведении номпантнык групп Ли. Обозначим через 6 множество классов унитарных непрнводимых непрерывных представлений группы 6 в конечномерных комплексных гнльбертовых пространствах (Т>>. гргс.).
Для любого элемента и гп б пусть ̈́— пространство представления и н р<л б — ~- () (Н„) — гомоморфнзм, ассоциированный с и. Согласно теореме Петера — Вейля (Т><. зргс.), непрерывный гомоморфизм р=(р)„ап иэ 6 в Ц 1> (Нл) инъективен; ымв поскольку группа 6 компактна, р ннлуцнрует нзоморфнзм группы 6 на замкнутую подгруппу в группе Ц (> (Н„). иио Следствие !.
Пусть У вЂ” окрестность единичного элемента в 6. Тогда У содержит такую нормальную замкнутую подгруппу Н группы б. что факгоргрунпа б/Н является группой Ли. Пусть(К>)ь с — такое семейство компактных групп Лн, что б отождествляется с замкнутой подгруппой в Ц Кь Для любого ЛгпЕ обозначим >мс гл. ~х. компьктныв ввшвственныв ггтппы ли !!в через рх! б -ь Кх ограничение на б канонической проекции. Существуют конечное множество 1 с= А и для каждого Хек 1 окрестность начала координат Уь в Кь, такие, что У содержит ! 1 р, ' (Ух).
Теперь достатбчно полохыт жить Н= Д Кег(Р,). Обозначим через (Н,),, убываюигее фильтруюшееся семейство замкнутых нормальных подгрупп в б, такое, что факторгруппа б/Н является группой Лн. Рассмотрим проективную систему компактных групп Ли б/Н„(см. Общ. топ., 1969, гл. 111, $' 7, и' 3). Слвдствиз 2. Каноническое отображение б-~-)нп О/Н, есть изоморфизм топологических групп Действительно, из следствия 1 вытекает, что условие (АР) из Общ.
топ., 1969, гл. 1П, $7, п' 3, выполнено; теперь утверждение следует из предложения 2 из Общ. топ., 1969, гл. П1, 3 7, и 3. Слвдствнв 3. Для того чтобы б была группой Ли, необходимо и достаточно, чтобы в ней существовала окрестность единичного элемента е, не содержащая никакой нормальной подгруппы, отличной от (е). Необходимость этого условия уже доказана (гл. 1П, $4, и' 2, следствие 1 теоремы 2), а достаточность легко получается из следствия 1.
2. Проективмый предел групп Ли Лемма 1. Пусть (О„, )„г) — проективная система топологических групп относительно фильтрующегося мноэсества индексов 1 и 0 — ее предел. Предположим, что канонические отображения !'„: О -ь 0 сюръективны. а) Подгруппы Р (0,) (соотв. С(б,), соотв. С (0,)ь) образуют проективную систему подмноэсеств в б .
б) Р(0)=!Пп Р(б„) и С(а)=!!гп С(0 ). в) Если группа б„компактна для любого а~1, то С(б)ь=!!гп С(0 )ь Пусть а, 6 — два элемента из 1, причем а<3, Тогда )ы(Р (Ог))~ с=О (О ) и1 ь(С(бз)) ~=С(0 ), поскольку отображение!,т сюръективно; из непрерывности отображения 1,э получаем, что 1„э(Р(0))~Р(0„) и 1 з (С (Оз)ь) ~ С (0,)ь, откуда следует а). Поскольку отображение сюръективно, 1, (Р (0)) = Р (О ) (А!у., сйар.
1, р. 67, ргор. 6), тогда Р (О) = дополнение <. стетктттх компяктных гттпп !!9 =!пп 0 (6,) (Оби!. топ., 1968, гл. 1, $4, п' 4, следствие). Из сюръективности 1, получаем включение 1 (С(6))~С(6 ) и, стало быть, С(6)с с Вш С (6,); обратное включение очевидна Наконец, утверждение в) вытекаег из утверждения б) и из предложения 4 из Общ. топ., гл. 111, $7, п' 3. Леммх2. Пусть (В«), А, (Ть)ь  — два конечнык семейства односвязнык почти простык групп Ли (гл. 1П, $9, и' 8, определение 3), и пусть и: Ц В,— Ц Ть — сюръективный морфизм. Тогда существуют инъек«ол ЬоВ тивное отоброясение П В -» А и такие изоморфизмы иь: В«ь!- Ть (ЬщВ), что и((з»), А)=(иь(з«ь))ь в для любого элемента (з,) А из Ц 5,. »ыл Обозначим через з (соотв.
!ь) алгебру Ли группы В, (соотв. Ть) для ащА (соотв. Ьеид) и рассмотрим гомоморфизм й(и): Ц з,— Ц <,. «ыл Ьоэ Его ядро есть идеал в полупростой алгебре Ли Ц з, и, стало быть, имеет »ыл вид Ц з„где А" сА (гл. 1, й б, п' 2, следствие ! ). Положим А'=А-А". »ыл При ограничении В(и)определяет изоморфизм): Ц з,-» Ц <ь Соглас«ил' ЬыВ но тому же следствию, для любого а из А' идеал 1(з,) совпадает с одним из <ь! следовательно, существует такая биекцня 1: В -» А', что! (ю <ь!) = <» для Ь ~ В, и 1 задает изоморфизм 1«<з«ь! — »<ь. Поскольку группы 5» и Ть односвнзны, существуют такие изоморфизмы иь. 'Я«м-» Ть, что В(иь)=1Ь для ЬщВ (гл.
П!, $ б, и'3, теорема 3). Обозначим через й: Ц В,-» Ц Т, морфизм, определяемый форму»ол Ьыв лой и((з,), А)=(иь(з,<ьЬ))ь В. По построению имеем 1. (й)=1=1. (и), откуда й=и, что завершает доказательство леммы. Леммх 3. В условиях леммы 1 предположим, что группы 6, являются односвязными компактными группами Ли. Тогда топологическая группа 6 изоморфна произведению односвязнык почти просгык компактнык групп Ли.
Для любого аы1 группа О„является прямым произведением конечного семейства односвязных почти простых подгрупп (Вх)ь с (гл. П1, $9, и' 8, предложение 28) . Пусть (! ЬнУ и 8 ~э а. Согласно лемме 2, существует такое отображение!Ь . '1. -ь Вь, что 1„Ь(ВЬ 1 З„для !Ььн(,„. Тогда < „<ы 1,ь» 1ь =1„, для а- р. у, так что (й, 1ь ) есть индуктивная система множеств относительно 1.
Пусть 1. — ее предел; ввиду того что отображения Гя. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ !ео 1ь„инъективны, Р„можно отождествить с подмножеством в С, так что ~=0 С' амl Пусть Лепт.. Положим 5"„=(!), если ХфЬ., и обозначим через раь. 'Зьа- 5'. морфием, полученный из ! ь, .таким образом, мы придем к проективной системе топологических групп (5',~р'ь), предел 5а которой изоморфен 5 для некоторого достаточно большого а.
Канонический гомоморфизм топологических групп биективен (Гп. епз., с(тар. 111, р. 57, сог. 2); он является изоморфизмом, поскольку рассматриваемые группы компактны. Но первая из этих групп отождествляется с 6, а вторая — с произведением групп Зь что завершает доказательство леммы. «у. Строение связных компактных груня Пусть 6 — коммутативная компактная группа. Напомним , (Спектр. теор., гл. П, $1, и' 9, предложение 11), что тогда б изоморфна топологической группе, двойственной к дискретной коммутативной группе 6. Группа б связна тогда и только тогда, когда 6 — группа без кручения (Спектр.
теор., гл. !1, $2, п'2, следствие ! предложения 4). Следующие свойства эквивалентны (Спектр. теор., гл. 11, $2, и' 2, следствие 2 предложения 4, и $1, п*9, следствие 2 предложения 11): (!) 6 вполне несвязна; (й) 6 — периодическая группа; (й!) топологическая группа б изоморфна пределу проективной системы конечных (коммутативных) групп, снабженных дискретной топологией. Следующее предложение обобщает следствие 1 предложения 4 из $1, и* 4.
ПРедложение2. Пусть 6 — связная компактная группа. а) С(6)ь есть коммутативная связная компактная группа; Р(б)— связная компактная группа, совпадающая со своей производной группой. б) Непрерывный гомоморфизм (х, у) Р ху из С (6)ьХР (6) в 6 сюръективен, а его ядро есть центральная подгруппа в С(б)оХР(6), компактная и вполне несвязная. в) Существуют семейство (3,)ьа с компактных почти простых групп Ли и непрерывный сюръективный гомоморфизм П 5, -а Р (6), ядро котороаа С го есть компактная вполне несвязная центральная подгруппа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
