Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 29
Текст из файла (страница 29)
4) Пусть 6 — связная компактная группа Ли, Т вЂ” максимальный тор и 6 и 5 — подтор в Т. Обозначим через Е (соотв. р) стабилизатор (соотв. централи- затор) 5 в (Ро (Т). а) Доказать, что группа Но(5)/Хп(5) изоморфна Х/Р. б) Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа в 6, и которой 5 является макси мальным тором. Показать, что каждый элемент группы йул(5), рассматриваемый как автоморфизм 5, является ограничением на 5 некоторого элемента из 2.
б) Пусть 6 — связная компактная группа Ли и 5 — тор в 6. Показать, что следующие условия равносильны: (1) 5 содержится в единственном максимальном торе; (й) хо (5) — максимальный тор; (ш) 5 солержит регулярный элемент. 6) Пусть 6 — связная компактная группа Ли, Т вЂ” максимальный тор в 6, й (соотв. !) — алгебра Ли группы 6 (соатв. Т) и (: ! -«й — каноническое вложение. Показать, что отображение '(: й* -«1* определяет после перехода к факторотображению гомеоморфизм й*/6 на 1*/)То(Т). «! 7) Пусть Х и У вЂ” два связных отделимых вещественных многообразия класса С'(1 (г(ы) и размерности и; пусть [: Х вЂ” г У вЂ” собственный морфизм класса С', снабженный ориентацией Р (Мл., Са. рез., 10.2.0).
а) Показать, что существует и единственно вещественное число д, для которого справедливо равенство ~ [* м=б~ м для любой скрученной (нечетной) диффе- ренциальной формы а класса С' и степени и на У с компактным носителем (использовать Мн., Св. рез., 11.2.4). б) Пусть ущ У такова, что [ э«ален во всех точках ! ' (у). Для хщ[ ' (у) положим «. О)=1 (соотв, «„([)= — 1), если отображения р, и [„(Мн., Са. рез., 10.2.0, пример Ь)) множества Ог (Т, (Х)) в Ог (Т„(У)) совпадают (соотв противоположны).
Докаэатзч что г(= ~ «„([), так что бгмй. "м( 'Ы Число б называют степенью морфизма [ н обозначают через деп Е Если Х= = У н если Х ориентируемо, в качестве Р берут отображение, сохраняющее ориентацию Х. в) Если бек [чьО, показать, что [ сюръективен. г) Если существуег такая точна хгыХ, что ( 'Ц(х)) «х) и [ зтален в х, то 1 сюръективен.
8) Пусть 6 — связная компактная группа Ли и бй — нормированная мера Хаара на 6. 189 ГЛ. ГХ. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ 1 х а) Пусть /: 6- С вЂ” морфизм многообразий; для н»мО отождествим с помощью левого сдвига дифференциал Тэ (/) с линейным отображением й (6) в Ь (6). Доказать равенство бей /.
~ »р (д)»(й ~ В (/(й)) бе! Т (/) г(й с для любой функции и, интегрируемой на 6 (с комплексными значениями), н ра- венство бей /= ~ бе! Т (/)»(д. б) Пусть»р». '6- 6 — отображение, переводящее я в д*. Доказать ра, венство бей 9» — — ~ бе1(1+Аб й+... +(Ад я)~ ')»(я. с в) Пусть Т вЂ” максимальный тор в О и Т,— множество регулярных ваементов в Т. Показать, что ехр (Т,)сЬ(Т) и»рь (Т,)~Т, для всех й~1. г) Показать, что бей»р»9 йэгм!Г); вывести отсюда равенство $ бе1(1+Ай н+...
+(Адй)" ')г(й=й иэ!Г!. 9) Это упражнение посвящено другому доказательству теоремы 2. Пусть Π— связная компактная группа Ли, Т вЂ” максимальный тар в О н Н вЂ” егб нормализатор. Обозначим через 6 Х "Т фактормногоабразие 6 Х Т по действию группы Н, определенному формулой (Л, Г).л (ял, и ' ги) (Мн., Св. Рез., 6.5.1). а) Показать, что морфизм (й, Г)~йтя ' многообразия СХТ в 6 определяет после перехода к факторотображенню аналитический морфием /: ОХ Т - О. б) Пусть  — такой элемент Т, степени которого плотны в Т (Общ.
Гоп., 1969, гл. !ГП, $1, п' 3, следствие 2). Показать, что / ' (В)=(х). где х — класс пары (е, В) в 6 ХлТ, н что / этален в точке х. в) Вывести из упражнения 7г), что / сюръективен, и получить отсюда другое доказательство теоремы 2. 10)" В этом упражнения используется следующий результат нз алгебраической топологии (формула Лефюеца ~) ); пусть Х вЂ” конечномерное компактное мяогообразие и / — марфнзм Х в себя.
Предположим, что множество Р неподвижных точек для / (т. е. таких, что /(х) х) конечно н что для всех хщР число Ь(х) бе! (1 — Т,(/)) отлично ат нуля. Обозначим через Н'(/) эндоморфизм линейного пространства Н'(Х, й), иидуцнрованный отображением / (прн 1=»0). Тогда Ь (х)/16 (х)! = ~ (-1)' (г Н! (/). Ива 9 Доказательство см., например, в статье: (.е!эсйе(х 8. 1п1егзесВопз апб 1гапз1огщайопз о( согар!ехез ав6 тапйо!дз.— Тгапз. Атег. Майк Вос., ч. 28, 1926, р.
1 — 49. (См. также; Дольд А. Лекции по алгебраической топологии.— Мх Мир, 1976,— Ред.) УПРАЖНЕНИЯ Пусть Π— связная компактная группа Лн и Т вЂ” максимальный тор в О. Для ущ О обозначим через т(у) автоморфизм многообразия О/Т, порожденный левым сдвигом на у. а) Пусть à — таной элемент нз Т, что порожденная нм подгруппа плотна в Т. Показать, что неподвнжнимн точками автоморфиама т (1) являктгся классы лТ для аоы/оо(Т). Вызестн отсюда, что (Мо(Т): Т) ~ Й1щцВН(6/Т, Н).
еже б) Пусть у — произвольный элемент из 6; показать. что множество неподвижных точек автоморфнзма т (у) непусто, н вывестн отсюда еще одно доказательство теоремы 2,о 11) Пусть Π— компактная группа Ли. Говорят, что подгруппа 5 в 6 есть подгруппа гила (С), если она совпадает с замыканием некоторой циклической подгруппы и имеет конечный индекс в своем нормалнзаторе. а) Пусть 5 — подгруппа типа (С); показать, что 5о — максимальный тор в Оо и что 5 является прямым произведением 5о н некоторой конечной циклической подгруппы. б) Доказать, что каждый элемент уоы6 содержится в некоторой подгруппе типа (С) (рассмотреть подгруппу, порожденную у и максимальным тором в 2(у)ой. в) Пусть 5 — подгруппа типа (С) и з — такой элемент в 5, что его степени плот.
ны в 5. Показать, что каждый элемент из зОо сопряжен с помощью 1п( (Оо) с элементом нз з5о (использовать метод упражнении 1О). г) Обозначим через р: 6-о- 6/Оо естественную проекцию. Показать, что отображение 5 ьь р (5) задает биекцню множества классов сопряженности подгрупп типа (С) з О на множество классов сопряженности циклических подгрупп з 6/Оо. д) Пусть 5 — подгруппа типа (С) в О; обозначим через 5, множество таких ее зхементов, образ которых з 5/5о порождает 5/5о. Показать, что дза элемента из 5„ сопряженные в 6, сопряжены в Уо(5).
1) Пусть 6 — компактная группа Лн размерности )О. Для того чтобы любая конечнап коммутатнвная подгруппа в О била циклической, необходимо и достаточно, чтобы 6 била изоморфна либо () (1, С), либо $0 (2, С), либо нормали- затору максимального тора в $0 (2, С). 2) Обозначим через К одно нз тел Н, С или И н через л — целое число ~о1. Снабдим пространство КТ обычной зрмнтовой формой. а) Показать, что О (л, К) — компактная вещественная группа Ли. б) Доказатто что единичная сфера а КТ является (вещественным) однородным пространством Лн для группы 0 (а, К); стабилизатор точки изоморфен 0 (л — 1, К).
в) Вывести отсюда, что группы 0 (и, С) н 11 (л, Н) связны, а группа О(л, Н) имеет две связные компоненты. г) Показать, что группы $0(л, Н) н $0 (л, С) свяэны. д) Показать, что группа 0 (л, Н) (соотв. () (л, СВ является полупрямым произведением В/2а (соотв. Т) на $0(л, Н) (соотв. $0(л, С)). 3) а) Показать, что алгеброй Лн вещественной группи Лн 0 (л, Н) является множество матриц кенМо(Н) со свойством 'х — к, снабженное скобкой (х,у) ° оху-ух. Обозначим ее через и (л, Н). б) Отождествнм С с подполем Н (1) в И н Сы с Н" с помощью изоморфизма (зь ..., ззо) ьь (зо+)хоэь ..., ло+/зз ). Доказать, что () (л. Н) 0 (2л, С)() $р (2л, С).
132 гл, !х, компактные вещественные гехппы ли в) Вывестн нз б), что всякая (вещественная) простая компактная алгебра Лн тина С, нзоморфна н(п, Н). 4) Пусть и — целое число )1. а) Показатгч что группа $0 (л, С) односвязна (использовать упражненне 2). б) Показать, что цеятр группы $0 (л, С) состонт нз матриц вида Кйч где Дщ С, Д" = 1. в) Всякая почти простая компактная группа Лн тнпа А„нзоморфна фактор. глупце группы $!) (я+1, С) по цнклнческой подгруппе, состонщей нз матриц вида ь Н еь 0(й ~(б, где Ы вЂ” делитель я+1, а Š— примитивный корень степени Ы нз единицы. г) Доказать, что группа Я.(л, С) односвязпа (нспользовать гл.
!П, 4 6, п' 9, теорема 6). 6) Для целого л ) ! через Вр!п (и, Н) обозначается прнведекная группа Кзнффорда, ассоциированная с обычной квадратичной формой яа Н" (Алг., гл. 1Х, Э 9, п' 6). а) Показать, что $р!п(л, Н) — компактная группа Лп н что сюръектнвный гомоморфязм лщ Вр1п(л, Н)- $0(п, Н) (см. тал же) аналктнчен н его ядро — зто (+1, — 1). б) Для и) 2 показать, что Вр1п (л, Н) — связная н одиосвязная группа (нспользовать упражненне 2). Группа щ ($0(л, Н)) циклическая порядка 2. в) Пусть 2„— центр группы Вр(п (л, Н). Показать, что пря нечетном и 2„= =(1, — Ц, а прн четном л)2 Е,=(1, — 1, з, — з), где е=е| ... е — пронэведенпе влементов канонического базиса в Н"; группа Ем изоморфна (л/2л)' (соотв.
2/42), если г четно (соотв. нечетко). г) Доказать, что всякая почтн простая связная компактная группа Лн тнпа В,(л~2) нзоморфна либо $р1п(2п+1, Н), либо $0 (2л+1, Н). д) Если г яечетно (соотв. четко) и ~2, то всякая почтн простая связная компактная группа Лп типа В, нзоморфяа либо $р1п (2г, Н), либо $0(2г, Н), либо $0 (2г, Н)/(~ !ы) (соотв. либо одной из перечисленных групп, либо $р1п (2г, Н)/(1, е)). 6) а) Показать, что компактная группа Лн (! (я, Н) связка н односвязна (использовать упражнение 2) н ее центр есть (~7,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
