Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть (б„, Г„ь) — проективная система компактных групп Ли относительно фильтрующегося множества С такая, что 6 изоморфна Игп 6„, а о дополнвииа ь стнхктгкк компхктных гвхпп 121 канонические отображения )„; О - б„сюръективны (следствие 2 предложения 1).
Для а он/ пусть л„: 0 (б ) — 0 (6 ) — универсальное накрытие группы 0(б ). Из отображений !.в получаем морфнзмы г„э. 0(бо)- ~ 0(б ), так что (0(0 ), ! о) есть проективнаи система топологических групп, удовлетворяющая условиям леммы 3. Из этой же леммы следует, что топологнческая группа Вш Р (0,) изоморфна произведению семейства (Зо)к с компактных почти простых групп Ли.
Согласно лемме 1, предел проективной системы гомоморфнзмов (л,) отождествляется с непрерывным гомоморфизмом и: П Вх -~ Р (6), который сюръективен (Оба!. гол., 1969, гл. 1, $9, п'6, следствие 24. Теперь отметим, что группа П Я„совпадает со своей производной хне о группой: это вытекает из следствия предложения 10 из 4 4, п'5. Стало быть, группа 0 (6) также совпадает со своей производной группой, поскольку гомоморфизм л сюръективен. В качестве следствия получаем 0(6)~0(0(0))=0(б).
Таким образом, группа Р(б) компактна н совпадает со своей производной группой; это доказивает а), так хак утверждения, касающиеся С(6)о, тривиальны. С другой стороны, ядро гомоморфизма и: П 5х-о.0(б) отождекме ствлнется с 1нп Кег (н ) (А!и., сйар. И, р. 89, гель 1), т. е. с компактной вполне несвязной центральной подгруппой, откуда получаем в). Докажем б). Длн любого а из о' морфизм з: С(6 )оХР(0 ) — 6, такой, что з (х, у) =ху для хоп С (бо)о, уоп 0 (6 ), сюръективен, а его ядро является конечной центральной подгруппой ($1, п' 4, следствие 1 предо(ржения 4).
Морфизмы в, образуют проективную систему отображений, предел которой отождествляется ввиду сказанного выше с гомоморфизмом (х, у) ~-~- ху из С(0)оХ0 (6) в 6. Теперь несложно показать, как это делалось выше, что этот морфизм сюръективен и что его ядро центрально и вполне несвязно, откуда вытекает б). Слвдствие. Любая разрешимая связная компактная грулла коммутагивна. Действительно, тогда ее производная группа разрешима и совпадает со своей производной группой (предложение 2а)); следовательно, она состоит лишь из едицичного элемента. гл.
>х. компхктные вещественные гвтппы ли ДОПОЛНЕНИЕ П Представления вещественного, комплексного нлн квктерннонного тнпк 1. Представления век)ествениегх алгебр Обозначим через о автоморфизм а >-ь а пространства С; если (Р— комплексное векторное пространство, то через Ф обозначается векторное С-пространство о,(Ф) (т, е, группа Мт, наделенная законом действия (а, ю) >-ь а>в для а си С, >вы %'), Пэедложенне 1.
Пусть А есть К-алггбра (ассоциативная с единицей) и У вЂ” простой А-модуль конечной размерности над Н. Тогда имеет место один из следующих трек случаев: а) коммуганг модуля У (Алг., гл. ЧШ, $1, и'2) изоморфгн К и А(с>-модуль У>с> прост' (>) коммутанг модуля У изоморфгн С; А>с>-модуль У>с> есть прямая сумма двух нгизоморфных простых А>с>-подмодулвй, переводимых друг в друга автоморфиэмом о>й!И у) коммутант модуля У изоморфгн Н; А<ссмодуль У>с> есть прямая сумма двух своих изоморфных простых А -подмодулгй, переводимых друг в друга автоморфизмом о>8>1г Коммутант Е модуля Уесть тело, являющееся конечным рас>пиреннем К (А12., с»ар.
ЧШ, $3, п'2, ргор. 2), н, значит, иэоморфен К С или Н (А(у., с(>ар. ЧШ, $15). А>с>-модуль У>с> полупрост (Алг., гл. ЧП!, $3, п' 3), и его коммутант отождествляется с С б> „Е (А1д., с(>ар. ЧШ, $11, и' 2, 1ещща 1). Если Е изоморфен Н, то коммутант модуля У<с> изоморфен С и У>с> — простой А>с>-модуль (Алг., гл.
Ч111, 5 3, п* 1). Если Е не нэоморфен Н то он содержит поле, изоморфное С. Отсюда получаем на У структуру А>с>-модуля, обозначаемую через У'. Тогда У' — пРостой А>с>.модУль, а С-линейное отобРажение ф: У<с>-ч- У'й> У', такое, что ф(а>2>о)=(ссо, ао) для аяС, оеУ,— изоморфнзм (А!у., с(>ар. Ч, р. 61, ргор.
8), Кроме того, о®1г соответствует при этом изоморфизме Н-автоморфнзму (о, о') н-(о', о) пространства У'9 У' н, стало быть, переводит Акуподмодулн т ' (У') н >Р ' (У') друг в друга. Коммутант Е>с> модуля У>с> содержит, таким образом, алгебру СХС, действующую на У'>Т> У' гомотетнямн. Для того чтобы не существовало изоморфизма между А>с>-модулями У' и У', необходимо и достаточно, чтобы алгебра Е>с> совпадала с С Х С, т. е.
чтобы тело Е было иэоморфно С. Это и завершает доказательство. дополнение и. пРедстАВления ПРедложение 2. пусть А есть и-алгебра (ассоциативная с единицей) и Ят — простой А сгмодуль конечной размерности над С. Тогда имеет место один из следующих трех случаев: а) Существует А1сгизоморфизм 0 пространства ЯГ на пространство Ят, такой, что 6 ч В = 1 ю Тогда множество У неподвижных точек огобразсения 8 является Р;структурой на Ят, и простой А-модуль ЯГ!а1 имеет коммутант, равный К1Р Кроме того, Ят!и! является прямой суммой двух простьис изоморфных А-модулей.
б) А1сгмодули ЯГ и Ф не изоморфны; тогда ЯГ!аг — простой А-модуль с коммутантом, равным С.!в. в) Существует А!Сгизоморфизм 6 пространства Ят на пространство Ят, такой, что 6 о В = — 1 в. Тогда А-модуль Ят!и! прост и его коммутант совпа- дает с телом С.(в®С,В, изоморфным Н. Комплексное векторное пространство Нотл (Ят, Ят) имеет размереи ность с.,! (А!д., сйар. ЧН1, $3, и'2); если ВсиНощл (Ят, (Р), то вида~с~ морфизм В ч 6 пространства Ят является гомотетней с коэффициентом а ы щС.
Для любого ющЯГ имеем аВ(ю)=Вч Вч 8(ю)=8(агв)=аВ(гв); та- ким образом, коэффициент а вещественный. Если В' ХВ для ХснС, то 0' ч 0' = ! М ' 8 я 6 и, стало быть, выполняется одна и только одна из следу- ющих трех возможностей: а) Существует ВщНотпл (Ят, Ят), такой, что боб=!т;, сл б) Ноп|л (ЯГ, ЯГ)=(% в) существует ВЕЕНотпл (Ят, Ят), такой, что Вчб= — ! т,. ~с) В случае а) множество У неподвижных точек отображения 0 является К-структурой на Ят(А 1у., СЬар. Ч, р. 61, ргор. 7); поскольку модуль У!с! изо- морфеи ЯГ, А-модуль У прост н его коммутант равен 11.1„(предложение 1), а модуль ЯГ!и! не является простым.
Обратно, предположим, что модуль ЯГ!а! непрост, тогда пусть У вЂ” простой А-подмодуль в ЯГ!ая поскольку А1стмодуль ЯГ прост, то У+!У= ЯГ и УД(У=(0], т. е. ЯГ=У9!У. Таким образом, У является !Я-структурой на ЯГ, и изоморфизм В пространства ЯГ иа пространство ЯУ, такой, что 8(с.+1с')=с — !с' для с и с' из У, удовлетворяет условию 0 В В качестве следствиЯ полУчаем, что в СЛУчаих б) и в) А<сгмодУль ЯГ!а! прост; согласно предложению 1, его комм утаит Е нзоморфеи С в слу- чае б) н Н в случае в). Кроме того, очевидно, что Е содержит С.1Р и С.В в случае в), откуда и следует предложение.
В предположениях предложения 2 говорят, что ЯГ есть А<стмодуль вещественного, комплексного или кватернионного типа (отиоситвль- но А), если имеет место случай а), б) нли в) соответственно. Гл.!х. компактные еешестаенные ГРуппы ли !24 Для А"= 11 или С обозначим через Як (А) множество классов простых А -модулей конечной размерности над К. Группа Г= а!(С/К) действует на Яс(А); два предыдуших предложения устанавливают биективное соответствие между Ж а(А) и фактормиожестаом Я с (А)/Г.
Пусть 6 — компактная топологическая группа, и пусть р: 6— ~- б(. (Ят) — непрерывное представление группы 6 в конечномерном комплексном векторном пространстве. Будем говорнтгч что р — неприводимое представление вещественного, комплексного или кватернионного типа, если !е явлнется С! 1-модулем (относительно алгебры А = 11!о>) соответ!о> ственно вещественного, комплексного или кватернионного типа. Пусть Н вЂ” невырожденная положительная зрмитова форма на Мт, иивариантная относительно 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
