Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 30
Текст из файла (страница 30)
б) Всякая почти простая связная компактная группа Лн типа С. (я ~ 3) нзоморфна либо Н (я, Н), либо 0 (и, Н)/(~1.). 7) Пусть А — алгебра октоннонов (называемых также октавамн нля чнсламн Кзлн; А!2., свар. Ш, р. 176) с каноннческнм базисом (е)ечпцт (см. талые). Обозначим через )г пространство чисто мнимых октоинонов, порожденное векторамн еь ..., ет, н через Е подпространстао К натянутое на векторы еь ез, еь ез, ез, ег, Отождествпм с полем комплексных чнсел С подалгебру в А, порожденную ее я еь я пусть б означает группу автоморфнзмов алгебры А. а) Обозначим через 0 квадратнчную форму на К кидуцируемую нормой Кзля, так что (е) !ц,цт — ортояормярованный базис в К Доказать, что отображение о ьь а!)г является ннъектнвным гомоморфнэмом 6 в группу $0 (О), нзоморфную $0(7, Н). б) Показать, что умножение в алгебре А снабжает Е структурой трехмерного комплексного пространства с базисом (еь ез, ез).
Обозначнм через Ф зрмнтову форму на Е, относительно которой этот базис ортонормнровак. Пусть Н вЂ” стабнлнзатор еч в б. Показать, что отображение оь» п(Е является нэоморфнзмом Н на группу $0 (Ф), нзоморфпую $0 (3, С). Отображение оьь о(еч) задает вложение Сг/Н в )г, образом которого является сфера Вз. в) Пусть Т вЂ” тор в Н, состощцнй нэ таких автоморфнзмов о, для которых УПРАЖНЕНИЯ 133 о(ео)=ео, о(е1)=аеь п(ег) йеэ, о(ев)=уев о(еэ) еь о(еэ) меэ, о(Еч) йем о (эг)=уеь где а, й, у — три комплексных числа, равных 1 по модулю н связанных равенством пру=!.
Пусть Ф вЂ” нормалнзатор Т в 6; покаэат«ч что Н/7 имеет порядок!2 (заметит«ч что каждый элемент из М должен сохранять множество ~ел « ~ чьО); вывести отсюда, что ранг 6 равен 2. г) Показать, что 6 — связная полупростая группа типа 0э и что О/Н отождествляется с Бе (показать, что 0эФН; вывести отсюда, что 0« — группа типа 6з, затем испольэовать соображения размерности). Всякая компактнан группа типа 0э изоморфна О.
3) Пусть 6 — почти простая связная компактная группа Ли типа А„, В„, С„, 0„ нлн 0э. Локазать, что нэ (6) =О, а яз (6) = 2 (использовать упражнения 2 — 7 н тот факт, что ю(5„) — тривиальная группа прн 1(л и циклическая при 1=л, ср.
Тор, бел., сйар. Х!). 9) Пусть в — компактная алгебра Ли и « — подалгебра Картава в и; пусть (Х )„» — такаи система Шевалле в расщепленной редуктнвной алгебре Лн (йс, «г), что Х„и Х „сопрнжены (относительно и) для всех а«м)1. а) Пусть л — подмодуль Х-модуля «с, содержащий «На (а«м)«) и такой, что и (У')<=2!для всех ащй. Показать, что подмодуль У 2-модуля Вс, порожденный л и элементами и, и (а«НН), является Х-подалгеброй Ли в й.
б) Предположим, что и (соотв, «) — алгебра Лк компактной группы 6 (соотв. максимального тора Т в 6). Пусть Г (Т) — щ«ро гомоморфизма ехрг. «.»- Т. Показать, что 2-модуль (2и) ' Г (У) удовлетворяет условиям пункта а). в) Пусть (, ) — инвариантное скалярное произведение на и; пустЫх (соотв. т) — мера Хаара на и (соотв. «), соответствующая мере Лебега при отождествлении в (соотв. «) с пространством ««" с помощью ортонормнрованного базиса.
Обозначим тем же символом И (соотв. т) меру на й/Бг (соотв. «/у ), которая является фактор- мерой меры П (соотв. т) по нормализованной мере Хаара на л (соотв. л ). Доказать формулу П(й/М)=т(«/У) П (!На,«На). ам» 1) Пусть 6 означает одну из групп Б«)(л,С) или 4)(л, Н); отождествим вес э« (л, С) нли эр(2н, С) соответственно, ср. $3, п' 4 и упражнение 3. Используем обозначения нз гл. И!1, 4 13, и' 1 н п' 3 с » =С. а) Показать, что подгруппа Т в О, состоящая нз диагональных матриц с комплексными коэффициентами, является максимальным тором и что Е(7)(с)=5.
б) Отождествим Х(Т) с йодгруппой в («а с помощью гомоморфнзма В. Показать, что линейные функционалы е, и фундаментальные веса щ«принадлежат Х (Т). Если «=б«ай(«ь ..., «)«ИТ, то э~(«)=«, н и«, (Г)=0..,««для 1 <01<и. с) Вывестя из б) другое доказательство того факта, что группы Б«1 (л, С) н 4) (и, М) односвязны (ср. 4 3, упражнения 4 н 3). 2) Пусть 6=БО(л, «4), л~3;положим и 2!+1, волил печатно,н л=2«„если л четно. Алгебра В отождествляется с е (л, С); используем обозначения из гл. 11!И, 4 13, пп' 2 и 4.
Обозначим через (1)«<,щ„канонический базис в К". Положим 1 1 Е« — ()э; ~+!ГП) и е «= — («т«1-1«э«) для 1<1<1, ео=!Уз!э«+~ ПРи не- 2 2 четном и; в пространстве С" выберем базис Витта еь ..., еь е ь ..., е ь если и четно (соотв. еь ..., еь ео, е ь ..., е ь если л печатно). 134 гл. эх. комплктныв ввщвствкнныв гриппы ли а) Пусть Н~ — подпространство в й", порожденное )я ~ н !з (1~!~<!), показать. что подгруппа в 6, образованная такими элементами й, что й(Н)тН, н бе! (В)Н~)=!для 1 ~!(1, является максимальным тором Т в 6, и что 5 (Т)< — — й.
б) Отождествим Х (Т) с подгруппой в 5' с помощью б. Показать, что линейные функционалы е~ прянадлежат Х(Т); если гепТ и если ограничение ! на Н, является ~э поворотом на угол Вьто з!(!)=е ( Весащь ...,щ э, 2пь и 2щьт~,~а~ принадлежат Х(Т). Если л нечетно, щ~ > принадлежит Х(Т). в) Пусть 6=5р!п(л, й) я йя 6-г 6 — каноническое накрытие. Для В= 1 =(Вь ..., Вю) щ й'положим! (В)= Д (соз В,— !з; < !а з!и В~) щ Й.Показать,чтомно! ! жество элементов Г (В) для В щ й' является максимальным тором Т в 6 и что р (У) = =Т.
При отождествлении Х Щ с подгруппой в 5* имеем е; (! (В))=э~~я. г) Показать, что веса т~ ~ и щ~ принадлежат Х(Т); вывести отсюда, что Вр!п (н, й) — одыэсвязная группа (ср. $3, упражнение 5). 3) а) Показать, что автоморфизм а: А ь.ь А группы 50 (л, С) прн а ~ 3 не является внутренним. Всякий не внутренняй автоморфизм 5() (и, С) имеет вид !п1 (д) а, а 51) (, С). б) Показать, что для всякой почти простой связной компактной группы 6 типа А, (л~)2) группа Ан((6)/!п1(6) циклическая порядка 2 (ср. 4 3, упражнение 4).
4) Пусть а — целое число )2. а) Пусть йщО (2а, й) и де! й= — 1; показать, что автоморфнзм !п1 (й) группы 0 (2л, й) задает автоморфизм 50(2я, й), который не является внутренним. б) Для л>2 группа Ан! (50(2л, )()) совпадает с группой !п1(0(2л, й)) (изоморфной О (2а, )()/(~/э )). в) установить аналогичный результат для 5р!п(2а, й) и 50(2л, )()/(~/ы). Если л четио и не равно 2, всякий автоморфизм группы Вр!п(2л, й)/(1, з) (5 3, упражнение 5) является внутренним.
5) Пусть К вЂ” неприводимая приведенная система корней. а) Показать, что совокупность длинных корней в Р замкнута, симметрична и устойчива относительно йт()!). б) Показать, что всякое непустое подмножество Р в Я, замкнутое, симметричное и устойчивое относительно %7 (М), совладает либо с Н, либо с подмножеством даннных корней. в) Пусть Р чь К.
Показать, что если !( имеет тип В~ (сопев. Сь Рь 6т), то Р имеет тип 6~ (соатв. (А~)', Дэ, Аз). 5) Пусть Н вЂ” замкнутая подгруппа и 6, содержащая Уо(Т). а) Показать, что Н совпадает со своам нормалнзатором в 6 и что группа Н/Нэ изоморфиа йГ/ИГЛ (Т). э б) Показать, что Я (Нэ, Т) устойчиво относительно йг. Обратно, если К— связная замкнутая подгруппа, содержащая Т и такая, что Я (К, Т) устойчиво атно- сительно )Р, то иормалязатор К содержат Но (Т). в) Предположим, что 6 почти проста. Доказать, что Н совпадаетлибо с Нп(Т), либо с 6, за исключением следующих случаев: и) (соатв.
и) ) 6 =5р!п (2!+1, (() (соотв. 6= 50 (2!+1,(!)) и Нэ — стабилизатор ненулевого вектора в (!мч', изоморфный Ьр(п(21, й) (соотв. 50(21, й)); ()) 6 0 (!. Н) и Но=6 — подгруппа диагональных матриц; Р') 6-6(1, Н)/(~Ц н Не=0/(~Ц; у) 6 — группа типа Рз н Нэ изоморфна Ьр!п (8, (!); ХПРЛЖНЕИИЯ б) 6 — группа типа 6т и Но — подгруппа (изоморфная 80 (3, С)), определенная в упражнении 7 к $3. 7) Пусть т: 6- 6Е(У) — непрерывное представление 6 в конечномериом вещественном пространстве.
Предположим, что б)що Уьч, 1 для любого )гщХ (Т). а) Показать, что представление т является прямой суммой конечного набора (т) ~ж,ж, иеприводнмых попарно нензоморфных представлений, коммутанты К~ (1тС(<з) которых изоморфпы й или С. б) Для того чтобы на У существовала структура комплексного векторного пространства, относительно которой операторы нз т (6) были бы С-линейны, необхо.
димо н достаточно, чтобы Кь ..., К, были изоморфны С; в этом случае имеется 2' таких структур. 8) Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа максямального ранга в 6, 8 — ее алгебра Ли, Х вЂ” многообразие 6/Н и У вЂ” касательное пространство к Х в точке, соответствующей смежному классу Н, отождествим У с факгорпространством я/(З. а) Пусть 1 — почти комплексная структура на Х (Мн., Сз. рез., 8.8.3); обозначим через У" (() подпрострапство в С9 У, образованное элементамн и со свойством. 1(и) — гп, и через» (() — прообраз У" О) в Пс так, чтобы каноническое отображение У -ь Пс/» ()) было С-линейным «зоморфнзмом (при условии, что У снабжаетсн комплексной структурой, соотщтствующей 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
