Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ОтобРа- 3 з женке рьь ро устанавливает бпекцню множества мер Хаара на й на аналогнчное множество длн б. б) Выберем инвариантное скалярное пронзведенне ( 1 ) на 0 н меру Хаара т на 1 так, что р (соогв. т) соответствуют мере Лебега прн отождествленнн й с ((" (соотв. 1 с (с') с помощью ортонормнрованного базиса. Доказать формулу п (х) е 1"')' дт (х) (2п)" гз ю (6). — кх т ( у) , е «п(а) 6 Н. Бурбзкн ГЛ. !Х.
КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ 14б в) Отожлествим Х(Т) с подмножеством гильбертова пространства !* с по- МОЩЬЮ ОтОбражЕНИя (2Ю) ' 6 (4 4, О' 2) И ПОЛОЖИМ Р (Х)аа П (И, Х) дпя Хгя!. амл В обозначениях упражнений ! и 2 показать, что тг(Т)' '. =('и)".(') '(")="" П (.") П "-' г) В обозначеняях упражнения 9 к 4 3 пусть Вх — под-2-алгебра Лн в й, порожденная (2и) ' Г (т) и элементамн и„о, для «1ян.
Доказать равенство 2 „и+ но(6)2 й(в/Вх) т1! д) Предположим, что 6 одиосвязна. Показать, что (=г и ро(6) 2Н'и ")О П (и! ) ' П ("!") Ы П ("") «ма ! где иь ...,а1 — базис в Н, а ! — индекс связности Н. е) Предположим, кроме того, что Н иеприводима и что все корни имеют одина. ковую длину, в качестве скалярного произведения на й выберем форму Кнллинга с обратным знаком. Показать, что Ро(6)=(2я)~+'(2Ь) ч )1У П (аг!) 4) Пусть Х вЂ” гладкое многообразие класса С . В этом и следующих упражиеняях обозначим просто через Н (Х) градуированное )1-пространство Н (Я (Х)). а) Показать. что Я (Х) — ассоциативная и аитикоммутатнвная градуированман дифференциальная алгебра (А!2., сЬар. Х, р. 183, ех.
18). Вывести отсюда, что Н (К) обладает естественной структурой ассоциативной антниоммутативной градуированной алгебры. б) Если Х связно н имеет размерность р, то Н' (Х)=0 при !) р и аппп Н'(Х) 1. Если кроме того, К компактно и ориентируемо, то пространство Нг (Х) одномерно (использовать Мм., Сэ. Реэ., 11.2.4). в) Пусть У вЂ” другое многообразие класса С и П Х -ь У вЂ” морфизм класса С . Отображение !«1 Я (У) -ь Я (Х) является морфизмом комплексов (Мм., Се.
Реэ., 8.3.5); показать, что Н()«)! Н(У) — г Н(Х) является морфнзмом алгсбр. г) Предположим, что на Х задано действие связной компактной группы 6 клас. са С . Показать, что подкомплекс Я(Х) инварнантных форм является подалгеброй в Я (Х). Вывести отсюда, что отображение Н(!)! Н (Я (Х)~) Н(Х), определен. иое в теореме 2, нвляется изоморфиэмон градуированных алгебр. д) Показать,что(А)! (В) является подалгеброй вй(! (В) и что она изоморфна градуированной алгебре Н (6). 8) Обозначим через Н(6) градуированную й-алгебру Н(Я (6)) (ср. упражнение 4).
а) Пространство Нг(6) нулевое при р)л и имеет размерность 1 при р 0 а р=п. Пространство Н'(6) канонически отождествляетси с с*, где с= =Е (С(6)). 147 УПРАЖНЕНИЯ б) Предположим в дальнейшем, что О полупроста. Показать, что Н' (О) Н'(О) 0 (ср. гл.. 1, й 6, упражнение 1). в) Обозначим через В (й) пространство билинейных снмметричесинх 0-инварнаигных форм на в; для ькеВ(й) н х, у, зшв повожнм ь(х,у, л)=ь([х,у], г). показать, что отображение Ь»» Ь задает изоморфнзм В(в) иа Н' (0) (пусть м!мН'(6); показать. что два любого х ш и существуег едииствеииая линейная форма ) (х) на й, для которой Л)(х)=!(х) м, и рассмотреть форму (х, у)»» — (у ) (л))). г) Показать, что размерность линейною !(-пространства Н'(0) равна числу простых идеалов в й.
6) Положим Ь, (6)=йши Н'(6) для 1~0 и, обозначая через Х формальную переменную, Рс (Х)= ~ Ь,. (0) Х'. юэ а) Показать, что Ь,(0)=~ 1г Д'(Абу) г(Х н Рс(Х)=) де!(!+Х. Аб Х)г(Х с с (ср. дополнение !1, лемма 1). б) Вывести отсюда равенства~ Ь(0) 2'н~ ( — 1)'Ь!(0)=0, если йш 6~ ! )0 (использовать формулу Г.
Вейля изн упражнение 8 к $2). в) Пусть 6=() (л, С). Показать, что Р (Х) совпадает с коэффициентом прм (Х!...Х„)'" ' в многочлене — '-,(1+Х)" Д (Х Х!+Х,) (Х,-Х,.) !Ш1,1~А 1,»! (с коэффипиентамн в Х [Х[). 7) Пусть К вЂ” свиэная компактная группа Ли. а) Пусть П К-» 0 — сюръектнвный гомоморфнзм с конечным ядром. Показать, что гомоморфизм Н([*)1Н(0)-» Н(К) является мономорфнзмом.
б) Показать, что алгебра Н(ОХ К) канонически отождествлжтся с левым тензорным произведением Н(6)г!ВН (К). в) Вывести из а) н б), что алгебра Н(6) изоморфна Н(С(0)э)г 9 Н (С, 6)). Показать, что алгебра Н (С(6)з) изоморфна /Х (с'), где с = С (С (6)). !(8) Пусть Ь вЂ” тело характеристики нуль и Š— градуированная левая бналгебра над Ь (А!Х., с)!ар. 1П, р, 148, де1. 3 ')!. Предположим, что Е антикоммугативна и антнкокоммутатнвна, а также что Е 0 лля достаточмо больших и.
Пусть Р означает пространство примитивных элементов н Е (ср. гл. П, $1). а) Показать, что любой однородный элемент Р имеет нечетную степень (выписать с (х ) лля большого т). Получить отсюда канонический морфнзм градуированных левых биалгебр В! Д (Р) -». Е (структура градуированной левой биалгебры на гт (Р) определена а А1д., с)!ар. П1, р. !98, ех. 6). б) Показать, что !Р является изоморфизмом (применить доказательство творе. мы 1 гл. П, $1, и' 6). 9) Обозначим через лм СХ 6 О операцию умножения в О, так что т(Х,Ь)=ХЬ для Х,йшО. Отождествнм Н(ОХС) с Н(0)г3Н(6) (упражнение 76) ) так, чтобы отображение ш* задавало гомоморфнзм алгебр ".: Н(6)-» -~.Н(6) ЭН(0). 1) См. также приложение к Гр.
и ллг. Ли, 1976, — Прим. лерга. Гл !х. кампхктньге ВещестВенные Гпуппы лн 148 а) Показать, что (Н (6), с) является левай градуированной антикоммутативной и аятнкокоммутатнвной биалгеброй (заметнтгь что отображение л -е и ' задает на Нэ (6) умножение на ( — 1)г). б) Пусть Р (6) — градуированное надпространство в Н (6), образованное при- митивными элементамн; вывести из упражнения 8, что существуег изоморфизм градуированных биалгебр /! (Р(б)) — Н (6). в) Показать, что ьЧш П Р (6)=г (использовать упражнение бб) ).
! г) Вывестн отсюда, что многочлен ~ 81(б) Х имеет вид (1+Х)'П (1+ >о 22,+1 +Х ' ), где с — размерность С (6), ! — ранг 6(б), а 41 — целые числа ~ 1; кроме того, 81+,+йг (1/2) Свгб Я(б, Т) ') 10) Пусть И вЂ” замкнутая подгруппа в О; обозначим через бй меру Хаара на И с полмой массой 1. Положим х(б/Н)= ~ ( — 1) ЕВщпН (б/Н) !~е а) Доиазать равенство х(б/Н)=~ де! (! — Аб /Э й) НД (использовать А!й., и сйар.
Х, р. 41, ргор. 11, а также лемму 1 из приложения П, п' 2). б) Пусть яе(Н) — чясло связных компонент в Н. Показать. что Х(б/Н)=0, если Нэ ямеет ме максимальный ранг, у(б/Н) ю(б)/ш(Нэ) яэ(Н), есля Н имеет максимальный ранг. 11) Пусть и — автоморфнзм порядка 2 группы О; обозначим через К связную компоненту единицы в мноксестве неподвижных точек для и, через й — ее алгебру Ли и через Х вЂ” симметрическое пространство б/К (4 1, упражнение 8). а) Показать, что всякая 6-ниварнамтная дифференциааьная форма и на Х об- ладает свойством 1(и=0 (заметить, что и задает на Ай '(В/Ь) умножение на (-1) ). б) Получить отсюда изоморфизм градуированной алгебры Н (6/К) на градуи- рованную подалгебру в Ай (В/Ь), образованную К-инвариантными элементами. в) Похожим 81(б/К)=б!гппИ (О/К) дли !)О; для ФШК обозначим через Ад й ограниченяе Ай.й на собственное надпространство Е(и), соответствующее собственному значению — 1.
ПустыН вЂ” мера Хаара иа К с полной массой 1. Доказать формулы: 81(б/К)=5ТгЛ'(Аб -й) сН и~" Эг(б/К) Х'=$ бе!(!+ХА4 й) пй. к 1~0 к г) Если, кроме того, К имеет максимальный ранг, доказать, что алгебра Н (б/К) имеет нулевые компоненты нечетных степеней (заметитгь что и =1п1 (й) для некото- рого йщК). д) Вычислять градуированную алгебру Н (8„). Вывестн отсюда, что В„допуска- ет структуру группы Ли (совместимую са структурой многообразна) тогда и только тогда, когда н 1 нлн 3. 12) Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа в О и Ь вЂ” ее алгебра Ли. а) Пусть м — элемент нз Ьэ, инвариантный относнтельма Н; показатгь что существует такой элемент и в В*, инвариантный относительна Н, чта его ограничение на Ь совпадает с а. Показать, что элемент 1(мгпАйх (В) аннулируется ! (И) и В (И) для всех Н1мЬ и что класс этого элемента в Нт(б/Н) не зависит от выбора о.
Таким образом, определен гомоморфязм ВН И'(Н) Н (О/И). '! Числа й, совпадают с показателями системы Н (О, Т). Ср. (лгау Я., бит !йово!ой!е дев йгоирез де Е!е, дез йарасез Ьощойепез е1 езрасез ВЬгез рппс!раих, Со!1оВие де Торо!ой!е де Вгихейез (1950), р. !01 — 105. 149 УПРАЖНЕНИЯ б) Предположнм в дальнейшем, что 6 полупроста.
Доказать, что ~р — нзоморфнзм. в) Доказать, что Н полупроста тогда н только тогда, когда Н'(6/Н) О. г) Не предполагая связности И, определить нзоморфнзм (О*)~ И'(6/Н) (прнменнть б) к Но). 13) Пусть Н вЂ” замкнутая подгруппа в полупростай группе 6; положим Х= = 6/Н м л=б!ш Х. Показать, что следуюшпе условпн эквивалентны: (!) Существует такая 2-форма м па Х, что бы =О н для всех х см Х знакопеременная билинейная форма м, па Т (Х) невырожденна; (й) л четно н существует такой элемент мщН'(6/!Т), что м"жчьО; (Рй) Н является централпзатором некоторого тора в 6; (!У) И имеет максимальный ранг н на Х существует 6-ннварнантная комплексная структура; (ч) на Х существует такая комплексная структура ! н такая 2-форма м, что г(м = = О н для любых ха Х, и, о ш Т, (Х) писем м, (!и, !о) =м, (и, о) н м, (и, !и)) О прн ичьО (ьдругимя словами, на Х сушествуег кэлероап структура„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
