Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 36
Текст из файла (страница 36)
в) Пусть Т вЂ” тор и (а), — конечное семейство характеров Т, отличных от 1, ДЛЯ которых подгРуппы Х,= Кег аг ПпнаРно различны. Для того чтобы функция е» класса С на Т обращалась в нуль на объединении К„необходимо и достаточно, чтобы она записывалась в виде ф.п (а,— 1), где ф — функция класса С на Т (рассуждать локально на Т и свести к б)). г) В обозначениях п' 4 доказать, что отображение Ь: м (Т)~ У (Т) биективно. 6) Предположим, что 0 некоммутативна, Показать, что непрерывная функция / (р) / на Т антиннварнантна относительно йу, но не принадлежит образу отображения Ь.: 'Ю'(Т)н -» Ф (Т) 1) Пусть А — компактное подмножество в (1, состоящее из нуля и чисел вида !/л, где и — целое ) 1.
Показать, что если снабдить Ф'(((; (() топологией равномерной Счсходимости на А, то множество морфизмов, задающих вложение в окрестности А, ие будет открытым в 4е'(((; (() (рассмотреть последовательность функций (/„)„~!, обладающих свойствами /„(х)=х для х(1/(л+1) и )„(х)=х— — 1/и для х) 1/и). 2) Пусть Х вЂ” отделимое многообразие класса С' (1(г( оо), счетное в бесконечности и чистое размерности и. а] Предположим, что существует вложение гу МНОГОобразия Х в векторное пространство У конечной размерности. Г!оказатгь что существует вложение Х в ((ы+' (если сйщ У 2а+1, доказать, что существует такая точка рщ У, что лля любого хщХ прямая, соелиниющая р и м(х), пересекает м(Х) трансверсальио в единственной точке ф (х); вывести отсюда, что существуег вложение Х в пространство размерности сйщ У вЂ” 1).
б) Показать, что существует вложение Х в ((г"+'. (Пусть лг — совокупность открытых множеств в Х, чг — подмножество в гг, состоящее из таких Г/, для которых существует морфизм йк Х -» ((ы+', ограничение которого на Н является вложением; показать, используя а), что ч/ — квазиполное семейство (Тор. лел., сйар. 1Х., р. 107, ех. 27) в бг и, следовательно, совпадает с Ф.) Гл.
!х. компактные ВещестВенные ГРуппы лн 1 э 154 в) Показать, что существует собственное вложение Х в 1(э"т'. (С помощью собственной функции иа Х построить собственное вложение Х в ((э"+э.) !)(3) Пусть 0 — группа Лн и И вЂ” компактная подгруппа в 6. Предположим, что 6 обладает гочныл линейным представлением (конечной размерности). а) Пусть Нл (О) означает подалгебру в 'в (И; )(), образованную ограничениями на Н представляющих (непрерывных) функций на 6. Показать, что Нл (О) плотна в 'и' (И; 1() относительно топологии равномерной сходимости.
б) Пусть Гщйл(6). Показать, что существуют такое представление о группы 0 в конечномерном вещественном пространстве н такой матричный элемент представления а)Н, который ие ортогоналеи 7 (ТА. эрес.). в) Пусть Р: И -» 01. (У) — представление И в конечномерном вещественном векторном пространстве. Показать, что существуют конечномерное вещественное векторное пространство йу, представление о: 6-» СЕ(йг) н ннъективный гомоморфнзм и! У -» йу, такие, что и (Р (й) п)=о (Л) и (и) для АЩН, ещУ. (Свестн к случаю непрнводимого р н использовать б) ). 4) Пусть 0 — группа Лн, И вЂ” компактная подгруппа в 6 н р — унитарное представление Н в вещественном гнльбертовом пространстве У.
Доказать, что существуют вещественное гильбертово пространство ЯГ, унитарное представление о группы 6 в йг н изометрическое вложение и: У-». йг, такие, что и(р(Л) и)= =о(Ь) и (о) для ЛЩН, ощ У (тот же метод, что н в упражнении 3). 5) Пусть 0 — группа Ли н Н вЂ” компактная подгруппа в 6. Предположим, что существует точное линейное представление р: 0-«0Е(У) в конечномериом вещественном векторном пространстве У. а) Показать, что существует прелставленне о группы 0Е(У) в конечномерном вещестиенном векторном пространстве йг, невырожденная положительная квадратичная форма д на У н вектор ю щ йу, такие, что р (Н) = 0 (д)() Е, где Š— стабилизатор м в СЕ(У) (выбрать Н-инвариантную квадратичную форму д н такое представление группы 0(д), для которого р(Н) является стабилизатором некоторой тачки (следствие 2 из и' 2), затем применить упражнение 3в) ).
б) Вывести нз а), что существуют конечномерное вещественное пространство Е, представление группы 6 в Е н вектор ещЕ, стабилизатором которого является и (взять е= йгщ !3, где 0 — пространство квадратичных форм на У, и е=(м, д)). 5) Пусть 6 — группа Ли н Н вЂ” компактная подгруппа в 6. Показать, что существует унитарное представление 0 в вещественном гильбертовом пространстве Е н вектор е щ Е, стабилизатор которого совпадает с Н (взять в качестве Е пространство Е'(6)). 7) Пусть 0 — группа Лн, Н вЂ” компактная подгруппа в 0 н р — унитарное представление И в вещественном гнльбертовом пространстве йу. Обозначим через Х многообразие 6Х ЕГ (и'3). а) Показать, что существуют гильбертово пространство У, унитарное представление и группы 6 в У н (аналитическое) вложение йч Х вЂ” «У, такие, что ф (Агх)= и (8) <Р (х) длн Хгм О, х!НХ (испольэовать упражнения 4 н 8).
б) Если йт коиечномерно н 6 допускает точное линейное представление конечной размерности, то У также можно выбрать конечно- мерным (при этом а может не быть унитарным) (испольэовать упражнении 3 н 5). $ 8) Пусть Х вЂ” паракомпактное многообразие класса С'(1~(г~ чо) н 0— группа Ли, действующая собственно на Х так, что отображение (й, к)»» их принадлежит классу С'. УПРАЖНЕНИЯ а) Показать, что существуют унитарное представление р группы 6 в гильберто- вом пространстве )г и вложение и (класса С') многообразия Х в )г, такие, что ч(кх)=р(й)Ч(х) для дя6,хщХ.
(Использовать предложение б, упражнение 7 и рассуждать, как в доказательстве предложения 4.) б) Предположим дополнительно, что (!) 6 допускает точное линейное конечиомериое представление; (Ь) Х счетно в бесконечности и ограниченной размерности; (гй) имеется лишь конечное число типов орбит дхя действия 6.
Доказать, что существуют конечное покрытие Х открытыми множествами (6,)пип устойчивыми относительно 6, номпактные подгруппы (Нг),, в 6 и для каж- дого 1~1 замкнутое подмногообразие 5~ в Нь устойчивое относительно Нч такие, н, что отображение (л, з)н-йз определяет после факторизации изоморфизм 6Х 5, иа (/, (показать, что открытые множества в Х/6, прообраз которых в Х допускает - такое покрытие, образуют ивазиполное семейство в совокупности всех открытых подмножеств Х/6. (ср. Тор.
Еел., сйар. 1Х, р. 107, ех. 27). в) В предположениях б) доказать, что существуют представление 6 в вещее тасином конечиомерном венторном пространстве у' и вложение класса 6' многообра. зия Х в )г, согласованное с дейстиием 6 (рассуждать по индукции иа множестве подгрупп в 6, используя б) и упражнения 2, 7). 9) Пусть 6 — группа Ли, собственно действующая на многообразии К. Предпо- ложим, что выполнено одно из двух условий: (!) Х/6 — компакт, Х счетно в бесконечности и ограниченной размерности; (й) Х вЂ” конечиомерное векторнов пространство и 6 линейно действуег на Х. Доказать, что множество типов орбит злементов из Х конечно (рассмотреть одновременно оба случая индукцией по б!гп Х, используя предложение 6).
!0) Пусть 6 — подгруппа Ли в 61.(З,м), образованная матрицами вида а Ь , а, Ь гп и. Показать, что для тождественного представления 6 в 1(' 0 0 1 множество типов орбит бесконечно. $ 11) Для целого л) 1 определим отображение Чь множества[0, — (( ХТ2 в й' ' 2 полагая п„(г; а, Р)=((а+г соз 2яй) соз 2па, (и+г соз 2пй) зш 2яа, г з!п 2пй). Пусть 7 - ч Ю вЂ” (х тз), б „вЂ” ч ((0) х тз). 1 1 а) показать, что ограничение и иа )О, — ьк'тт является изоморфизмом ' 2 (класса С ) множества )О, — кгс'Т иа Т„-Б„. 2 ' 2 б) Пусть ),: Т, -ь Т, — отображение, совпадающее с тоисдественным на 3„ и таное, что ),(Ч (г; а, Р) м,(г; а — (п — 1) Р, — а+яй) для г) О. Показать, что г, задает автоморфнзм Т;8„. в) Показать, что иа й' существует такая структура аналитического много- 155 ГЛ.
!Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ образня, что отображения 1„: ҄— » й' н каноническое вложение й - Ц Ел -» ((л з л аналнтнчиы. Обозначим через Х определенное таким образом аналитическое мно. гообразне. г) Для йлыТ обозначим через Ил вращение (х, р, х) г-» (х соз улй — у ып 2нб, л. Ып 2яб+у соа 2яй, г) пространства мл.
Доказать, что следующие формулы определяют аналнтй)геское действие Т на Х: Е.и=Ее(н), если игыХ- Ц Зл, л 9 и=Ела(н), если ищйл для п~!. д) Показать, что множество типов орбит в Х (относительно действия Т, определенного в г)) бесконечно. е) Показать, что не существует вложения Х в конечномериое векторное про. странство, при котором действие Т переходило бы в линейное (использовать упражнениее 9). !2) Пусть 6 — компактнан группа Ли.
а) Доказать, что множество классов сопряженности нормалпзаторов интегральных подгрупп в 6 конечно (рассмотреть действие 6 на грассманнане нодпросгранств в Е (6) н применить упражнение 9). б) Множество классов сопряженности полупростмх (компактных) подгрупп в 6 конечно (заметитгч что любая алгебра Ли содержит лишь конечное число полупростых идеалов (гл, 1, $6, упрангнеиие 7), и использовать а) ). ! 3) Пусть 6 — группа Ли, Н и К вЂ” компактные подгруппы в 6.
Предположим, что 6 допускает точное линейное коиечномерное представление. Показать, что существует такое конечное семейство Е подгрупп в Н, что для любого Ещ 6 подгруппа НПЕКХ ' сопряжена в Н с одной из подгрупп семейства Е (использовать упражнения 5 и 9). 14) Предположим, что многообразие Х паракомпактно н локально конечиомерно.
Пусть 0 — группа Ли, собственно действующая на Х, Н вЂ” компактная подгруппа в 6, à — класс сопряженности подгруппы Н. а) Показать, что множество Хп тех точек в Х, для которых стабилизатор совпадает с Н,— локально замкнутое подмногообразне в Х. б) Показать, что отображеняе (Е, л)»» Ех множества 6 Х Хл в Х задает изоморфнзм [класса С') множества 6Х Хн иа Хнь и (О) 'Т[ 15) Пусть 6 — топологическая локально компактная группа, собственно действующая на топологнческом пространстве Е; пусть р — представление 6 в конечномерном вещественном векторном пространстве )г. Обозначим через пй правую меру Хаара на 6. а) Пусть ~ — совокупность подмножеств А~=Е, обладающих следующим свойством: существует такое открытое покрытие (0л)лы! пространства Е, что для любого и щ( множество тех Х лм 6, для которых ЕА П Н, чь 8, относительно компактно в 6.
Доказать, что дяя любой непрерывной функции Д Е-»'г", носитель котором прниаддежнт У, отображение к»»~р(Е) '((Хх)бй является непрерывным отображением Е в )г, согласованным с действием 6. упрлжиаиия 167 б) Предположим, что выполнено одно из следующих услопнй: (1) простраистно Е/6 регулярно; (6) существует открытое множество Ь~Е и компакт К в 6, такие, что Е =60 и 66() О=61, если ЕЧЛК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
