Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Доказать. что отображение ) ~-ь» Ц) является бпекцней множества почти комплексных структур на Х, ннвариа нтных относительно 6, на множество комплексных под пространств р в по удовлетворяющих следующим условиям; (2) (3) б) Для того чтобы такая структура на Х существовала, необходимо н достаточ. но. чтобы все коммутанты непрвводнмых подпредставленнй присоединенного представления Н в У были нзоморфны С; при этом условии имеется 2'таких структур, где з — число неприводнмых подпредставленнй в У (использовать упражнение 7). в) Пусть) — почти комплекснаяструктура на Х, инварнантпая относительно 6, и Р=» (1) — соответствующее надпространство. Для того чтобы ) была илгегрируа. мой (т. е. соответствовала структуре комплексно-аналитического многообразия на Х, ср.
Мл., Се. Рез., 8,8.5 — 8.8.8), необходимо н достаточно„чтобы р удовлетворяло условию (4) г) Для того чтобы на Х существовала комплексная (т. е. интегрируемая почти комплексная) структура, ннварнантиая относительно 6, необходимо н достаточно, чтобы подгруппа Н была централизатором некоторого тора в 6 (показатгь что нз приведенных выше условий (1) — (4) вытекает, что Р— параболическая подалгебра в Яс (гл.
ЧШ, 2 3, п' б) ); этн комплексные структуры взаимно одвюначно соответствуют параболическим подалгебрам Р в й, которые нвляются прямой суммой 1 н своего ннльпотентного радикала (гл. ЧШ, й 3, п'4). д) Доказать, что существует в точности Сагб(йг) комплексных структур на 6/Т, ннварнантиых относительно 6; если а н а' — две такие структуры, то существует единственный элемент и щ йг, для которого каноническое действие ю на 6/Т 136 гл !х. кампхктныв ввшвствпннып ггчппы ли (с помощью внутреннего автоморфцзма) переводит а в а'.
Если м — неедннвчный элемент аз йу, то действве м на б/Т не нвляется С-аналнтнческнм нн для какой комплексной структуры на б/Т, ннварнантной относительно б. е) Определить комплексные структуры на $*, ннварнантные относвтельва $0 (3„!1), ж)ь В обозначениях упражнения 8г) пусть бс — комплекснфнкацня б н Р— комплексная подгруппа Лк в бес алгеброй Лн р. Показать, что канонкческое отображение б/Н -ь бе/Р является нзоморфнзмом комплекспо.аналнтнческнх многообразнй.
9) Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа максимального ранга в б, отличная ат б н макснмальная средн подгрупп с такнмн свойствамн. Обозначим через Х факторгруппу С(Н)/С(б). а) б!т Я(1; еслн д!щ 2=0, то Х нмеег порядок 2, 3 нлн 5 (свеств к скучаю почти простой группы б с трнвнальным центром; прнменнть гл. ч'1, 9 4, упражненне 4). б) Предположим, что б почти проста в Х имеет порядок 3 нлн 5; положим г= Сагб Х н я=Сагб (л~ (Н))/Сагд (л~ (б)).
Показать, что возможны лншь следующне семь случаен: (!) б — типа бр. Н вЂ” типа Аь г=З, л=!; (5) б — типа Рэ Н вЂ” типа АэХАь г=л=З; (!!!) б — типа Еэ, Н вЂ” типа АрХАэХАь г=л=3; (!ч) б — тяпа Ет, Н вЂ” тнпа АрХАр г=л=З; (ч) б — тяпа Еэ, Н вЂ” типа Аз, г л 3; (И) 6 — типа Ев, Н вЂ” тнпа АрХАэ, г л=З; (ч!!) б — типа Ез, Н вЂ” типа А4ХАн а=я=5.
(Использовать то же упражнение н таблицы нз гл. т/В для вычисления л заметить, что есла ) в Т' означают нндексы связности б н Н соответственно, та глг=~',) в) В каждом нз предыдущих случаев определить группу Н. 19) Сохраним абозначення предыдущего упражнення. а) Предположим, что бпп 2 = !. Тогда ва б/Н есть ровно две бвнварнантные комплексные структуры; существует автоморфнзм группы 6.
сохраняющнй Н н пе. реводящвй одну нэ этих структур в другую (попользовать упражнение 8). б) Определить комплексные структуры на Р„(С), ннварнантные относнтельно $0 (л+ 1, С). в) Предположим, что о3 ге 2 = 0 в Сагб Я чь 2. Показать, что на б/Н существует б-ннварвантная почти комплексная структура (если г — элемент С (Н), не центральный в б, то 1п1(г) задает автоморфнзм б/Н нечетного порядка (упражненне 9); использовать упражненне 8 б) ).
Показать, чта на 6/Н не существует 6-ннварнантной комплексной структуры (нспользовать упражнение 8г)). г) На Зз не существует комплексной структуры, ннварнантнай отпосвтельво $0(7, В) (использовать упражненве 7 к 9 3). ! 1) Сохраним обозначения упражнений 9 н !О. а) для того чтобы однородное пространства б/Н было симметрическим (й 1.
упражнение 8), неабходвмо н достаточно, чтобы Х была порядка 2 нлн размерностн 1. В этом случае снммегрнческое пространство б/Н непрнводнмо (см. гцн же). б) Предпоэожнм, что дпп Х 1; обозначнм через Х комплексно-аналнтнческое многообразие б/Н. Показать, что выест место одни нз следующих случаев: (!) б — типа Аь а 6 (Н) — типа Аг-|ХАг-г, Х взоморфно грассманнаву О, (С!+Ъ 137 УПРАЖНЕНИЯ (й) б — тнпа В» а 0(Н) — тнпа В~ Н Х нэоморфно подмногообразпв в Рп(С).
на кагором обращаетсн в нуль невырожденная квадратичная форма (гладкая лро. екгиэлаэ кэадрика). (!!') б — типа О» а 0(Н) — типа 0~ Н Х нзоморфно гладкой проективной квадрике в Рю-~ (С); (й!) б — типа 6» а О (Н) — типа А~ и Х нзоморфно подмногообразню в 6~(СУ'), образованному всеми макснмальиымн пзогропными подпространствамн в Ст' пгноснтельнв обычной знакопеременной билинейной формы в Сз'.
()ч) б — типа О» а 0(Н) — тнпа А~ П Х нзоморфно надпространству в 6~(СУ5, образованному макснмальиымн нзотропнымн подпространствамн в См огноснтельно обычной симметрической билинейной формы в С". (т) б — типа Ег, а 0(Н) — типа Оэ. (УА) б — типа Ет, а 0(Н) — типа Ег, в) Предположнм, что Сагб Я=2; перечислить возможные случаи. Если б— тнпа Ас В» С~ нлн 0» показать, что вещественное многообразне б/Н нзоморфно грассманову многообразию ба(Ка), где К= к, С нлн Н. 12) Предположнм, что б односвязна; для всех ащК(б, Т) положим 1„ =ехр(('/з) К ). Положнм Н=Ф«(Т) п обозначим через ф: Н вЂ” » йг капоннческое отображение.
Пусть  — базис в К (б, Т); для каждого ащ В выберем элемент л„из (НП5») (ТП5 ). а) Показать, что гр(ла'=з н л'=1, откуда л4=1, б) Пусть и н Р— два различных элемента нз В н щв — порядок элемента з„зэ в йу. допазать, что если глав — — 2, если глав— - 3, если т =4, еслнщэ 6 лал =л лв лалз а лэлалр (лала)з=(лэл„)з, (л а«В) (пала) (нспользовать в), д) н упражнение 2 иэ гл Ч, 4 6). 13) а) Выберем базис В в К (б, Т) н обозначим через К+ множество положн- (еслн, например, «э„э 3, то (э зэ) з„(з,ээ) '=ээ н э,зэ(а) 11; показать, что л„лэл,лэ 'л„'лэ ' принадлелсит 5э, н воспользоваться тем, что 5,П5УПТ (э)). в) Вывести нз б), что существует едннствен нос сечение ч: йг -» Н отображенпя ф, для которого т(з,) л„н т(вв)=ч(в)т(в), если !(вв')=!(в)+!(»т') (через ! (в) обозначается длина в относнтельно снстемы образувщнх (з„)а и, ср.
гл. 1Ч, $1, п' 3, предложение 3). Положим л =ч(в). г) Пусть йга — подгруппа в М, порожденная элементамн л; показать, что йта() Д Т является подгруппой Тт в Т, образованной элементами порядка (2, н что йт отождествляется с йта/Тз. д) Пусть вэы |à — элемент' порядка 2; показать, что л' = Ц г„где ʄ— авл множество тех положнтельных корней а, для которых в (а)(0 (заппсать в в анде за ...
з„, где г =! (в) н а, щ В; применять в) н гл. Ч1, й 1, п' б, следствне 2 к предложению 17). е) Предположим, что б почти проста. Пусть с — преобразование Кокстера нз йг н Ь вЂ” число Кокстера группы йг (гл. Ч1, й 1, п' 11). Показать, что л,"= П а амд „ 138 ГЛ. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН тельных корней в Н(6, Т). Показать, что го= П ехр((1/2) К„) — элемент нз амл С(0), не зависящий от выбора Т н В; кроме того, ззо е. б) Пусть Н вЂ” другая связная компактная группа Лн. Тогда зп, и — — (зо, зц); еслн ): 6-» Н вЂ” сюръектнвный морфнзм групп Лн, то 1(зо)=г». в) Положим Я=Я(6, Т); предположнм, что 6 односвязна, так что Х (Т) ото.
ждествляется с Р (н). показать, что ядром гомоморфнзма х»» х(хо) группы х (т) в (1, — 1) служит подгруппа Р' (Я), определенная в упражнения 8 к гл. Ч1, 4 1. г) Если 6=5() (н, С), то гп ( — 1)а+'1„; если 0=50 (и, Н), то ао — I„; если 0=$р!п(л, К) и л=0,1,2,7 шод 8, то зов - 1; если 6=$р(п (а, К) н ана3, 4, 5, 6 щи 8, то хо — 1; если 6 — типа Ем Ез, Рч нлн Оз, то го — — е; если 0 — тнпа Ег н односвязна, то зо — едннственный нетривнальный элемент С (6). (Использовать гл.
И, 4 4, упражнение 5.) 14) Предположим, что группа 0 почти нрог го; обозначим через Л число Кокстера для )7 (О, Т) (гл. И, 4 1, п' 11). Говорят, что йш 0 — элемент Коксгера, еслн существует такой максимальный тор 5 в 6, что й принадлежат Фо(5) н его класс в йгп(5) является преобразованнем Коксгера (см. гам же). а) Показать, что два элемента Кокстера сопрнжены (рассуждатгч как в доказательстве следствия к предложеншо 1О, п' 5). б) Элемент Коксгера д регулярен н обладает свойством д =го, где зо — алел мент С (О), определенный в упражнеинн 13; в частности, й имеет порядок Л нлн 2Л в завнснмостн от того, равен нлн не равен е элемент зо (нспользовать упражнение 12е) ).
в) Для того чтобы йш 6 был элементом Кокстера, необходимо н достаточно, чтобы автоморфязм Аб 88! алгебры Лн й удовлетворял эквивалентным условням нз гл. ИП. 4 5, упражненне 5е). г) Показать, что всякнй регулярный элемент йшО, обладающнй снойством й" ~в С(0), является элементом Коксгера; для Р ~Л не существует регулярных элементов Л, для которых Лг<ыС(6). 15) Пуеть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа в 6. Говорят, что Н является сетью, если она не содержнтся нн в какой связной замкнутой подгруппе макснмального ранга в О, отличной ог 6.
а) Помазать, что Н является сетью тогда н только тогда, когда ее централнзатор в 6 совпадает с С(6). В частности, если Н вЂ” сеть, то С(Н)=С(6)ДН. б) В дальнейшем будем предполагать, что Н вЂ” сеть. Показать, что для любого макснмазьного тора 5 в Н справедлнво равенство С (Н)=5() С (6). в) Пусть Н' — связная замкнутая подгруппа в 6, содержащая Н. Показать, что гй Н( гй Н', н вывестн отсюда, что Н является сетью в Н'. г) Пусть К вЂ” связная замкнутая подгруппа в Н, которая является сетью в Н н содержнт регулярный элемент группы 6. Показать, что К является сетью в О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
