Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 32
Текст из файла (страница 32)
!6) Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа в 6, для которой Т() Н=5— максимальный тор в Н. Пусть ХЩК (Н, 5); обозначим через К (Ц множество корней нз К(0, Т), ограниченне которых на 5 совпадает с Х. а) Показать, по й(А) непусто.
УПРАЖНЕНИЯ 139 б) Пусть ш ш йг» (5); показать, что существу ег элемент мак В о (Т), для которо. го Ю(ж Д)=м В(А) (использовать упражнеине 4 из 6 2). в) Пусть Р(Х) — пересечение с К(6, Т) подгруппы Х(7), порожденной К(А). Показать, что существует такая замкнутая подгруппа 6А в 6, содержащая Т, что Р (А) = «! (6ь Т).
Вывести отсюда, что отражеи не эх см «Р» (5) является ограничением на 5 произведении отражений з, агмР(Л). г) Показать, что узловой вектор КсснЕ(5), соответствующий Д, является целочисленной линейной комбинацией векторов К„, пса«7(Х). д) Пусть В» — базис в Н (И, 5). Показать, что К(А) содержится в подгруппе х (т), порожденной объединением к («А), рснВ» (показать, что множество парней Дшй(Н, 5), обладающих указанным свойством, устойчива относительно э„для рсмВ», используя в)).
«)17) Сохраним обозначения предыдущего упражнения; предположим, кроме того, что подгруппа И является сетью (упражнение 15). а) Показать, что К (6, Т) содержится в подгруппе Х (Т), порожденной объединением ««(А) для ХшВ». б) Пусть Ь вЂ” связная компонента единицы в подгруппе группы 5, образованной темп з си 5, для которых Д (з) = р (з) для всех «ь р нэ В . Показать, что существует такой базис (аь ..., а~) в Н(6, Т) и такое целое й, Оя;й(~! — 1, что Ь является связной компонентой единицы множества тех «ееТ, дая которых а~ (1)=...=а«(1)=1, а«э~ (!)=...=ш(«). (Пусть х — такой элемент Е (51, для которого Ь (Х) (х) = 2ш для всех Х ее В», вывести нз а), что ехр хснС(6). Выбрать (аь ...
ш) таким образом, чтобы !6(а«) (к) было нулем прн 1(«(й и меньше нуля при »+1~)~1; показать, что тогда для ««снВ» каждый корень из «((Х) имеет вид а, +я~ а~ +... +пг пг, где /~:»+1 н пош г«. Запершить доказательство, используя а).) в) Показать, что числа й не зависит от выбора торов 5, Т н базисов В», (аь ... ...,а4 оно равна рангу производной группы для Ха (Ь).
18) Сохраним обозначения упражнений 16 и 17. Говорят, что Н вЂ” главная подгруппа, если оиа явлиется сетью н если падтор Ь содержит регулярный элемент (другими словами, если й О), а) Пусть К вЂ” связная замкнутая подгруппа в Н. Показать, что длп того, чтобы К бьиа главной в 6, необходимо н достаточно, чтобы К была главной в И, а Н— главной в 6 (испольэовать упражнения 15в), г)). б) Впредь будем предполагать, что Н вЂ” главная подгруппа.
Показать, что объелииенне К (р) для ршВ» является базисом в Н (6, Т). в) Пусть м«м «7 (6, Т). Доказать, что ограничение м на 5 является целым ненулевым кратным некоторого корня Хсм Н (И, 5); корень п является суммой элементов из Н (Х) (показать, что след в Е (5) гиперпласкости Ь (а) =О является стенкой в Е (5)). . г) Пусть Хгм«( (Н, 5); показать. что узловой вектор Кг является линейной комбинацией с целыми паложительнымн коэффициентами элементов К для агин(х) (ср. упражнение 16г) и гл. «7, $3, и' 5, лемма 6). 19) Сохраним обозначения упражнений 16 — 18; предположим, что Н— главная подгруппа.
Снабдим Х(Т)® й (соотв. Х(5)ф«() скалярным произведением, инвариантным относительно йта(7) (соотв. «Р»(5)). Пусть 1, р — два корня из В». гл. зх. комплктнык вещкствкннык ггхппы ли !40 а) Если Х н и ортогональны, то множества Я (Х) н Я (р) ортогональны. Вывести отсюда, что если 0 почти проста, то этнм свойством обладает к И.
б) Преллоложнм в дальнейшем, что а (Х, р)= — 1. Показать, что существусг такое сюръектнвяое отображение и: Я(ь)гЯ(р), что для любого аш спЯ (Х) и (а) — едннственный корень в Я (р), свнзанный с м (т. е. не ортоганальный и); кроме того, К„= ~ Кз н корни нэ Я(р) попарно ортогональны (запнсать К» Раб 09 н К„в виде линейных комбннацнй К, н сравнять коэффициенты). в) Если я (р, Х) = — 1, отображенне и бкектнвно н все пары связанных корней нз Я (Х)ОЯ(р) имеют внд (а, и(а)) для пзмЯ(Х). г) Предположкм, что л (р, Х]= -2; пусть(1зпЯ (р). Показать, что и ' (й) содержкт одни нлк два элемента; если и ' (й)=(аь пз), то корни ш 0=1, 2) ортогональны остальным корням из Я(Х) н нмеютту же длину, что н й, если и '(й)=(а) н !!а1(= ' = !! 3(1, то а связан с единственным корнем а'зпЯ (Х) той же длнны, что м а, н (п, п') ортогонально к остальным корням нз Я (Х); если и ' (й)=)з) н 1(п11 Ф !!й(1, то а ортагонален остальным корням кз Я (Х).
д) Изучать аналогнчно случай и (р, Х)= — 3. 20) Предположим, что группа 6 почтя проста; пусть Н вЂ” главная подгруппа в С ранга )2. а) Показать, что Н вЂ” полупростая группа типа Вз, С». гз нлн 6з (нспользовать упражнение 19). б) Предположим, что Н имеет ранг ~3. Показать, что 6 — группа типа Аь Рь Ез, Ет нлн Ез (рассмотреть концевые вершины графа Дынккна системы Я(6, Т) н применять упрзжненне 19). в) Если гй И~3, показать, что имеет место один нз следующих случаев: 6 — типа Ап (1~3) н И вЂ” типа Вл 6 — типа Ая — 1 (1~)3) н Н вЂ” типа Сх 6 — типа Рч (1)4) к Н вЂ” типа Вз и 6 — тяпа Е, н Н вЂ” тяпа гз. г) Если Н вЂ” тнпа Вз, то 0 — тяпа Аз нлн А».
д) Если Н вЂ” тяпа 6з, то С вЂ” типа Вз, Рз нлн Аз. (По поводу более подробного опнсання снтуацвн см. $5, упражнение 5.) е) Пусть К вЂ” связная замкнутая подгруппа в 6, содержащая Н; показать, что лнбо К= 6, либо К=Н,лнбо, наконец, Н вЂ” типа Оз, К вЂ” типа Вз, а 0 — тнпа Рз клн Аь 21) а) Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа ранга ! в О.
Показать, что следующие условна эквивалентны: (!) Н вЂ” главная подгруппа; (й) Н вЂ” сеть н содержит регулярный элемент; (П1) существует главная зЕмтройка (х, Ь, у) в 9 (гл. Ч!П, й 11, и' 4), для которой Е (Н)с — — С +ОД+Од, б) Показать, что 6 содержит главную подгруппу ранга ! н что две такие подгруппы сопряжены (в обозначениях упражненнн заметать, что В=А). в) Показать, что связная замкнутая подгруппа в О является главной тогда н только тогда, когда она содержит главную подгруппу ранга 1 в 6 (попользовать упражненне 18а)). УПРАЖНЕНИЯ 14! 22) Пусть Н вЂ” главнап подгруппа ранга 1 в 0; пусть à — подгруппа в Ан1(6), образованяая такимн автоморфизмами и, что и(Н)=Н. Показать, чта АЩ(6) =Г 1п((0).
$5 1) Предположим, что 0 односвязна; назовем азькоеаи в 6 подмножества вида ехр А, где А — альков некоторой подалгебры Картава в и. а) Показать, что альковы в 6 образуют разбиение множества 6,. б) Всякий альков в 6 содержится в единственном максимальном торе. в) Показать, что альковы в О, содержащиеся в Т, образуют разбиение множества Т, н что множество этих альковов является главным однородным пространством дзя йг. г) Каждый класс сопряженности регулярных элементов 0 имеет ровно одну точку в каждом алькове. д) Пусть Š— альков в 6. Показать, что Š— стягиваемое множество; если й проста, Е гомеоморфна открытому симплексу евклидова пространства. 2) а) Пусть Š— адиосвязное тополагическае пространство и и: Е-ь 0— такое непрерывное отображение, что и (Е)~ 6,.
Показать, чта и гоматопно (Тор. яел., сЬар. Х1) постоянному отображению со значением е (рассмотреть накры. тие»р,: (О/Т)Х1, -» Ои поднять и до отображения й: Е ~ (О/Т)Х1, а затем использовать стягнваемость 1). *б) Доказать, что группа лэ(6) тривиальна. (Пусть и: Бз -ь 6 — отображение класса С; используя предложение 1 и тео.
рему траисверсальвостн, показать, что и гоматопно отображению, образ которого содержится в О„а затем применить а).), 3) Пусть Д 6-»-6 — универсальное иакрытие 0 и и — ядро ( (нзамарфное я» (6)); положим С=С(6) и С=С(6). Пусть а — автоморфиэм группы 0 и ив автоморфнзм О, соответствующий о.
Обозначим через О„С„О„Ск множества неподвижных точек в О, С, д, С соответственно относительно а, о, а, о. а) Паказат»ь что связная компонента единицы (6,)» в О совпадает с ((6,). б) Обозначим через з эндоморфиэм 2-модуля я, нидуцироваиный а.
Показать, что факторгруппа 6,/(6,)з нзомарфиа подгруппе в Со(»ег(1 — з) и, в частности, коммутативна. Если отображение 1-з сюръектввио, та 6, связна. в) Пусть пщ М таково, что з"=!б„. Показать, что группа 6,/(О,)» отождествляется с подгруппой факторгруппы Кег(1+э+...+з" ')/1щ (1 — з); вывестя отсюда, чта она имеет показатель п. Если и взаимно просто с порядком подгруппы кручения в и, то О, связна, г) Дать другой вывод результатов б) и в) с помощью А(и., сйар.
Х, р. 194, ех, 23. д) Показать, что О, связна в каждом нз следующих случаев: (») 0 палупроста типа Аз (л~1) и о не является внутренним. (й) 6 полупроста типа Е» и о ие является внутренним. (Ш) 6 полупроста типа О» и о — автоларфизл гропстееиносги (т. е. порядка 3 по модулю!п! (6)). е) Построить изомарфизм С,/(С,О(6 )») иа ((1 — а) С()п)/(! — а) я. Вывести отсюда, чта если отображение 1 — з не сюръективио н ящ(1 — о) С', то С, не содер. жится в (О,)». Для Ор ВО (2п, К) н не внутреннего о имеем — !г,ф(6,)», и О, несвязна. 4) Предположим, что 6 полупраста. Пусть е — разметка в 6 и Ф вЂ” некоторая группа автоморфизмов группы 6, сохраняющих разметку; обозначим через Н подгруппу в 6, образованную неподвижными точками для Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
