Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Показать, что каждая точка хш Е обладаег окрестностью, принадлежащей Я (в случае (1) положить А = УП йг, где У вЂ” такая окрестность х, что ЯУО У Е1 для й вне некоторого компакта в 6, а Яà — замкнутая 6-устойчивая окрестность,бх, содержащаяся в ОУ). Каждая точка Е обладает 6-устойчивой окрестностью, обладающей свойством (6). в) Предположим, кроме того, что Е вполне регулярно. Пусть хшЕ и о ем У таковы, что стабилизатор х содержится в стабилизаторе о. Доказать, что существует непрерывное отображение Е: Š— ь У, согласованное с действием 6 н такое, что Е(х)=о.
(Пусть Я вЂ” пространство иепрерывнык числовых функций на Е с иосите- лами из ~, и пусть и: я' — 1- у — отображение ц ~-» ) и (йх) р (й) ~обй. Пусть С— и выпуклая окрестность о в У; построить такую окрестность А точки х, прннадзежащую У, что йхщА влечет за собой р (6) ' о~в С, и такую функцию и на Е с носителем вА, что а (х)чь 0 и ~ а (Ех) Ад= 1. Показать, что и (а) принадлежит С, и вывестн отсюда, с что ищ1ш и.) 16) Пусть 6 — топологпческая группа, собственно действующая иа отделимом топологнческом пространстве Е. Пусть хгмЕ, Н вЂ” стабилизатор точки х в 6, 5— подмножество в Е, содержащее х н инвариантное 'относительно Н. Группа Н действует справа на ОХ5 по формуле(й з) Л=(ЕЛ Л ' з), где ЕЛО, Л~жН, зез5; отображение (й, з)~-ь яз определяет после факторизации отображение (ОХБ)/Н в Х. Говорят, что 5 является граисверсалью а тачке х, если зто отображение является гомеоморфнзмом на открытое подмножество в Х.
а) Если 6 днскрегна, показать, что существует трансверсаль в точке х. б) Пусть Š— отделимое топологическое пространство, иа котором собственно действует 6, н пусть 1: Е -т Š— непрерывное отображение. согласованное с дей. станем 6 н такое, что стабилизатор ) (х) в 6 совпадает с Н. Если 5 — трансверсаль в точке )(х), показать, что ) '(5) — траисверсаль в точке х.
в) Пусть М вЂ” замкнутая нормальная подгруппа в 6, н: Е -ь Е/М вЂ” каноническая проекция, Т вЂ” трансаерсаль в точке и(х) для действия 6/М на Е/М и 5~= ~п ' (Т) — трансверсаль в точке х для действия НМ на и ' (Т). Показать, что 5— трансверсаль в точке х (для действия 6). 17) Пусть 6 — группа Лн. Покажем, что 6 обладаег следующим свойством: (Т) Для любого вполне регулярного топологического пространства Е, на котором собственно действуег О, в каждой точке хщЕ существует тра нсверсаль (упражнение 16).
а) Показать, что группа Ли, допускающая точное конечномерное линейное представление, обладает свойством (Т) (использовать упражнения 16„ 16), а также предложение 6». 61 Если 6 содержит такую замкнутую нормальную подгруппу М, что 6/М обладает свойством (Т) н КМ обладает свойством (Т) для любой компактной подгруппы К в 6, то 6 обладает свойством (Т) (применить упражнение 1бв)). в) Если Оз компактна, то 6 обладает свойством (Т). 188 Гл. $х. кОмпАктные неществеииые гггппы ли дополнение ! г) Еслн 0 содержит такую нормальнуюдкскретную подгруппу У, что 0/Нобла- дает свойством (Т), то 6 сама обладает свойством (Т). д) Показать, что 0 обладает свойством (Т) (пусть У вЂ” ядро прнсведнненного представления; доказать, что 6/Нэ обладает свойством (Т), затем пркмеянть а), б) н упражненне 9 к $1).
18) Пусть 6 — группа Лн, собственно действующая на вполне регулярном топологнчес ком и растра ногае Е. а) Пусть хщЕ н! — орбитальный ткп точки к; поквзатгь что существует открытая окрестность У точки х, н ива рна нт пав относнтельно 0 к такая, что для всех и щ щУ орбктальный тнп и~)Г. б) .Преднвложнм, что 6 свободно дейгтвуег на Е; пусть я: Е Е/6 — каноннческан проекция. Показать, что для каждой точки згжЕ/6 существует открытая окрестность 0 н непрерывное отобрзженне з: У вЂ” ь Е, для которого л з (и) = и для и.
19) Пусть 0 — группа Лн я Н вЂ” компактная подгруппа в 6. Йокаэать. что существует такая окрестность г' группы Н, что всякая подгруппа группы С, содержащаяся в 1', сопряжена с некоторой подгруппой в Н (прнмепкть упражнение 18а) к множеству компактных подмножеств в О, ср. Нлгегр., гл. НП1, $ б, и' 6). !) 20) Пусть 6 — компактная группа Лн, гл — положительное целое чнсло. а) Показать, что множество классов сопряженносгк подгрупп в С поряд.
ка ч, гл конечно (предполагая. нто это не так„построить конечную группу Е н последовательность гомоморфнзмов ~р„г Е -~ 6, для которой ю (г) не сопряжена ~р, (Е) при 1~) н такую, что йь(Г) сходится н пределу ф()) для всех )геГ; показать, что р— гомоморфнзм, я вывестн отсюда протнворечне с упражнением 19. б) Показать, что множество классов сопряженности подгрупп Е в 0, в которых каждый элемент имеет порядок (т, конечно (пусть  — мера Хаара на 0 н У— такая снмметрнчная окрестность единичного элемента, что уг не содержит элементов порядка (лг, кроме единицы; доказать, что Саге(Е)гчя(С)/я(У)).
1( 2Ц Пусть 0 — компактная группа Лн н Т вЂ” максимальный тор в 6. а) Пусть ~ — семейство замкнутых подгрупп в 0, ннварнантное относительно сопряжения н такое, что семейство подгрупп (5() Т)з , конечно, Показать, что множество классов сопряженностн подгрупп 5э для 5щ~ конечно (с помощью упражнения 12а) свестн к случаю, когда подгруппы 5з нормальны; рассмотреть группы 6(5э)э н Р(5э) н прнменнть упражнение 12б)). б) Показать, что З' является объеднненнем конечного чнсла классов сопряженности подгрупп в 6 (с помощью а) свести к случаю, когда все подгруппы 5щ.~ имеют одну к ту же связную компоненту единицы 2. нормальную в С, затем ограничнть порядки элементов групп 5/2 н применить упражненне 20б) ).
в) Пусть Š— отделнмое топологкческое пространство, на котором непрерывно действует С. Показать, что еслн элементы Е пмеют конечное чнсло типов орбит под действием Т, то это же верно н для действия 6. Лополвенне 1 1) Пусть 0 — связная компактная группа, Обозначим через г((6) верхнюю грань размерностей факторгрупп 6, которме являкмся группами Лн. Предположнм, чго д(6)< ао. УПРАЖНЕНИЯ 159 а) Пусть К вЂ” замкнутая нормальная подгруппа в б; показать, что п(6/К)< <Д(б) и И(6/К)=с((б), если К вполне разрывна. б) Показать, что Р (6) — группа Лн и что ядро гомоморфизма (х, у) — ь хр груп.
пы С(б)зХР(6) в 6 конечно. в) пусть р= и (с (6)з). тогда р( сс; доказать, что существует такая компактная вполне несвязная группа Р н такой гомоморфнзм Р ЕУ -ь Р с плотным образом, что С(б)з изоморфна ()(УХР)/); где à — образ Хг прн отображении хьь(х,((х)) (записать С(6)з в виде проектввного предела торов размерности р). г) Предноложнм, что 6 локально связна; показать, что б — группа Ли.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗ НАЧ Е Н И Й Цифры 'в ссылках указывают последовательно главу, параграф и упражнение!. 6„С (6), Р (6) 1Х.1. ! И (И), г (И), и (Н), 2 (И) 1ХЦ Ц Г(б) 1Х.!.2 Р (6)!Х.2.3 гВ (6) 1Х.2.4 В'о (Т) %' (Т) 1Х 2 5 а!н1, аю 9<си Вс 1Х.З.! в„, и, о 1Х.3.2 4) (Ф), 50 (Ф), н(Ф), вн (Ф) 1Х.З.4 Ц (и, С), $ Ц (а, С), и (л, С), вн (л, С) !Х.З 4 0(0), 80(6), о(6) 1Х.3.5 0(п, !!), $0(л, !!), о(п, !4) 1Х.З.5 (.), Ч, К, В 1Х.3.6 Х(Н), Х()) !Х.4.1 6 (а) 1Х.4.! Г ()) 1Х.4.2 (а,Х) 1Х.4.2 !3, !г, !га(6) 1Х.4.3 Р (р,Т) 1Х.4.3 Е (р) !Х.4.3 гс (6, Т) 1Х.4.4 Уа, Ксс„ с , р 1Х.4.4 Л„, 3 1Х4.5 К 1Х.4.5 !с" (6, Т) 1Х.4.5 !!! (6, Т) 1Х.4.6 Ре(6, Т), Ре(6, Т) 1Х.4.9 РвД), РаД) 1Х.4.9 Р'(6), Р„(6) 1Х.4.9 Ап!(6), Ап!(б, Т) 1Х.4.!В 6„Т, 1Х.5.1 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ В'„%1 1Х.5.2 Н,, 1, 1Х.5.2 НА ! Х.5.2 9„, 1Х.5.2 '1, $, 1Х.5.4 ф, ф„фА 1Х.5.4 9, ф,!Х.5.4 та (б) 1Х,6.! и и 1Х.Б.! таатт ьтт 1Х6 2 Ада,а(!), Ба(!) 1Х.62 Р+ (б, Т) !Х.6.2 ХЬ 1Х.Б.З Й, 1Х.Б.З 9" (Х; Е) 1Х.6.4 а» 1Х.Б,4 $1 (Х) !2 (Х)с 1Х 6 5 Г(Т)+,, Х,, К,, Е 1Х7 ! Х++ 1Х.7.! тп „р 1Х.7.
! 6(б) 1Х,72 К (б) 1Х.7.3 (т1 С)т (т) 1Х.7.3 (с)т У11!.7.7) сту (б) 1Х.7.3 "1, / (т*) 1Х.7.4 ХА 1Х.7.4 ЕАУ (б) 1Х.7.4 9г, 1 (т) 1Х.7.6 б 1Х,8,! Е», «(и), !!4!!, !!А1У, (А ! В) 1Х.Б ! Р(тт), Е (б) 1Х,8 ! и (т'), .Ет(!) 1Х,8 ! У; А, лт(А) 1Х.8.! 7(а) ), 5(з) $ 1Х.8.2 Ет), Рт(1Х.8.2 Х(и), Г(и) 1Х.8.2 ф~ф 1Х.8.2 У' (б) 1Х.8.2 Х„! Х,8.3 ЕФ (б), А а'(б) 1Х,8.4 Етс 1Х.9,4 8р!и (и, К) !Х.З. упр. 5 УКАЗАТЕЛЪ ТЕРМИ НОВ алгебра Ли компактная !Х.!.3 — — редуктнвная (Х.!.3 альков алгебры Лн (Х.5.2 — группы Лн !Х.б. упр, ! анткинваркантная функция !Х.7.4 антнсимметричная матрнца !Х.З.5 антнэрмнтов эндоморфнзм (Х.1.1 антнэрмнтова матрнца 1Х.3.4 бнннвернантная форма 1Х.5.5 быстро убывающая функция !Х.8.2 векторная группа Ли 1Х.!,2 вес домннапгный 1Х.7.! — представления (группы Лн) 1Х.4.3 — — старший 1Х.7.2 — — фундаментальный 1Х.7.! вещественная форма алгебры Ли !Х.З.1, З.З вещественный тор !Х.1.2 внешнее пронзведенне форм !Х.б.! вполне регулярный элемент группы Ли 1Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
