Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 25
Текст из файла (страница 25)
и. Орбитальные типы Пусть 6 — топологическая группа, действующая непрерывно на отделимом топологнческом пространстве Е. Для каждой точки х нз Е обозначим через 6, стабилизатор х в 6 н предположим, что каноническое отображение 6/6„- Ох есть гомеоморфнзм; это, в частности, выполняется в двух следующих случаях: а) топологии в 6 н Е дискретны; б) 6 собственно действует на Е (Общ. топ.. 1969, гл.
П1, 4 4, п'2, предложение 4), например, группа 6 компактна (Общ. топ., 1969, гл. Ш, 4 4, п' 1, предложение 2). Обозначим через У множество классов сопряженности замкнутых подгрупп в 6. Для любой точки х~Е орбитальным типом точки х илн иногда просто типом точки х называется класс в У' группы 6; две точки одной орбиты имеют одинаковый орбитальный тнп (А12., сЬар.
1, р. 52, ргор. 2); две орбиты имеют одинаковый тип тогда н только тогда, когда они изоморфны как 6-множества (А1д., спар. 1, р. Я, (п. 1). Для любого ген У' через Ев1 обозначается множество точек в Е типа 1, т. е. объединение орбит типа 1; это — устойчивое подмножество в Е. Если Ны1, то пишут также Ерб вместо Ею, например, Е1с> есть замкнутое надпространство в Е, состоящее из точек, неподвижных относительно 6. Снабдим У' следующим отношением предпорядка: 1(гс:. существуют такие Неи1 и Н'еп1', что Н~Н'.
Пусть О и Я' — две орбиты группы О в Е н 1 н 1' — их типы. Для того чтобы 1(Р, необходимо н достаточно существование 6-морфнзма (обязательно непрерывного и сюръсктивного) из 11' в 11. Пусть х, х' — точки из Е, а 1 н 1' — их типы. Для того чтобы 1(1', необходимо н достаточно существование такого элемента аыО, что аО„, а 'с= О Лвммх 6.
Пусть Π— группа Ли. а) Любая убывающая последовательность компактных подгрупп в О стабилизируется. б) Пусть Н и Н' — две компактные подгруппы в О, такие. что К» Н' и что существует изоморфизм между топологическими группами Н' и Н. Т д Н=Н'. 5 н. Бурбаки ГЛ. <Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН в) Мноясество 3", наделенное отношением < а„<', есть нетерово упорядоченное множество (Тй.
епз., с»>ар. Ш, р. 51). а» Пусть (Н)<» — убывающая последовательность компактных подгрупп в 6; это последовательность подгрупп Ли (гл. П1, $ В, и' 2, теорема 2). Последовательность целых чисел (й<ш Н»<» не возрастает и, следовательно, стабилязируется; существует такое целое число Ф, что все подгруппы Н< для < ~ Ф имеют общую связную компоненту единицы. Убывающая последовательность целых положительных чисел (Нн(Н<)ь),. е также стабилизируется, и„стало быть, Н<=Н<ч.~ для достаточно больших <. б) Пусть 1 — изоморфизм между Н' и Н.
Последовательность Ц"(Н))„>ь — это убывающая последовательность компактных подгрупп в 6; тогда ввиду а) 1'"(Н) 1+'(Н) для достаточно большого и. Так как 1 — изоморфизм, то»(Н»= Н=) (Н'», откуда Н= Н'. в) Пусть <, Рщб таковы, что <~р и Р(6 Существуют такие подгруппы Н, Н><н< и Н', Н(е <', что Н:> Н' и Н< «Н>.
Пусть у и у' — такие два элемента из 6, что Н~=уНу ' и Н(=у'Н'у' '; положим и=у' д. Тогда иНи > «Н'«Н, н, принимая во внимание б), получаем, что иНН '=Н, откуда Н'= Н и <'=й Таким образом, множество 9 упорядоченно и ввиду а) нетерово. ТеогемА2. Пусть 6 — группа Ли, собственным образом деиствующая на Х, так что закон действия (у, х) <-ь ух принадлежит классу С'. Предположим, что Х паракомпактно.
а) Отобразсение, которое каждой точке из Х ставит в соответствие ее орбитальный тип, обладает следующим свойством полунепрерывности: пусть хепХ, и пусть 1<по — орбитальный тип точки х; существует устойчивая относительно 6 открытая окрестность <> точки х, такая, что тип любой точки иш 6 будет больше или равен й б) Хп>для любого Гы9 есть подмногообразие в Х, отношение эквивалентности на Хоь инду«ированное действием группы 6, регулярно (Мн., Св. рез., 5.9.5), и морд>изм Хо> -ь Хе>/6 является расслоением. в) Предположим, что Х/6 связно.
Тогда множество орбитальных типов элементов из Х обладает наибольшим элементом т; кроме того, Х<,> есть открытое и плотное подмнолсество в Х, а множество Х<,>/6 связно. Пусть х — точка из Х и Гы У" — ее тип. Для доказательства а) и б) можно заменить Х на устойчивое открытое множество, содержащее х, т. е. (предложение 6) предположить, что Х имеет зид 6 Х" <е', где»т'— пространство коиечномерного аналитического линейного представления некоторой компактной подгруппы Н в 6, и что точка х есть образ р (е, 0) элемента (е, 0)ш 6 Х»р при канонической проекции р: 6 Х»р - 6 Х»е'.
Если и = р (у, у)ен 6 Х" »е н а<и 6, то пи= и тогда и только тогда, когда 4 1». депствия компхктных гвепп ли нх многоове»виях 115 существует такой элемент йенН, что (ау, у)=(уй ', Ьу), т. е. тогда, когда ащуН»у ' Такимобразом,б =уН»у 'н,вчастностн, О, Н;следовательно, О, сопряжена с некоторой подгруппой в О„. Это доказывает, что тнп точки и больше нлн равен й откуда получаем а). Кроме того, для того чтобы точка и имела тнп й необходнмо н достаточно, чтобы подгруппа О.
была сопряжена в О с подгруппой Н нлн также чтобы Н„была сопряжена с Н в О; согласно лемме бб), это означает, что Н„. Н, т. е. что точка у неподвижна относительно Н. Есин йт' — векторное надпространство в йг, состоящее нз неподвижных относительно Н элементов, то Х<о отождествляется с ОХ" Ф" н, стало бить, с 6/Н>сйт', откуда вытекает б), Для доказательства в) заметим, что нз предположення о связностн Х/О вытекает, что Х вЂ” чнстое многообразне конечной размерностн: действительно, для любого й >О обозначим через Х» множество точек хщХ, такнх, что б>ш„Х=е; тогда, множество Х» одновременно открыто н замкнуто в Х н устойчнво относительно О; стало бить, Х совпадает с одним нз множеств Хь Проведем доказательство пуннта в) нндукцней по размерностн многообразия Х; утверждение очевидно для бип Х=О.
Пусть т — макснмаль. ный элемент среди орбитальных типов точек нз Х (такой элемент существует согласно лемме бв) ). Докажем следующее утверждение: в') Длл любого подмножества А из Хвь одновременно открытого и замкнутого в Хо> и устойчивого относительно О, замыкание А множества А открыто в Х.
Это утверждение влечет за собой в) . Действнтельно, отметнм сначала, что ввиду а) множество Хв> открыто в Х; нз утверждения в') вытекает, что множество Хв> открыто н замкнуто в Х н, следовательно, совпадает с Х, так как оно устойчнво относительно О, а пространство Х/О связно.
Пусть А— непусгое открытое н замкнутое подмножество в Хв>, устойчнвое относительно 6; согласно в'), А открыто н замкнуто в Х н устойчиво относительно 6, а следовательно, совпадает с Х; нз этого вытекает, что подмножество А плотно в Х<,> н, стало быть, совпадает с Хв>. Такнм образом, любое непустое открытое н замкнутое подмножество в Хв>/6 совпадает с Хв>/О, что доказывает связность пространства Хо>/О. Наконец, поскольку Хв> плотно в Х, из а) следует, что любая точка нз Х имеет тнп < г: другими словами. т есть нанбольшнй элемент среди орбитальных типов точек нз Х.
Теперь докажем в'). Можно предполагать, что множество А непусто; пусть х»нА. Нужно доказать, что А — окрестность точкн х. Прн этом можно предполагать, как это делалось выше, что Х ОХ Ят, где поди группа Н компактна, а х — канонический образ элемента (е, О). Предположнм сначала, что Н действует трнвнально на йт; тогда Х отождествляется с (О/Н)>с Я>т, а пространство Хв>/О=Х/О гомеоморфно пространству йт н, следовательно, связно; поэтому А/О=Х/О, откуда А=Х. Впредь будем предполагать, что Н действует иетрнвнально на йу. Выберем на (е скалярное произведение, ннварнантное относительно компактной груп- ГЛ. <Х.
КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ Лн пы Н; пусть 5 — единичная сфера в пространстве В' (т. е. множество векторов с нормой 1). Заметим, что пространство 5/Н связно: действительно, если й<ш ((Р)Р 2, то 5 связно, а если й<ш (йг)= 1, то 5 является пространством, состоящим из двух точек, иа котором группа Н действует нетривиально. Положим У=6зс 5; это — замкнутое лодмногообразие и в Х, устойчивое относительно 6 н имеющее корав мерность 1, а пространство У/6, гомеоморфиое 5/Н, связно. В силу предположения индукции существует орбитальный тип О, максимальный для У, множество У<ь» открыто и замкнуто в У, а пространство У<ь>/6 связно. Рассмотрим действие Йь+ на Х, получаемое при переходе к фантормногообразию из закона действия ()ь(у, <в))» (л,)»ш) группы 11»+ на 6Х м Ит.
Две точки из Х, сопряженные относительно этого действия, имеют один и тот же орбитальный тип; следовательно, Х<ь> содержит подмножество 11+ У<вь которое является открытым и платным подмножеством в Х. Однакоо ввиду а) множество Х<а открыта и, следовательно, пересекается с Х<ьь но тогда О=т. С другой стороны, гомеоморфизм (1», и»)» )< ш нз 1(ь+Х5 на йт-(О) (Общ. тон., 1969, гл.
Ч1, $2, и* 3, предложение 3) индуцирует гомеомор. фиэм из Вь+Х(5/Н) иа (Йл.5)/Н, а, стало быть, также из 1(ь+ Х(У/6) на (11+У)/6 и из Й~-Х(У<ь>/6) на (К+У<э<)/6. Таким образом, множество (111 ! <М)/6 связно, а множество Х<н/6 содержит платное связное подмножество и, следовательно, само связно (Общ. топ., 1968, гл. 1, $11, и' 1, предложение 1). Но тогда множество А совпадает с Х<о и, значит, плотно в Х, а А является окрестностью точки х.
Это завершает доказательство теоремы. В обозначениях теоремы 2в) точки из Х<ч называются главными тоннами, а их орбиты — главными орбитами. Если х — точка из Х и если в„ 6)с * В' — линейная трубка в Х вокруг орбиты точки х, то х — главная точка тогда и только тогда, когда 6, действует тривиально в пространстве Ю', т. е. когда трубка имеет вид (6/6,)з(Т»т. Примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
