Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 22
Текст из файла (страница 22)
ПРеоеРАЗОВАние ФуРье Г (и)«и (Е) = и (Е) и ( Г) « = и ((й г)«Е), и как следствие получаем Г(и)"Пи(Е)П и: П(ьг) Ей~<пир!((Х.У) Е)(й)1: (1Ь) аос таким образом, функция иь Пи(Е)П вЂ” быстро убывающая функция. Обратно, пусть А (А)„««б — элемент из г" (6), такой, что и Р ПА«П — быстро убывающая функция. Положим Е (п)=(и(л)1А„); тогда йг-Р Е«(й) — аналитическая и, следовательно, бесконечно диффереицируемая функция.
Для любого хпей, согласно предложению 27 из гл. П(, $3, п'7, (Е.«Е„) (л) = ( и (я) и (х)1А, ) . Пусть Гаи 0 (6); тогда нз предыдущей формулы получаем ().~ Е.) (а)- (и (й) и (Г)1А«), и, значит, 1(Ь! Е ) (я)1=1(и (л) и (Г)1А«)(~б (и)'Пи (г)П Пи (я)П ПА«П -с((и)'Пи(Г)П ПА.П . Тогда и ю зпр1(ь, Е„) (л)1 — быстро убывающая функция, поскольку б (и) и Пи (Г)П вЂ” функции умеренного роста (предложение 3), а ПА„П вЂ” быстро убывающая функция; стало быть, семейство ((тЕ„)„л равномерно суммируемо.
Отсюда получаем ~), что сумма семейства (Е«) есть бесконечно дифференцируемая функция на 6, копреобразование Фурье которой есть семейство (А,), чем завершается доказательство теоремы. Обозначим через 5«(6) векторное подпространство в ьт (6). состоящее из таких семейств А=(А,)«п, что функция ин ПА«П — быстро убывающая функция на 6. Из теоремы 1 вытекает, что отображения У". Е~ (и(Е))„п и Р".
А> ) (и(я)1А„) нндуцируют взаимно обрат«на иые изоморфизмы между комплексными векторными пространствами 9' (6; С) н ~ (6). Снабдим пространство М' (6; С) топологией С -равномерной сходимости (П б, п' 4), которая может быть определена при помощи семейства полунорм Еть знр1Е,Е(я)1 для Гщ0(6), а про- УФС странство 5' (6) — топологией, определяемой последовательностью полу- норм р: АР зпр(Г(и)+!)«ПА«П . Из формулы (15) а предыдущем «пб доказательстве вытекает, что отображение У непрерывно. Пусть | си 6 (6), и пусть А=(А„)«п — элемент из Р(6); положим Е«(й)=(и(а)1А«). М Зто следует нз того, что пространство и (Си С), снабженное топологией С -равномерной сходнмостн (П б, п'4), полно.
4* ГЛ. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ !Оп Пусть р — такое целое число, что ~ Г (и) и=М( ьь. Из предыдущего иып доказательства следует, что существует такое целое число лг, что для любого уен6 !((ч)„)(д)! <с((и)АЦи(!)!! ЦА„Ц (гн. (1+Г(и)) Г(и) ' ЦА„Ц откуда !(Тч Я(А)) (к)! ~ Гл Мр (А); это доказывает. непрерывность отобра- жения м. Отсюда вытекает Следствик Отображения Р' 1!-и(и (())„ып и м': А н- ~ (и(у)~А„) иыэ индуцируют взаимно обратные изоморфизмы между Голологическими векторными пространствами в (6; С) и ~(6). в.
Преобразования Фурье центральнмк функций Длн любого иен6 обозначим через Х, характер представления и; тогда х„(й)=ТГ(и(у)) (у~6). Напомним (Тй. Урсс.) формулы х„х„=О (и,э~К иФв), х„х„= „(„х. (иен6) 1 (16) (16) (17) Для любого иен6 обозначим через е тождественное отображение пространства Е,. Напомним ($7, и' 4), что через сьг(6) обозначается подпространство в ь'(6), состоящее из классов центральных функций, т.
е. таких функций 1, что ги!п! з =1 для любого ген 6, или, что эквивалентно, у(з)1=6(в ')1 для любого зы6. и В = в ("и) ~ '! (у) х. (й) дй. Согласно предложению 1 (п' 1), условие, что функция 1 центральна, равносильно условию и(у(з)))=и(6(в ')!) для любого зен6 и любого иы 6, но это условие также записывается в аиде и (з) и (7) =и (1) и (в) для любого ген 6 и любого ия 6 (формулы (12) и (13) ), откуда получаем первое утверждение предложения 4 (лемма Шура)..Если отображение и (7) — гомотетия, то и ())=)и„е„, где Մ— Тг (и ())) = — ~ / (у) Тг (и (д)) дд = — ~ ) (у) Х„(д) йу.
! ! ! ПРедложение4. Пусть 1е=с. (6). Для того чтобы функция 1 была центральной, необходимо и достаточно, чтобы отображение и (!) было гомогегигй для любого иы 6. Тогда ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН 102 Согласно теореме 1б), функция 7 бесконечно дяфференцируема тогда и только тогда, когда функция и ь (1 и ф ~( является быстро убывающей, но, согласно формуле (20), Ии(ГИ!„а,) !<ХЛ>), откуда понучаем первое утверждение, поскольку д (и) н 1/д (и) — функции умеренного роста. Теперь предположим, что функция 1 бесконечно днфференцнруема; тогда, согласно теореме 1а), 1(у)= ~ 7„(у) для любого уьн6, где инп 7„(у) = < и (у)(и (О> =г( (и) Тг (и (у) .и (7)) = =д(и) Тг и(у) ' ()(„(1) —" =(у,„((> Тг(и(у) ')н« = <х.Ч>х.
(у). Итак,((у)= ~ (Х„(Т>х„(у), но при любом иы бдля контрагредиентного «нп к и пРеДставленнЯ и' выполнЯетсЯ Условие Хи=хи, н отобРаженне и «и' является перестановкой в 6, поэтому )(у)= ~ (Х!1>Х.(у), чем за имп вершается доказательство предложения. Следствие. Пусть 7 — ненрерыеная центральная функция на 6. Для того чтобы она была бесконечно дифференцируемой, необходимо и достаточно, чтобы ее ограничение на Т было бесконечно дифференцируемо. Действительно, согласно следствию 4 из $7, и'4, <Х„))>-~ Х(р>Цгт(1) дй где у(1)= П (1 — (1) ')7(1). и)Ь Если функция 7(Т бесконечно днфференцнруема, то у также бесконечно днфференцируема.
Тогда нз предложения 5, примененного к группе Т, получаем, что р ь«. ~ р()) у (1) дг на 7'=Х (Т) — функция умеренного роста т н иь«. (Х„!7> также функция умеренного роста; таким образом, функция 1 бесконечно днфференцнруема (предложение 5). Обратное очевидно. б. Центральные функции на б и функции на Т Обозначим через 'е (6) пространство комплексных непрерывных функций на 6, а через 'У (6) — надпространство бесконечно дифференцируемых функций. Тогда имеет место последовательность включений 9 (6) ~ ЯГ (6) г: Ф (6) «Ь х (6).
э э. дняствия компАктных ГРупп ли ИА мнОГООБРАзиях 103 Обозначим соответственно через Хв (6), л и (6), л и (6), ЯЕ'(6) надпространства, состоящие нэ центральных функций в этих пространствах. Аналогично наедем пространства Е (Т), чт (Т), чт (Т) и ь~(Т). Для любого пространства Е из этого набора обозначим через Е (соотв. Е ) надпространство, состоящее нз инвариантных (соотв. антиннвариантных) элементов относительно действия группы ЯГ.
Имеем коммутативную диаграмму гк(О) ' о" рн гв "(6) '" к" (т) ге(о) ' в(т) где вертикальные стрелки обозначают канонические вложения, а отображения а„а, ав порождены отображением ограничения из чт (6) в Яг (Т). Отображения а„а, аа биективны ($2, и' 5, следствие 1 предложения 5, $8, и'3, следствие предложения 5, и$ 7, и' 3, следствие предложения 2). Предположим теперь, что полусумма р положительных корней принадлежит Х(Т), н рассмотрим отображение Ь, которое каждой непрерывной функции ~р на Т ставит в соответствие и.т (р).
Имеет место коммутативная диаграмма н'(а) —" Рьт ХО(6) " ~(т)н " ЧГ(т)- т го'"(6) " о "(т)' " о"" (т)-' гв(6) " Е(т)н " Е(т)- где вертикальные стрелки обозначают канонические вложения, отображения Ь„Ь, Ьв порождены отображением Ь, а отображение и продолжает Ь, а, по непрерывности ($7, и' 4, следствие 3 теоремы 2). Отображения и н Ьв биективнм (там же); Ь также биективно (упражнение 5); напротив, Ь, в общем случае не сюръектнвно (упражненне 5). $9.
Действия компактных групп Лн на многообразиях В этом лараграфе через Х обозначается локально конечномерное отделиное вещественное многообразие класса С'(1<т(гь). ГЛ. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ 1. Погружение многообразия в окрестности компактного подмно- жества ЛеммА1. Пусть Т и Т' — два гопологических пространства, А и А'— компактные подмножества соответственно в Т и Т' и Я!" — окрестность мноэсества А ХА' в ТХ Т'. Существуют открытая окрестность и множества А в Т и открытая окрестность и' множества А' в Т', такие, что иХ х и': йу. Пусть хенА; существуют такие открытые множества и„в Т и и„' в Т', что (х) Х А' <= и„Х и'„Г= Яг": действительно, компактное подмножество (х) Х ХА' в Т Х Т' можно покрыть конечным числом открытых множеств, содержащихся в йт, вида и!Хи,', где хени!; теперь достаточно положить и.= П и, и и',= () и,'..
! ! Поскольку А компактно, то существуют такие точки х!, ..., х в А, что Ас: Ц и„; положим и= () и„и и'= П и,. Тогда А ХА'!:.их и'с ! ! ! с= ЯГ, что завершает доказательство леммы. На протяжении этого параграфа через У обозначается отделимое многообразие класса С'. Пгедложение 1. Пусть йпХ -ь У вЂ” морфизм класса С' и А — компактное подмноэсество в Х. Следующие условия эквивалентны: (!) Ограничение !р на А инъективно и !р — иммерсия во всех точках множества А; (й) существует открытая окрестность и множества А, такая, что !р индуцирует погружение окрестности и в У. Если эти условия выполнены, то говорят, что !р есть погружение в окрестности подмножества А.
Докажем, что (1) влечет за собой (й); обратное утверждение очевидно. Пусть (!) выполнено; тогда существует открытое множество !' в Х, содержащее А и такое, что ограничение !р на )! есть иммерсия (Мн., Св. рез., 5.7.!). Обозначим через Г такое множество точек (х, у) в )гх )г, что !р(х) = !р (у), н пусть а — диагональ в (г Х У. Тогда а — открытое подмножество в Г: действительно, для любого хек У существует окрестность и, точки х, такая, что ограничение !р на и, инъективно, т.
е. ГД(и, Х и ) = =йп (и.х и.). Поскольку У отделимо, множество Г замкнуто в (ГХ (г; следовательно, дополнение йт множества Г- а в )г Х )г открыто. Согласно предположению, й!" содержит А ХА; нз леммы 1 следует, что существует открытое множество и'в У', содержащее А н такое, что иХ и'с: йг, т. е. такое, что ограничение !р на и' инъектнвно. Кроме того, существует открытая окрестность и множества А, такая, что ее замыкание содержится в и' (Общ. Гол., 1968, гл. 1, $9, п' 7, предложение 10) . Тогда о индуцирует гомеоморфизм ! з з. днпствия компхктных гиепп ли нх многоовгхзиях 105 из б на»р (О) и, следовательно, из (7 на»р (У), откуда вытекает, что ограни- чение»р иа 0 есть погружение (Мн.„Св.
рез., 5,8.3). Пепдложеннк 2. Предположим, что многообразие У паракомпактно Пусть А — подмножество в Х, и пусть йа Х вЂ” ь У вЂ” морфизм класса С', задающий гомеоморфизм из А на »р (А) и зтальный во всех точках множества А. Тогда существует такая открытая окрестность (7 множества А, что»р задает изоморфизм множества 0 на открытое подмногообразие в У. Уменьшая в случае необходимости Х и У, можно предполагать, что морфизм»р зтален и сюръективен. Обозначим через о: »р(А)-~ А гомео' морфизм, обратный к»р(А.
Поскольку многообразие У метризуемо (Мн.. Св. рез., 5.1.6), »р (А) допускает фундаментальную систему паракомпактных окрестностей; тогда, согласно Тор. йеп., с)»ар. Х1, существуют открытая окрестность У множества»р (А) в У и непрерывное отображение з: У— -ь Х, совпадающее с а иа»р (А), такие, что »р(з (у))=у для любого учп ы У. Кроме того, отображение з топологически этально; следовательно, з (У) является открытым множеством У, содержащим А, Тогда Ч» задает гомеоморфизм »р' из 0 на У. Согласно Мн„Св.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
