Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пусть хзпй. Существует такое положительное вещественное число А, что для любого неприводимого представления т: Π— ~ бЕ (») и любой гнльбертовой структуры на $', инвариантной относительно О, 11 1. (т) (х)1' ( А.Г (т). Действительно, используя обозначения нз предыдущего доказательства, можно выбрать базис (е!) в й таким образом, что х =ае!, аеп Гс. Тогда для ишь (х»и,х„и) 1а1з (е, и, е, о) <(а(т>ч(т) (и, и). О Доказательство, которое там приведено для расщепляемых полупростык влгсбр Ля, арамо неревосвтся аа случай расщепляемых редуятвщвж алгебр.
ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕШЯСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН й 8. Преобразование Фурье Соглашения и обозначения из предыдущего параграфа сохраняются. 1. Преобразования Фурье интегрируемых Цйумиг(иб (А1В) =иг (и) Тг (А* В)=д (и) Тг (В А'), ЦА Ци= (А(А) Гги=(Г((а) Тг (А' А)) Г'. и положим (2) Тогда "уд(п) ЦАЦ ~ (ЦАЦэи'и((и) ЦАЦ н, следовательно, (4) 1(А1В)1(иг(и)э ЦАЦ ЦВЦ Для любого д ен б и меем Ц и (у) Ц и = И (и), Обозначим через Е (О) алгебру П Епб (Е,).
Обозначим через ьи (б) им 6 гильбертову сумму гнльбертовых пространств Епб (Еи); это пространство семейств А=(А«)яр(б), таких, что ~ ЦА«ЦЕ< со, снабженное и скалярным произведением (А1В) = ~ (А«1В«) = ~ г((и) ТГ(А«*В«). «ип имс Наконец, через Ц Ц, обозначим гильбертову норму на Е'(СГ), так что ЦАЦэз= ~, ЦА«ЦЕ для Асио'(9~. ин6 9 См. подстрочное прпмечапве в начале Ц 7. Напомним в этом пункте результаты и определения из ТЬ.
Урсс. '). Обозначим через б множество классов неприводимых представлений группы Ли б (в коиечномерных комплексных векторных пространствах). ДЛя ЛЮбОГО иеиСГ ОбОЗНаЧИМ ЧЕРЕЗ Еи ПраетраиСтВО ПрЕдСтаВЛЕНИя и, а через Г((и) — его размерность. Существуют невырожденные положительные зрмитовы формы на Еи, инвариаитные относительно и, и любые две танне формы пропорциональны. Обозначим через А" (соотв, ЦАЦ ) сопряжение (соотв.
норму) элемента А из Епб(Е,) относительно какой-то из этих форм. Для любого денб имеют место равенства и(у)и=и(д) =и(д ')и Ци(д)Ц =1; длялюбогокенйсправедливыравенства п(к)'= = — и (х) = и ( — к). Снабдим Епд (Еи) структурой гильбертова пространства, в котором скалярное произведение задается формулой $8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Если / — комплексная функция, интегрируемая на С, то для любого иеи6 положим /(к) и у Иу~Епб Е) (6) (/) $ () ( «$ (/(й)) де= 1(/6~ ~ Копреобразованием фурье ф сии в называется семейство (и (/))и вен Р (6), обозначаемое через м(/). Если /еий'(С), то 1!Иъ= ~, (и(/)(и(/)) =Ем(/)Еэ ива так что У индуцирует нзометрнчное линейное отобваженне гильбертова пространства Ь'(6) на гильбертово пространство Ь (6): другнмн словамн, для / и /' нз Ь'(6) имеем 5 /(у)/'(у) ду=(Р(/) ) Р(/)> = ~: й(и) Т ( (/)" (/)) (У) с иаа Определим свертку /и/' двух элементов / н /' нз Ь' (6) следующей формулой (/и/')(Ь)=~ /(Ьу )/'(Ю)йу=1 /(у)/'(у 'Ь)да о Ж/и/') = м(/).
р(/'). (8) Обратно, пусть А=(А„)„п — элемент нз Р(6). Для любого ие 6 пусть мь А — (аналитическая) функция на С, определяемая формулой (ЖА) (у)= (и(у)~А,) =д(и) Тг(А. и(у) '). (9) Если А емьз(6), то семейство (зь А)и в суммнруемо в Ь'(6). Тогда преобразованием Фурье злемента А называется сумма этого семейства, обозначаемая через Я(А). Отображения У'н У'являются взаимно обратными нзоморфнзмами между гнльбертовымн пространствамн Ь'(6) и Ь'(6). Другнмн словамн: ПРедложенне Е Любая комплексная функция /, квадратично интегрируемая на С, является суммой в гильбертовом пространстве Ьт (6) семейства (Ци Ф где для любого Ь еи С и любого и ев 6 /и(Ь)= (и(Ь)! и(/)) =Н(и) $ /(у) Тг (и(уЬ ')) ду= с =4 (и) ~ / (уЬ) Тг (и (у)) ду.
(интеграл имеет смысл для почти всех ЬыО). Тогда /и/'~ь'(6) и и(/и/)=и(/) и(/) для любого и~6: следовательно, гл. и». комплктиыа вещаствииныи гвтппы лн Выберем для любого иен 6 ортонормироваиный базис В в Е. и через (ин(н)) обозначим матрицу элемента и (и) в этом базисе. Предложение ! также означает, что семейство функций )/а'(и) ии для и иэ 6 и», / из В. образует ортонормироеаиный базис в пространстве /т(6). Есчи / — интегрируемая функция на 6, такая, что семейство (/„) равномерно суммируемо, то сумма этою семейства есть непрерывная функция, почти всюду совпадающая с /.
Другими словами, если, кроме того, предположить, что функция / непрерывна, то для любого /»ел 6 /(/»)= ~ »/(и) ) /(н/») Тг (и(а))»/й. «лл с Обратно, пусть Аеир(6); если семейство (У„'А)„п равномерно суммируемо, то д» ~ (У„'А)(д)= ~ »/(и)Тг(А„и(н) ') «ма «мб есть непрерывная функция иа 6,.для которой А является копреобразованием фурье.
Пусть / — интегрируемая функция на О, и пусть лен 6. Обозначим через у (з) / и б (з) / функции на 6, определяемые формулами у (з) /=з»/, Ь(з)/ /«е, », т. е. (у (3) /) (к) =/ (з и), (Ь (3) /) (Я=«/ (йз) для а еи 0 (гл. 1Н, $3, п' 4, и Иитегр., гл. ЧП, $1. п' 1, гл. 1П, й 1, пп' 2, 3).
Имеем и (у (з) /) ~ /(з и) и (и)»/й=~ /(и) и (зн)»/и; о следовательно, (! 2) и (у (з) /) = и (з) и (/), н аналогично и(б(з ')/)=и(/) и(з). (13) Если 6 коммутативн а, то 0 есть множество, лежащее ниже двойственной к 0 группы (Спектр. теор., гл. П, $ 1, и' !); тогда д(и)= ! для любого иеи6, н мы приходим к определениям преобразования Фурье, данным в Спектр. теор., гл. П. 2.
/2»реоб/эалопамиа Фурье бесконечно дифференцируемых функций Напомним (гл. 1П, $ 3, и' 1, определение 2), что через У (6) обозначается алгебра распределений на 6 с носителем, содержащимся в (е). Каноническое вложение й в У (О) продолжается до изоморфизма универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли а на 6 (6) (там же, п" 7, предложение 25). В дальнейшем мы будем отождествлять эти две алгебры при э Э ь. пэвоэгьзовхиие ьтгье 97 помощи укаэанного изоморфизма. Если г — бесконечно днфференцнруем а я комплексная функция на 6 н если 1«и (7 (6), то через Уч 7 н гг~ 1 обозначим функции на 6, определяемые формуламн 1 1(у)= (эг»1 1) )7~ 1 (у)= (Г эг 1) (см.
там же, п' 6). Для любого б«я 6 7(у)=7(б) ' Е, В б(у)=б(у) )7» Пусть и«и6. Обозначнм через Е, пространство этого представления. Морфием групп Ли и: 6- 61.(Е,) определяет при дифференцировании гомоморфнзм (веществеиных) алгебр Лн 9- Епб(Е„) н, стало быть, гомоморфнзм алгебры (7(6) в алгебру Епб(Е„), также обозначаемый через и. Если 1«н 6 (6) н если 7 — бесконечно днфференцнруемая функция на б,то и(1«7)=и()) и (Р), и (11~))=и(Г) и()), (14) где через Р обозначается образ элемента 1 прн главном аитиавтоморфнэме алгебры (Г(6) (гл. 1, 4 2, п' 4)„в самом деле, справедливость формул достаточно проверить для 1щб, а в этом случае онн получаются дифференцированием нз формул (12) н (13) (см. гл. И1, б 3, п' 7, предложение 27). Обозначим через й(и) старший вес представления и«и6 (й У, п'2, теорема 1); тогда отображение и г й (и) есть биекцня нэ 6 на множество Хэ.ь доминантных весов в Х(Т). Пусть Г«и 6(6) — элемент Казимира группы Лн 6 (б У, п'6).
Для любого и «н 6 зндоморфнзм и (Г) пространства Е, есть гомотстня, коэффициент которой обозначается через Г(и). Отсюда получаем отображение и~ )ч(и) нз 6 в С. Если ц и ф — две веществениозначные положительные функции на 6, то через ц~ ф или ц (и) ~~ ф (и) обозначается отношение «существует такое М > О, что ф (и) < Мф (и) для любого и щ 6»ц это есть отношение частичногоо порядка на множестве вещественнозначных положительных функций на 6. Пгвдложвнив2.
Пусть пт г-» 1гп(! — норма в векторном К-пространстве 1(чэХ (Т) и à — элемент Казимира группы Ли 6. Пусть о — вещественнозначная положительная функция на 6. а) Следующие условия эквивалентны: (1) Существует такое целое число п)0, что ~р(и)~(~))ь(и)~+!)' (соогв, для любого целого числа п~О имеем ~р(и) ~~(1)й(и))!+1) "). (й) Существует такое целое число п)0, что ~р(и)~(Г(и)+1)" (соотв. для любого целого числа п)0 имеем р(и)~(Г(и)+1) ").
б) Если группа Ли 6 полупроста, то указанные выше условия (1) и (й) эквивалентны такэсе условию (61) Существует такое целое число п) О, что ~р (и)~ д (и)' (соотв. для любого целого числа и) 0 имеем м(и)~ д(и) '). 4 Н. Бурсаке гл. ~х компьктныи ввшестввнныв ггтппы ли Сначала заметим, что условие (!) очевидным образом не зависит от выбранной нормы. Значит, в качестве нормы можно взять норму, опреде- ляемую квадратичной формой !го ассоциированной с Г (э 7, п' 6, предло- жение 4). Тогда 0(Г(и)вв !)Л(и)+р)(х — (!р!!', и, следовательно, Г(и)+1~(!!Л(и)!!+1)'м,Г(и)+1, откуда вытекает а). Кроме того, если О полупроста, то (4 7, и'5, следствие 1 теоремы 3) !!Л(и)+р!!ч,д(и)ч', !!Л(и)+р)!", где И=(1/2)(б!гп Π— б!гл Т), поэтому !!Л (и)!!+1~ д(и)~(!!Л(и)!!+1)н, откуда следует б).
!!з предложения 2 вытекает, что условие (!) не зависит от выбора максимального тора, камеры и нормы, а условие (й) не зависит от выбора элемента Казимира. Функция, удовлетворяющая условиям (!) и (й), казывается функцией умеренного роста (соотв. быстро убывающей функцией). Произведение двух функций умеренного роста есть функция умеренного роста; произведение функции умеренного роста на быстро убывающую функцию есть быстро убывающая функция. Если ~р — быстро убывающая функция, то семейство (~(и))„С суммируемо.
Примеры. Функция иь-~. д(и) — функция умеренного роста (4 7, п' 5, следствие 1 теоремы 3); для любой нормы !! )! иа !(®Х(Т) функция и ь-ь !!Л (и)!! также функция умеренного роста. Для любого элемента Казимира Г функция и ь-ь Г (и) — функция умеренного роста; или более общо: Пэвдложенив 3. Для любого гьпУ(6) функции ин- !!и(!)!! и и~ н !!и(!)!!х — функции умеренного роста на 6. Поскольку произведение двух функций умеренного роста есть функция умеренного роста, то предложение достаточно доказать для геня. В этом случае утверждение вытекает из замечания из 4 7, и* 6, и из неравенства 1(и (!)!!г~(д(и)!!и(!)!! Твогемл 1.
а) Пусть / — бесконечно дифференцируемая комплексная функция на О. Тогда семейство(Ц„нж где/„(у)= (и (у))и (/)), равномерно суммируемо на 6, и для любого !ььп 6 /(Д)= ~ (и(й)!и(/)>= 2: й(и)5/(у)Тг(и(уй '))ду. вне ьнп с б) Пусть / — интегрируемая функция на 6. Для того чтобы она почти всюду совпадала с некоторой бесконечно дифференцируемой функцией, необходимо и достаточно, чтобы функция и ь-ь. !(и (О!! была быстро убывающей на О. Пусть / — бесконечно дифференцнруемая функция на 6, и пусть Г— элемент Казимира для 6. Согласно формуле (14), для любого целого числа пйь0 справедливо равенство 4 а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
