Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 65
Текст из файла (страница 65)
дуля 2(Л) и е — примитивный элемент веса Л в модуле Я (Л), см. $6, п'3. Показать, что Ря, ди У(9)Х ( а) е= ~ у(п )Х ( а)+1Р ая»В а ее В Е1 (Е 1)', 1 щ Ь. Прим. перец УПРАЖНЕНИЙ 15) Пусть Лгм(!' и о (соотв. о') — примитивный элемент веса Л в модуле 2 (Л) (соотв Е(Л)). Пусть! (соотв, Р) — аннулятор элемента о (соотв. о') в алгебре (Г(9). а) 1 и (9) и+ + ~ и (9)(й — Л (й)).
заз б) Идеал Г является максимальным левым идеалом алгебры (г'(9), отличным от (1(9) н содержащим идеал Е в) Если ЛщРэыто Е-у+ ~ и( )Х'(В )+'-!+ ~„и(п ) Х'("а)+' амв аан (Воспользоватьсн предыдущим упражнением.) $16) Пусть У и У' — два 9-модуля. Скажем, что модуль У' подчинен модулю У, если существует такое линейное отображение В У-э $', что а) отображение ! сюръективно; ()) образом примитивного элемента модуля У при отображении ( является либо О, либо примитивный элемент модуля У'; у) отображение ( есть я--гомоморфнзм. а) Пусть отображение г удовлетворяет условиям а), й), у).
Пусть о— примитивный элемент модуля У. Тогда,'образ при отображении 1 9-подмодули, порожденного элементом о, равен й-подмодулю, порожденному элементом ((о). б) Пусть отображение П У-ь У' удовлетворяет условиям а), ()), у). Пусть йг есть 9-подмодуль модуля Г Тогда г(йт) есть 9-подмодуль модуля УЛ подчиненный модулю йг, в) Пусть У=Е,(х) ... 9Е и У =Е, ® ... ®Ем — разложения модулей У и У' в сумму простых модулей. Для того чтобы модуль У' был подчинен модулю У, необходимо и достаточно, цтобы было з'(~ з н существовал I такой элемент пщ юм что модуль Ег подчинен модулю Еа„при 1 1, ..., з ° г) Если модуль У' подчинен модулю У н если модуль У прост, то модуль У' прост нли равен О.
д) Предположим, что модули 1' н У' просты. Пусть Л и Л' — их старшие веса. Чтобы модуль У' был подчинен модулю У, необходимо и достаточно, чтобы Л'(На) ~(Л(На) при всех а ~э В. (Для доказательства достаточности воспользоваться предыдущим упражнением.) 17) Пусть Л, реп Р++ и а ан В таковы, что Л(На) Ъ1 и р (На) ) 1.
Пусть Р = Е (Л) ® Е (р). а) Показать, что д)гп Рьт" =1 и что б)т РА+" " 2. б) Показать, что отображение Ха: Рь+а а-ьР +" сюръективно и что ненулевые элементы из ядра этого отображения — примитивные элементы (заметить, что если () ея  — отличный от а корень, то Л+ р — а+ й не является весом модули Р). в) Вывести отсюда, что модуль Е(Л) ® Е(р) содержит, и притом только один, подмодулгь изоморфный модулю Е(Л+ р — а). г) Показать, что Вз(Е(Л)) (соотв. дчяЕ(Л)) содержит, и притом только один, подмодуль, нзоморфный модулю Е(2Л) (соотв. Е(2Л вЂ” а)). а Я 18) Выберем на пространстве 1)п невырожденную положительно определенную йг-инвариантную симметрическую билинейную формУ [ ! ° ) Пусть Л щ Р++.
а) Пусть р — вес модуля Е(Л). Представим вес Л вЂ” р в виде ~ йаа аав 298 ГЛ. УП!. РАОШЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРООТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ,й! Пусть оси  — такой корень, что йотьб. Показать, что существуют такие а,, ..., «л щ В, что (Л(«~) чь О. (а~ ! ги) Ф О, . ° ., (ал, (ал) Ф О, (а, 1«)ФО. б) Пусть о — примитивный элемент модуля Е(Л), и пусть корни а!..., ..., ал щ В удоалетаоряют следующим условиям; (!) (а,!«! )чьО при (=1, 2...„л — 1; (В! (а,(а,.) О при /)1+1; (Гп) Л(Н )ФО и Л(Но) ... =Л(Н ) О. Показать, что Х Х о ...
Х о чь О. (Заметить, что при ! (~а ~и Л вЂ” а, — ... — а,—,+ал ие является весом модуля Е (Л), и аыаести отсюда нндукцией по з, что Х„Х, Х, ... Х очь0.1Если«епюли«Ф1,тоХ Х л ' оо !л! ло !л-вВ " ' ... Х о=О. (Пусть г — наименьшее целое число такое. что п(г) ~г, -аоп) Воспользоваться утнерждениев! а). чтобы доказать, что Л вЂ” а — ... — а о!!) ' ' ' о(г) не является весом модуля Е(Л).) з) Пусть Л' ап Рее.
Иолою, соединяющей веса Л и Л', называется такая последовательность («ь ..., а„) элементоэ из В, что л ~ 1, (Л ( а!) ~ О, (а, (а ) ~ О, ..., (ал-, (ал) + О, (ал ! Л ) Ф О. Такая цель называется мини- мпльпой, если никакая строго содержащаяся а (а„..., ал) подпоследоаа- тельность не соединяет веса Л и Л'. Тогда (а.(а ) =О, если П вЂ” !1)~2 (Л (а,) =О, если (лв2, н (Л')а,) О если ! в~л — 1.
г) Пусть (а„... ал) — минимальная цепь, соединяющая веса Л и Л'. Если о' — примнтианый вектор из модуля Е(Л!), то положим о, = Х „ Х „ ... Х о (з О 1 ..., л), о "о-! о'-Х Х ...Х е' (з=о, 1,..., л). з -а+, -о+ ''' -л, л,=(Л(а!) ал ( — 1)л(Л'(ал), а, ( — !)'+'(а,(а,+!), 1е~з~л — 1. По- казать, что л,о Я о в е — примитияный элемент веса Л+ Л' — а, — ...
— а„модуля Е(Л) ®Е(Л') и что это единственный с точностью до гомотетии примитивный элемент такого веса. (Воспользоиаться утверждениями б) н я) чтобы показатвь что любой элемент модуля Е(ЦЯЕ(Л') имеющий аес Л+Л' — ав — . ° ° — ал, г является линейной комбинацией элементов э !8) э Показать затем, что такая линейная комбинация — примитивный вектор.) Вывести отсюда, что модуль Е(Л) (Бв Е(Л') содержит, и притом только один, й-подыодулвл изоморфный модулю Е (Л + Л' — ав — , — ал).
(При л 1 мы приходим к упражнению !7.) -д) Пусть ю прнмитиаиый элемент модуля Е(Л) (в) Е (Л'). Предположим, что зес т элемента и отличен от Л+ Л'. Показать, что тогда существует такая цепь (аь „., «л), соединяющая песа Л н Л; что ч~Л+Л'-ав — ... — ал. УПРАЖНЕНИЯ (Пусть С вЂ” множество таких корней аы В, что координата веса Л+ Л' — М отвечающая а, отлична от О. Пусть )) (соотв, В') — множество тех корней в~С, для которых существуют такие корни у!, ... у ~ыС, что (Л]у!) ~0 (соотв. (Л')у)~0), (у ]уэ)ФО..., (у )у)тьО, (у )а)ФО. Пусть У (соотв. У') — множество весов модуля Е (Л) (соотв. модуля Е (Л')] вила Л вЂ” ~ Ьап 1'соотв.
вида Л' — ~ йяа), где Ьо ы Х. Показать, что элеас0 вес мент ю принадлежит модулю ( ~ Е(Л)н18( ~ Е(Л')" ). Воспользоч,н у / ч,в'ю г' ваться утверждением а] и тем, что т ~ Л+ Л', и показать, что х](] В'-~ Я) е) Показать эквивалентность следующих свойств: (!) Модуль Е(Л) ® Е(Л') нзоморфен модулю Е(Л+ Л'), (й) Е(Л)(8] Е(Л') — простой модуль. (й!) Не существует цепи, соединяющей веса Л н Л'. т (!ч) Система корней Š— прямая сумма таких систем Е! и ЕР что Лщр(Е~) и Л ~нР(Е) (ч) Алгебра Лн я — произведение двух идеалов 6 и д', таких, что й',Е(Л) 0 и й.
Е(Ль)=0. (Воспользоваться утверждением г) для доказательства эквивалентности условий (й) и йй) ').) 19) Воспользуемся обозначениями предложения 10. Пусть Ь вЂ” алгебраи- ческое замыкание полЯ й. Если хаий, то чеРез ген(Ь) (соотв. зв„(х), соотв. )в (х)) обозначим множество собственных значений эндоморфнзмв лп (гоств. х„, соотв. х ) в й. Показать, что зо, (х) = го (х) + нт„(х) длн всех х~нй и что прн заданных Е и Р это свойство определяет простой б.мо- дуль 0 с точностью до изоморфизма. 20) Предположим, что й = Е нли С.
Пусть à — односвязная группа Ли с алгеброй Ли 9. Пусть Л, р, Е, Р, 0 такие же, нак в предложении 10. Пусть (еп ..., е„) (соотв. ()и ..., (р]) — базис Е (соотв. Р), образованный векторами, собственными относительно ]], причем е, ен Ех и В гн Р". Можно рассматривать Е, Р, Е как Г-модули. Если ущ Г, то обозначим через аг(у) 1-ю координату вектора у .
еь а через Ь( (у) — (-ю координату вектора у . Гь Показать, что функция а~Ь на группе Г не равна тождественно нулю. Вы- вести отсюда что для любой пары (Л 1) найдется такой элемент в модуле О щ Е (ьй Р, координата которого с номером (б 1) ие равна О, откуда при й = К или С следует новое доказательство предложения 10. Перейти отсюда к случаю й = б), затем к произвольному полю, см, упражнение 4.
21) Пусть Л, р зм Р++, Е, Р, () — простые й-модули со старшими весами Л, р, Л+ р и и — целое число л1. Тогда, если ю — вес модули Е крат. ности и, то в+р — вес модуля О кратности и, (Мы имеем Очэ+н~ ® Е" ЯРо. Если д(щйв+н<п, то проекция пространства 0в+н т+о н+Н иа пространство Е"!9Р' имеет вид Е'(фРв, а Е строго содержится в Е". Вывести отсюда противоречие, выбрав подходящие базисы в модулях Е н Р и повторяя схему доказательства предложения 10,) 22) Предположим, что алгебра Лн 9 проста, иначе говоря, предположим, что система Е неприводима. Показать, что существует, и притом только ') Подробности см, в статье; Дынкин Е. Б., Максимальные подгруппы классических групп, Труды ММО, т.
1 (1902), стр. 39 — 1бб. ООО ГЛ. ГП1. РАСШБПЛБЦМЫБ ПОЛУПРОСТЫБ АЛГЕБРЫ Л11 41 один, ненулевЬй доминантный аес Л чь О, такой, что множество весов мо дуля Е (Л) равно Яг . Л () 10); тогда Л = а, где а гм /7 — такой корень, что Нов наиболыпий корень системы Рг'/. Если все корни имеют одинаковую длину (случая А1, 01, Ез, Ег, Ез), то Л = а. Это единственный корень, яв- ляющийся домипантным весом; соответствующее представление — это прн- соедиаенное представление алгебры Ли О. В других случаях Л вЂ” единственный корень минимальной длины, являющийся домннантным весом; в обозначе- ниях яз гл.
Ч1 (таблицы) мы имеем Л = ы! (тип В!], Л = й! (тяп С!), Л = й! (тип Р,), Л= ам (тнп У!). 23) Пусть Уз — централизатор подалгебры Картаза 1) в алгебре У (й) (см. й 6, п'4). а) Пусть У вЂ” (кояечномерный) й-модуль. Показать, что пространства У, А ЛщР, устойчивы относительно У и что если модуль У прост, У ФО, то Π— простой У .модуль (воспользоваться разложением 0 (й) = гту У, Х 0 г там же). б) Показать, что для любого элемента с Ф О нз Уз существует такое простое конечномерное представление р алгебры У', что р(с) ФО. (Вос- пользоваться утверждением а), а также упражнением 3 а) нз гл. 1, в 7.) 24) Пусть У вЂ” ассоциативная алгебра с еднннцей, н пусть М вЂ” множе- ство ее двусторонних идеалов конечной коразмерностй. а) Пусть У" — векторное пространство, двойственное к пространству У.
Пусть ОщУ'. Показать эквивалентность следующих условий: (1) существует такой идеал щщМ, что О(гп) О; (1!) существуют два таких конечных семейства (О!) и (О! ) элементов У', О(ху) ~О!((х)0,/(у) при любых х, уану. ! Элементы О с этим свойством образуют подпространство 0' пространства У', которое совпадает с пространством, обозначенным в Але., гл. НЕ 5 11, упражненне 27, через В'. На У' существует едннственная структура ко- алгебры, в которой копронзведенне с: У'-ь У'!90' задается формулой с(О) =~'.О'!(96,", ! г а ч~ ! а где ОР О !м У вЂ” такие элементы, чтой(ху) = Р О!(х)О! (у) при л1обых х, ! ущУ (см. (1Ц).
Коалгебра 0' — объедннение фильтрующегося возрастающего семейства конечномерных надпространств (У/т)*, гпщМ. Дуальное к аей пространство отождествляется с алгеброй О = )пп У/щ. Если снабдить алгебру У топологией проективного предела дискретно топологнзнрованных пространств У/щ щщМ, то линейные формы, непрерывные аа У, совпадают с элементамн У'. б) Пусть Š— конечномерный левый 0*модуль, Его аннулятор щ при* ' " Л надлежит множеству М; композиция У-ь У/щл-ь Епб (Е) снабжает модуль Е структурой левого 0-модуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
