Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Показать, что два злелгента пространства )гд, принадлежащие одной камере системы Е. будут разъединенными тогда и только тогда, когда они ортогональны. $14) а) Пусть Р, тщ Р++ н у — вес модуля Е(р). Пусть ри — представление алгебры Ли 0 в пространстве Е(р). Пусть Хи вийи — (0), уиси ш 0 и — !01 Если а си В, то положим чи =т(Ии) и Е" (р, у ) Е(р)тп П Катри(Х ) амВ Е (р, у, ч) =Е(р)т П П Кег рн(Уи) и имВ д (щ у, ч) = 7Вш Е (р, у, т), д (р у т)=сВгпЕ (р,у,ч). Для любого )Ащ 1!' положим й*= — шо)„где шо — влемент из грувпы (р', который переводит В в — В Показать, что (р Ъ т)=д (р — г' т) 3!2 Гл 1'1и РАБ!цепле11ыые пОлхпРООтые АлГеБРН л1! Уз б) Пусть Лг Л 1м Р +, У есть й-модуль Ногпа (Е(Л1), Е(). )), 0 — множество таких ф гн У, что Уа. ф=О пРи любых и гж В, и ю — пРимативный вектор из модуля Е (Л1).
Показать, что отображение фь-ьф (ю) — изоморфизм А, (ЛаУ,-1 множества И на множество таких векторов вы Е(Л ), что У„( ) .о=б 2/' пра всех а гы В. (Для доказательства сюръективности ну1кио воспользоваться упражнением 15 из з 7.) в) В обозначениях из предложения 2 доказать, что если Ль Лг, Л~Ртт,то пу (лп Л ° Л) г(+ (Л Лз Л1 Л1) г( (Л Л! Л л1) =гг'(Л1, Л вЂ” Лп Лз)- (-(Лил,'— Л', Л,*). (Заметить, что число т (Л, Лт, Л) равно размерности пространства й-инва. рнантиых злсментов в пространстве Е(Л) ®Е(Л,) ЗЕ(Л2), и, следовательно.
совпадает с га (Лг, Л, Л ).) г) Пусть Ль Л, сп Р+„, и пусть Л вЂ” единственный алемент множества Р, т () Ф'. (Л! — Лт). Тогда Гп(Ль Лъ Л) =1. (Воспользоваться утверждением н).) Вывести отсюда, что модуль е (л,)®е (лг) содержит, и притом только одни, подмодуль, изоморфиый модул1о Е(Л) д) Сохрани я обозначения утвер кдення г). Покааать аквивалентность сле- дуюпгих условий: (1) Л=Л,+Л„ (1!);,:Л!)=!!Л, +Лт)!, (П!) веса Л, и Л> ортогональиы, (!ч) веса Л1 и Лт разъелиненпые (упражнение 13), (и) веса Л1 н Лг разъединенные.
Вывестн отсюда, что модуль Е(Л~) 8 Е (Лт) прост. только если веса Л~ и Лт разъединенные (откуда следует другое доказательство упражнения 18 е) из $7). 15) Положим М=Сагд()1+), с= П (р, На) и аг(Л) =д!Гп Ех, если аюд+ Л ~ы Рте. Показать, что дла любого венгсстзеипого числа и ) О а~ * < -' ( Л ч,-') . А аР++ м 1 Вывести отсюда, что ~ г((Л) ' (+ со, если з > 1.
Ла ++ $ 16) а) Пусть й — алгебра Лн типа Рь Воспользуемся обозначениями из гл. И, таблица У11!. Если 1=1, 2, 3, 4„то положим ~ = Р++ П("1 — ()+). 313 1ю упражнения Множество весов модуля Е(й.) — несвязное объединение элементов )ззю, где 1 ю пробегает множество ю'1 (см. $7, предложение 5 (1и)). Тогда Ы~ (О, Йь Йз); злз = 10, Йз, йь Йз, Йз, Й~ + Йь 2йз)1 лГз = 10, йь йз, й,); Ыз = 10, й,). б) С помощью теоремы 2 показать, что гИш Е(й,) =52, гИш Е(йз) =!274, д1ш Е (йз) 273, гйш Е (йз) =26. в) Воспользовавшись предложением 1 нз гл. Ч, з 3, н таблицами нз гл. Ч1, поназать, что Сагб(йгйз) 2~32 (3!) 1=24, Вычислить также Сагб (йгйз], ..., Сагб (йт. 2ю„).
Вывести отсюда, что число весов модуля Е (йз) равно 553; так как это число строго неныпе гйш Е(йз), то кратность одного нз этих весов не меньше 2. г) Провести аналогичные вычнслення длн весов йь й„й,. Вывестк отсюда, воспользовавшись упражненнем 21 нз з 7, что если р — простое ненулевое представление алгебры Лн й, то у представлення р есть вес, кратность которого не меньше 2. д) Локазать аналогичное утвержденне в случае простой алгебры Лн типа Е,. е) Пусть а — расщепляемая простая алгебра Лн.
Вывести нэ утверждений г), д) н предложений 7 н 8 нз $7 эквнвалентность следующих условвй: (!) у алгебры Лн а имеется простое ненулевое представление, все веса которого имеют кратность 1, (И) тнп алгебры Лн а не равен нн Еь нн Еэ в 10 1) Пусть 6=61(2, й) н 3 = 61(3, й). Отождествнм 6 с подалгеброй Лн алгебры Лн й с помощью непрнводнмого представления алгебры Лн 6 сте- пени 3.
Показать, что все подпросгранства пространства 6, содержашне ал- гебру Лн 6 и устойчивые относнтельно ад„й, совпадают нлн с алгеброй Лн 6 нлн с алгеброй Лн й. Вывести отсюда, что 6 — максимальная вредя отлнч- ных от й подалгебр Лн алгебры Лн й. 1 2) Пусть ш = — (гИш (й)+ гд(й)).
Размерность любой разрешимой под- 2 алгебры алгебры Лн й не превосходит пй если она равна ш, то это подал- гебра Бореля. (Свестн к случаю, когда поле алгебранческн замкнуто, н вос. пользоваться теоремой 2.] 3) Предположим, что поле й равно )1, С нлн полному неднскретному ультраметрнческому полю. Снабднм грассманнан 6 (й) векторных надпро- странств пространства й естественной структурой аналнтнческого многообра- зна над й (й(н. Се. раз„ 5.2,6).
Рассмотрим подмножества в 6 (й), образован- ные (1) подалгебрамн, (И) разрешнмымн подалгебрамн, (Из) ннльпотентнымн подалгебрамн, (ги) подалгебрамн, образованнымн ннльпотентнымн элементами, (и) подалгебрамн Бореля. 11 Бгпаале 314 Гл. Рлп. Рчг!Иегглеииые полупРОетые длГееРы ли 4 со Показать, что эти множества замкнуты (для доказательства этого утвер- ждения в случае (ч) воспользоваться упражнением 2).
Вывести отсюда, что когда поле й локально компактно, то эти множества компактны. Показать на примерах, что подмножества в 6(9), образованные (ч() подалгебрами Картава, (УИ) редуктнвными подалгебрами алгебры Ли 6, (УИс) полупростыми подалгебрами, (!х) разделяющими подалгебраии, не обязательно замкнуты, даме когда й С. 4) Предположим, что А=С. Пусть 0 !п1(8) =Ап(,(9), и пусть  — ин- тегральная под~руина в группе О, алгебра Ли Ь которой является подалгеброй Бореля алгебры Ли 9.
Показать, что  — нормализатор подалгебры Ь в группе В (воспользоваться упражнением 4 из Ь 3 и упражнением 11 из Ь 5). С помощью упражнения 3 вывестн отсюда, что О/ — компакт. 1) 5) Предположим, чтоалгебра Ли 9 расщепляема. Если « — расщепляющав подалгебра Картана в алгебре Лн 9, то обозначим через Е(«) подгруппу группы Ап1э(9), порожденную элементами е ", х сы йа («), а см Я(9, «), см, гл. ТгП, Ь 3, и'2. а) Пусть Ь вЂ” подалгебра Бореля алгебры Ли й, содержащая яодалгебру Картаиа «. и пусть «1 — подалгебра Картана алгебры Ли Ь.
Показать, что подалгебры «, и «сопряжены с помощью элемента из Е («). Вывести отсюда, что Е(«) =Е(1)1). б) Пусть «' — расщепляющая подалгебра Картана в алгебре Ли 8. Пока- зать, что Е(9) = Е(«'). (Если Ь' — подалгебра Бореля, содержащая «', то выбрать подалгебру Картана «, в алгебре Ли 5П6' и применить утвержде- ние а), чтобы доказать равеяство Е («) Е («,] = Е («').) в) Пусть х — нильпотентный элемент в алгебре Ли 9.
Показать, что еэа" са Е(«). (Воспользовавшись утверждением б) и следствием 2 теоремы. 1, свести к случаю, когда хсм(Ь, Ь).) Вывести отсюда. что Е(«) Ап1а(9), 6) (а) Показать эквивалентность следующих условии: (1) в алгебре Ли 8 нет нильпотентнык элементов Ф О, (!!) в алгебре Ли 9 нет параболических подалгебр, отличных от 8.
(Воспользоваться следствием 2 теоремы !.) Такая алгебра называется анизотролной. б) Пуст~ Ь вЂ” минимальная параболическая подалгебра алгебры Ли с — радикал в Ь и Ю р/с. Показать, что алгебра Ли й аиизотропва. (Заметить, что если ч — параболическая подалгебра алгебры Ли й, то прообраз алгебры Ли 9 в р — параболическая подалгебра алгебры Ли 9, см.
упражнение 5 а) из $3.) 'Ц 7) а) Показать, что следующие свойства поля й эквивалентны: (!) Любая анизотропная полупростая алгебра Ли над й (упражнение й) равна О. (И) Любая полупростая алгебра Ли нак й содержит подалгебру Бореля. (Воспользоваться упражнением 6 для доказательства импликацни (!) Р(И).) б) Показать, что из условий (1) н (И) вытекает следующее условие'): (1И) Любая конечномерная алгебра над й, являющаяся телом, есть поле. (Или: группа Брауэра любого алгебраического расширения поля й равна О.) (Воспользоваться алгеброй Ли, состоящей из элементов такой алгебры, приведенный след которык равен нулю.) в) Показать.
что условия (!) и (И) следуют из условии ') На самом деле условие (ИИ) эквивалентно условиям (1) и (И). См. по этому поводу 8!е!ЕЬегй )!., )(еяп!аг е!ешеп!з о! зеоИзипр!е а!цеЬга!с пгоцрэ, Рийй Мага. А Н. Е. В., ХХ)Г (1965), 49 — 80. УПРАЖНЕНИЯ 315 (гк) Для любого конечного набора таких однородных многочленов )в эж евй((Х~), г] сгепеня~)1, что ~ бе91 ( Сагб(г'), сУществУют такие элеи менты ягой, не все равные нулю, что ( ((х,)гюг) 0 прн всех а. (Воспользоваться предложением 5 из 9 8.) !) ПУсть 9 = Я (2, А).
Положим 0 = Ап!г (9); эта гРУппа отождествлаетсЯ с Р9Лз (й), см. гл, ЧП, 9 3, п'1. замечание 2. а) Локазать, что любой ннльпотентный алемент нз 9 0-сопряжен с эле- гО Л( ментом (0 О ) при некотором Л ев А, Такой элемент является главным тогда н только тогда, когда он ненулевой б) Элементы ( О О ) н ( О О ), где Л, р эи А', 0.сопряжены тогда и только тогда, когда элемент Л ~р является квадратом в поле А. в) Каждый простой элемент алгебры Ли 9 0-сопряжен с элементом (Π— ! )' 2) Пусть А ( ), В=( ), Тогда А — ннльпотентная матрица, ЛО О)' =Л1 О)' а А — нет, н (А, (А, В)) - (,' — О ), Вывестн отсюда, что лемма 5 не обобщается на поля характеристики 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
